图形学教案曲线和曲面市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
《图形学教案曲线和曲面市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《图形学教案曲线和曲面市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx(159页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、第四章第四章 曲线和曲面曲线和曲面 第一节第一节 曲线和曲面表示基础知识曲线和曲面表示基础知识第二节第二节 Hermite Hermite多项式多项式 第三节第三节 Coons Coons曲面曲面 第四节第四节 Bezier Bezier曲线和曲面曲线和曲面 第五节第五节 B B样条曲线和曲面样条曲线和曲面 第1页第一节第一节 曲线和曲面表示基础知曲线和曲面表示基础知识识 曲线和曲面参数表示曲线和曲面参数表示(1 1)与坐标轴相关,不便于进行坐标变换;)与坐标轴相关,不便于进行坐标变换;(2 2)会出现斜率为无穷大情况;)会出现斜率为无穷大情况;(3 3)难以灵活地结构复杂曲线、曲面)难以灵活
2、地结构复杂曲线、曲面(4 4)非参数显示方程只能描述平面曲线,空)非参数显示方程只能描述平面曲线,空间曲线必须定义为两张柱面交线。间曲线必须定义为两张柱面交线。(5 5)假如我们使用非参数化函数,在某个)假如我们使用非参数化函数,在某个xoyxoy坐标系里一条曲线,一些坐标系里一条曲线,一些x x值对应多个值对应多个y y值,值,而一些而一些y y值对应多个值对应多个x x值。值。第2页 在在空空间间曲曲线线参参数数表表示示中中,曲曲线线上上每每一一点点坐坐标标均均要要表表示示成成某某个个参参数数t t一一个个函函数数式式,则则曲曲线线上上每每一一点点笛笛卡卡尔尔坐标参数式是:坐标参数式是:,
3、把把三三个个方方程程合合写写到到一一起起,曲曲线线上上一点坐标矢量表示是:一点坐标矢量表示是:第3页关于参数关于参数t t切矢量或导函数是:切矢量或导函数是:曲曲面面写写为为参参数数方方程程形形式式为为:曲线或曲面某一部分,能够简曲线或曲面某一部分,能够简单地用单地用a at tb b界定它范围界定它范围 第4页直线段直线段 端点坐标分别是端点坐标分别是 P P1 1 x x1 1,y y1 1,P,P2 2 x x2 2,y y2 2,直线段参数表示式是:直线段参数表示式是:P(P(t t)=)=P P1 1+(+(P P2 2-P P1 1)t t=(1-=(1-t t)P)P1 1+t
4、tP P2 2 0 0t t11;参数表示对应参数表示对应x,yx,y坐标分量是:坐标分量是:x x(t t)=)=x x1 1+(+(x x2 2-x x1 1)t t y y(t t)=)=y y1 1+(+(y y2 2-y y1 1)t t 0 0t t1 1 第5页参数方程含有以下优点。参数方程含有以下优点。(1)(1)对对参参数数表表示示曲曲线线、曲曲面面可可对对其其参参数数方方程程直直接接进行几何变换(如平移、百分比、旋转)。进行几何变换(如平移、百分比、旋转)。(2)(2)便于处理斜率为无限大问题。便于处理斜率为无限大问题。(3)(3)有有更更大大自自由由度度来来控控制制曲曲线
5、线、曲曲面面形形状状。含含有有很强描述能力和丰富表示能力。很强描述能力和丰富表示能力。(4)(4)参参数数方方程程中中,代代数数、几几何何相相关关和和无无关关变变量量是是完完全全分分离离,而而且且对对变变量量个个数数不不限限,从从而而便便于于用用户户把把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。第6页(5)(5)规格化参数变量规格化参数变量t t0,1,0,1,使其对应几何使其对应几何分量是有界,而无须用另外参数去定义其边界。分量是有界,而无须用另外参数去定义其边界。便于曲线和曲面分段、分片描述。易于实现光便于曲线和曲面分段、分片描述。易于实现光顺连接。顺连接
6、。(6)(6)易于用矢量和矩阵表示几何分量,计算处易于用矢量和矩阵表示几何分量,计算处理简便易行。理简便易行。曲线和曲面能够分为两类。一类要求经过事曲线和曲面能够分为两类。一类要求经过事先给定离散点,称为是先给定离散点,称为是插值曲线或曲面插值曲线或曲面。另一。另一类不要求经过事先给定各离散点,而只是用给类不要求经过事先给定各离散点,而只是用给定各离散点形成控制多边形来控制形状,称为定各离散点形成控制多边形来控制形状,称为是是迫近曲线或曲面迫近曲线或曲面。基本概念基本概念第7页插值插值 要求结构一条曲线次序经过型值点,称要求结构一条曲线次序经过型值点,称为对这些型值点进行插值(为对这些型值点进
7、行插值(interpolationinterpolation)。)。迫近迫近 结构一条曲线,使它在某种意义上最正结构一条曲线,使它在某种意义上最正确迫近这些型值点,称之为对这些型值点进行确迫近这些型值点,称之为对这些型值点进行迫近(迫近(approximationapproximation)。)。第8页参数连续性参数连续性 一函数在某一点一函数在某一点x x0 0处含有相等直到处含有相等直到k k阶左右导数,阶左右导数,称它在称它在x x0 0处是处是k k次连续可微,或称它在次连续可微,或称它在x x0 0处是处是k k阶连续,记作阶连续,记作C Ck k。几何上。几何上C C0 0、C C
8、1 1、C C2 2依次表示该依次表示该函数图形、切线方向、曲率是连续。函数图形、切线方向、曲率是连续。几何连续性几何连续性 两曲线段对应弧长参数化在公共连接点处含有两曲线段对应弧长参数化在公共连接点处含有C Ck k连续性,则称它们在该点处含有连续性,则称它们在该点处含有k k阶几何连续阶几何连续性,记作性,记作G Gk k。零阶几何连续。零阶几何连续G G0 0与零阶参数连续与零阶参数连续C C0 0是一致。一阶几何连续是一致。一阶几何连续G G1 1指一阶导数在两个指一阶导数在两个相邻曲线段交点处成百分比,即方向相同,大相邻曲线段交点处成百分比,即方向相同,大小不一样。二阶几何连续小不一
9、样。二阶几何连续G G2 2指两个曲线段在交指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成百分比。点处其一阶和二阶导数均成百分比。第9页光顺光顺 光顺(光顺(smoothnesssmoothness)是指曲线拐点不能太多,)是指曲线拐点不能太多,要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺条件应该要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺条件应该是:(是:(1 1)含有二阶几何连续()含有二阶几何连续(G G2 2);();(2 2)不)不存在多出拐点和奇异点;(存在多出拐点和奇异点;(3 3)曲率改变较小。)曲率改变较小。第10页第11页第12页拉格朗日n阶多项式:令P0(x0,y0),Pn(xn,yn)表示n+1个数
10、据点,t0,t1,t2为任意数字,其拉格朗日n阶多项式以下:对任意j i,有Li(xi)=1且Lj(xj)=0第13页拉格朗日插值:令P0(x0,y0),Pn(xn,yn)表示n+1个数据点,希望找出经过这些点曲线。这里:Li(xi)是拉格朗日多项式,L(x)是插值各数据点第n阶拉格朗日多项式第14页第二节第二节 Hermite Hermite多项式多项式 已知函数已知函数f f(t t)在在k k+1+1个点个点 t ti i 处函数值和导处函数值和导数值数值 f f(j j)(t ti i),i i=0,1,=0,1,k k,j j=0,1,=0,1,m mi i-1-1,要求确定一个,要
11、求确定一个N=N=m m0 0+m m1 1+m mk k-1-1次次多项式多项式P(P(t t),满足下面插值条件:,满足下面插值条件:第15页 考查考查k=k=1 1,m m0 0=m m1 1=2=2情形。情形。已已知知表表示示一一条条曲曲线线某某个个函函数数f f(t t)在在两两点点t t0 0,t t1 1函函数数值值f f(t t0 0),),f f(t t1 1)和和一一阶阶导导数数值值ff(t t0 0),),ff(t t1 1),求求三三次次多多项项式式P(P(t t):):第16页第17页第18页第19页把把a a0 0,a a1 1,a a2 2和和a a3 3代入则有
12、:代入则有:第20页 经经整整理理,所所求求多多项项式式P P 0 0(t t)能够写出以下:能够写出以下:式中选取两个式中选取两个端点端点及其及其及其及其切切向量向量作为曲线结构条件作为曲线结构条件 混合函数混合函数以下:以下:第21页第22页 设表示一条曲线某个函数设表示一条曲线某个函数f f(t t)在在四点四点t t0 0,t t1 1,t t2 2,t t3 3函数值函数值f f(t t0 0),),f f(t t1 1),),f f(t t2 2),),f f(t t3 3),依据,依据LagrangeLagrange插值法,插值法,则三次多项式则三次多项式P(P(t t)可表示为
13、:可表示为:选择四个不一样选择四个不一样点点作为结构曲线条件作为结构曲线条件 第23页混合函数混合函数以下:以下:第24页经验证可知:经验证可知:第25页 为为了了使使P P0 0(t t)定定义义区区间间t t0 0t tt t1 1变变为为区间区间00u u11,能够做以下变换,能够做以下变换解出解出 ,代入混合函数,代入混合函数式中,得:式中,得:第26页第27页第28页 将关于将关于u u混合函数代入,所求三次混合函数代入,所求三次多项式成为:多项式成为:第29页令令第30页得得第31页第32页 对对普普通通HermiteHermite插插值值问问题题,普普通通来来说说得得到到插插值值
14、多多项项式式次次数数较较高高,应应用用起起来来不不方方便便。通通常常处处理理方方法法是是将将前前面面给给出出参参数数三三次次多多项项式式逐逐段段光光滑滑地地连连接接,如此来确定普通情况下插值多项式。如此来确定普通情况下插值多项式。将将前前面面t t0 0和和t t1 1视视为为t ti i和和t ti i+1+1,设设给给定定f f(t ti i),f f(t ti i+1+1),ff(t ti i),ff(t ti i+1+1),则则在在区区间间 t ti i,t ti i+1+1HermiteHermite三次插值多项式三次插值多项式P Pi i(t t)是:是:第33页第34页第35页
15、为了完整地写出这个插值多项式,能够在为了完整地写出这个插值多项式,能够在区间区间 t ti i,t ti i+1+1 中引入以下一些基本函数:中引入以下一些基本函数:第36页第37页第38页完整插值多项式可写为完整插值多项式可写为:上式区间上式区间t0,tn中有定义,且为分段中有定义,且为分段定义。在每个区间定义。在每个区间 ti,ti+1上,都恰有上,都恰有四项。满足插值条件四项。满足插值条件 第39页 每段曲线段曲线P Pi i(t t)只在只在 t ti i,t ti i+1+1 中有定义:中有定义:第40页自变量线性变换自变量线性变换 用逆变换用逆变换 代入,将所代入,将所得关于得关于
16、u u多项式记为多项式记为 ,得,得 第41页其中其中 =第42页 设在平面上有两点设在平面上有两点P P0 0,P Pl l,它们位置向量分,它们位置向量分别为别为(1(1,1)1),(4(4,2)2),在,在P P0 0导数值即在该点切线导数值即在该点切线向量向量P P0 0=(1=(1,1)1),在,在P Pl l处处PP1 1=(1=(1,-1)-1)第43页第44页第三节第三节 Coons Coons曲面曲面 第45页第46页uwuw表示了曲面片方程表示了曲面片方程0 0w w,1 1w w,u u0 0,u u1 1表示四条边界曲线表示四条边界曲线u u0 0u u表示在边界限表示
17、在边界限u u0 0上点沿上点沿u u向一阶偏导向一阶偏导数向量,称边界限数向量,称边界限切向量切向量u u0 0w w表示边界限表示边界限u u0 0上点沿上点沿w w向一阶偏导数向一阶偏导数向量,称边界限向量,称边界限跨界切向量跨界切向量。uwuwuuuu ,uwuwuwuw,uwuwwwww分别表示曲面片分别表示曲面片uwuw关于关于u u和和w w二阶偏导数向量,于是二阶偏导数向量,于是u u0 0uuuu表示边表示边界限界限u u0 0上上二阶切向量二阶切向量,u u0 0wwww表示边界限表示边界限u u0 0上二阶上二阶跨界切向量跨界切向量。第47页 uwuwuwuw为曲面片为曲
18、面片P P在点在点(u u,w w)处处扭曲扭曲向量向量。尤其,用。尤其,用0000,0101,1010,1111分分别表示曲面片四个角点时,别表示曲面片四个角点时,0000uwuw,0101uwuw,1010uwuw,1111uwuw就分别表示在四个就分别表示在四个角点扭曲向量。角点扭曲向量。第48页第49页 结构含有指定边界曲线曲面片结构含有指定边界曲线曲面片 CoonsCoons给给出出一一个个解解法法是是:寻寻找找两两个个混混合合函函数数f f0 0(t t)和和f f1 1(t t),它它们们是是连连续续,而而且且满满足足f f0 0(0)=1(0)=1,f f0 0(1)=0(1)
19、=0,f f1 1(0)=0(0)=0,f f1 1(1)=1(1)=1,且且f f0 0(t t)+)+f f1 1(t t)=1)=1,00t t11。利利用用这这么么混混合合函函数数,经经过过四四条条边边界界结结构构曲曲面面片片,并并经经过过叠叠加加修修正正曲曲面片,产生满足用户需要曲面。面片,产生满足用户需要曲面。第50页 若给定四条边界曲线若给定四条边界曲线u u0 0,u u1 1,0 0w w,1 1w w,且,且00u u11,00w w11 在在u u向进行线性插值,得到直纹面为:向进行线性插值,得到直纹面为:第51页 在在w w向进行线性插值,得到向进行线性插值,得到直纹面
20、为:直纹面为:若把这两张直纹面叠加可得若把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面到一张新曲面P Ps s(u u,w w):第52页P Ps s(u u,w w)上任意一点,其位移矢量包含两个上任意一点,其位移矢量包含两个部分,一部分是因为部分,一部分是因为线性插值线性插值而产生位移,而产生位移,另一部分是因为另一部分是因为边界曲线边界曲线而产生位移。而产生位移。第53页 为消除为消除P Ps s(u u,w w)中因为线性插值而产生中因为线性插值而产生位移,需要结构一个新曲面位移,需要结构一个新曲面P P3 3(u u,w w)第54页 结构曲面结构曲面P P3 3(u u,w w)后,从后,从P
21、 Ps s(u u,w w)中去除中去除P P3 3(u u,w w),即去除线性插值成,即去除线性插值成份,则得到份,则得到CoonsCoons结构曲面结构曲面 P(P(u u,w w)=)=P Ps s(u u,w w)-P)-P3 3(u u,w w)=P =P1 1(u u,w w)+)+P P2 2(u u,w w)-P)-P3 3(u u,w w)可写成以下形式:可写成以下形式:第55页第56页其中矩阵其中矩阵M M是:是:矩矩阵阵中中四四个个元元素素是是四四个个角角点点位位置置向向量量,可用已知四条边界曲线计算求出。可用已知四条边界曲线计算求出。u u0 0,u u1 1能够是关
22、于能够是关于u u三次多项式,三次多项式,0 0w w,1 1w w能够是关于能够是关于w w三次多项式,混合函数也是不三次多项式,混合函数也是不超出三次关于超出三次关于u u或或w w三次多项式,这时公式三次多项式,这时公式关于关于u u看,或关于看,或关于w w看,都是三次多项式,看,都是三次多项式,是关于是关于u u或或w w双三次多项式双三次多项式第57页第58页 不难验证它们符合所提问题要不难验证它们符合所提问题要求,比如我们来验证求,比如我们来验证0 0w w是它一条是它一条边界限,这只要把边界限,这只要把u u=0=0代入公式代入公式右端,得右端,得 第59页 曲面片以指定曲线为
23、其边界曲面片以指定曲线为其边界曲线,且有指定跨界切向量曲线,且有指定跨界切向量。利用本章第二节定义四个混利用本章第二节定义四个混合函数合函数q q0000(t t),),q q0101(t t),),q q1010(t t),),q q1111(t t)。这四个函数均是三次多。这四个函数均是三次多项式项式,连续可微,而且还满足连续可微,而且还满足下面条件:下面条件:第60页第61页 设已经给定四条边界曲线设已经给定四条边界曲线u u0 0,u u1 1,0 0w w,1 1w w及沿这四条边界曲线跨及沿这四条边界曲线跨界切向量界切向量u u0 0w w,u u1 1w w,0 0w wu u,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 图形学 教案 曲线 曲面 公开 一等奖 联赛 特等奖 课件
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【精***】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【精***】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。