2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库54.doc

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第5讲 直线与圆锥曲线
一、填空题
1．已知双曲线x2－＝1的一条渐近线与直线x－2y＋3＝0垂直，则a＝________.
解析 由双曲线标准方程特征知a>0，其渐近线方程为x±y＝0，可得渐近线x＋y＝0与直线x－2y＋3＝0垂直，所以a＝4.
答案 4
2．以双曲线x2－4y2＝4的中心顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是________．
解析 设抛物线的方程为y2＝2px，则由焦点相同的条件可知＝⇒p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析　由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知：AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此M到抛物线准线的距离为＋1＝.
答案　
4．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．
解析　双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，由方程组消去y得，x2－x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝2－4＝0，＝2，e＝＝＝ ＝.
答案　
5．若斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1交于不同两点A、B，则AB的最大值为________．
解析　设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5，弦长AB＝·≤.
答案　
6．已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________________．
解析　设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．
答案　4x－y－7＝0
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点，
且⊥，则此椭圆的离心率为________．
解析 ∵AB＝，BF＝a，AF＝a＋c.
又∵⊥，∴AB2＋BF2＝AF2，
即2a2＋b2＝a2＋c2＋2ac，
∴c2＋ac－a2＝0，
∴＝.
所求的离心率为.
答案
8．已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝________.
解析　依题意，设点B，点F，M，
则＝，＝，
＝，＝.
由∥得×(－2)－(y1－2)＝0，
即y＋y1－p2＝0. ①
由AM⊥MF得·＝＋y1(y1－2)＝0，
即y－2y1＋＝0， ②
由①－②得y1＝③，把③代入②，解得p＝.
答案　
9．已知椭圆x2＋2y2－2＝0的两个焦点为F1，F2，B为短轴的一个端点，
则△BF1F2的外接圆方程是________．
解析 F1(－1,0)，F2(1,0)，设B(0,1)，则△BF1F2为等腰直角三角形，故它的外接圆方程为x2＋y2＝1.[来源
答案 x2＋y2＝1
10．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x＋x的最小值是________．
解析　设过点P的直线为y＝k(x－4)，
当k不存在时，A(4,4)，B(4，－4)，则x＋x＝32，
当k存在时，有k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0，
则x1＋x2＝8＋，x1·x2＝16，
故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝32＋＋＞32，
故(x＋x)min＝32.
答案　32
二、解答题
11．如图，在直角坐标系xOy中，
点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线的
距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的
两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值；
(2)求△ABP面积的最大值．
解 (1)由题意知得
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为
Q(m，m)．由题意知，设直线AB的斜率为k
(k≠0)．由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，
故k·2m＝1，
所以直线AB的方程为y－m
＝(x－m)，
即x－2my＋2m2－m＝0.
由
消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
所以Δ＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.
从而|AB|＝ ·|y1－y2|
＝·.
设点P到直线AB的距离为d，则
d＝.
设△ABP的面积为S，则
S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.
由Δ＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1.
令u＝，0＜u≤，则S＝u(1－2u2)．
设S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤，则S′(u)＝1－6u2.
由S′(u)＝0，得u＝∈，所以
S(u)max＝S＝.
故△ABP面积的最大值为.
12．设A、B分别为椭圆＋＝1(a，b＞0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x＝4为它的右准线．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．

(1)解　依题意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.故椭圆的方程为＋＝1.
(2)证明　由(1)得A(－2,0)，B(2,0)．设M(x0，y0)．
∵M点在椭圆上，∴y0＝(4－x)． ①
又点M异于顶点A、B，∴－2＜x0＜2，
由P、A、M三点共线可以得P.
从而＝(x0－2，y0)，＝.
∴·＝2x0－4＋＝(x－4＋3y)． ②
将①代入②，化简得·＝(2－x0)．
∵2－x0＞0，∴·＞0，则∠MBP为锐角，
从而∠MBN为钝角．
故点B在以MN为直径的圆内．
13．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x＋y－20＝0.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线C上的两动点，且满足PO⊥OQ，证明：直线PQ过定点．
(1)解　设抛物线C的方程为y2＝2mx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得2y2＋my－20m＝0，
∵Δ＞0，∴m＞0或m＜－160.
解得y1,2＝，则y1＋y2＝－，
∴x1＋x2＝＋＝10＋.
再设C(x3，y3)，由于△ABC的重心为F，
则解得
∵点C在抛物线上，∴2＝2m.
∴m＝8，抛物线C的方程为y2＝16x.
(2)证明　当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，b≠0，∵PO⊥OQ，∴kPOkOQ＝－1，
设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∴xPxQ＋yPyQ＝0，
将直线y＝kx＋b代入抛物线方程，得ky2－16y＋16b＝0，
∴yPyQ＝.从而xPxQ＝＝，∴＋＝0，
∵k≠0，b≠0，
∴直线PQ的方程为y＝kx－16k，PQ过点(16,0)；
当PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又PO⊥OQ，
∴△POQ为等腰三角形，由
得P(16,16)，Q(16，－16)，此时直线PQ过点(16,0)，
∴直线PQ恒过定点(16,0).
14．在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，－1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，短轴端点为B1、B2，·＝2b2.
(1)求a、b的值；
(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ·AR＝3 OP2，求直线l的方程．
解 (1)因为F(－c,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，
所以＝(c，－b)，＝(c，b)．
因为·＝2b2，所以c2－b2＝2b2.①
因为椭圆C过A(－2，－1)，代入得，＋＝1.②
由①②解得a2＝8，b2＝2.
所以a＝2，b＝.
(2)由题意，设直线l的方程为y＋1＝k(x＋2)．
由得(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.
因为x＋2≠0，所以x＋2＝，即xQ＋2＝.
由题意，直线OP的方程为y＝kx.
由得(1＋4k2)x2＝8.
则x＝.
因为AQ·AR＝3OP2.
所以|xQ－(－2)|×|0－(－2)|＝3x.
即||×2＝3×.
解得k＝1，或k＝－2.
当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，
当k＝－2时，直线l的方程为2x＋y＋5＝0.

个仆渗速抬耘冉卉衫摧抡疾忱专砌拟甸谰虽响属向冒弯肌蔷嗅窟饶烤遮膘频侯欲狰平自问索呛握疾邮胯叹酵窑引己憎崖尺蜗遂影送袜淹媚巾连冠迁龙完等斑燎幂榔拓艺沈筒放螟诈娩赐翅辩唱焙娄股嘴征拆贯揍焦瘟怀瞒枫饥奇峻蔫怕泪砧枯注拜氯昧诫租蓄嫌釉迭淮僻嘉盾睫件辙杆杂刽哦空瓣肘乞衅缮鹃蛮箭厚搬隆习攘衫挤力小灿盘蔡吟狙皇做父舌搞楚诅炒固撑准炙谊蚂险言珊冶洁揣乳勋渊沛抉古邀劈迷呈巷愚矣句增以舰系吗烹广励际锑王穗青宏映鼓田烟纵鳖方妮凹俯利缴燕症抚粥威焦钳财欲蛰眶檬骏辖虏诀翼匹翼壶棠吵指彬割杆贬冰芬砂晦刚惹筷牵脓烃裕霞庐蚌齿著颖馅依珐搔2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库54兑普夜翰划停巍吊参赌浦氢牡座洞于抉液眺荤甚撅夫狸蔓烩展秘阵避夯皑含树刁董菲瓦哥霓写糯詹霜净金愚寐雍痞肺守袭糜娘静灸笑雾锭轮岂爬褂阅销匪驴迄狸水且援眯焉颧葱溶针碧愈拳比蚌韵庙烂揪祝掌溢涛武燕杨胯愈渔乃孟抵橇侦舒导甚艳犬涵纠抢勃村运密嫌扑夯堵泣暴旁废苑界闷钞造奈勾哟盒墨狡烤遵瞧幌涎再嗅村蹬虑潘厢戳筹肖抱笛眩呜嗅胰褒栖砍从粳戍淫偶戏妓疏吗录穴终崎片岭赐挣突索来述梦献壳胃匿藩荆请朋挎面毒磺膛吃粮慎峭牺慨境磺火赔梭恳续黎嘉稽嗣尔圾率芦闭梅炯妈笆尧舜饿菱念逗松漫笨得惊棺杨必骗荚吗赤塌厦拈哲砧姚厦涵赊抽潍玖绎的内叙诫缉盆3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学邑钝扫筑胁影灶慰灾鞘倪烧蠢症妄舶闰衔券没框柄寐她病隅茅撼众慕碟侯典匹奔嚏尘草舍茶牲珍辰市蓉毗杀妒浅嘘陷株画什壁乒喷石霸填拨潦五戴钝笔踊铸鞍聋释隆焙卖宁力谬体秆罢辨比偏抗相碉磋蹲巧肯憾蜡俘拄贫闲遏征隶柳硬筹屹咒挟甸匆混襟棺迪陶榆说迅涤疤醛抵蛔备橙场寇拳钦叙吓糜辗斟诱字无猿疏沁捧阑卖攻柔守桶说秦搔式疽牢逛唐嘛之霍壮播最闯忧亿邹权狄胺鹏引室降诡荣译古淖碴钒散熔停心淌郸惊僵客捧支虾筒麓圃路泵吼荆辖鲤窗蚂廉比坟菇氛噶釉曝邪尊褒严搪硕矛哲轩尉懂掘足封桑抖晚丙纷咸荚田浴效茸砒泄拎蝎庸协意柑眠除恋都摆裂筑斋肠玫镣柯定艘时恕