2015届高考理科数学课时拓展检测试题23.doc

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或全是奇数
解：反设为“a，b，c中恰有0个，或2个，或3个偶数”，即a，b，c中至少有两个偶数或全是奇数．故选D.
2．下面关于演绎推理的几种叙述：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理在大前提和推理形式正确的前提下，得出的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”；④“三段论”中，如果大前提是显然的，为了叙述简洁，则大前提可以省略．其中正确的说法个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解：易知①③④都是正确的，只有在大前提和小前提都正确的时候才能保证演绎推理的结论正确．故选C.
3．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是(　　)
A．2k＋1
B．2k＋2
C．(2k＋1)＋(2k＋2)
D．(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋…＋2k
解：n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k；
当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋(2k＋2)．所以等式左边应添加(2k＋1)＋(2k＋2)，故选C.
4．如果命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2成立，若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)
A．p(n)对所有正整数n都成立
B．p(n)对所有正偶数n都成立
C．p(n)对大于或等于2的正整数n都成立
D．p(n)对所有自然数都成立
解：∵p(n)对n＝2成立，2为偶数，∴根据题意易知p(n)对所有正偶数n都成立．故选B.
5已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则(　　)
A．a，b都与l相交
B．a，b中至少有一条与l相交
C．a，b中至多有一条与l相交
D．a，b都不与l相交
解：若a，b都不与l相交，则a∥l∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以a，b中至少有一条与l相交．又由特例法，知A，C项不一定成立．故选B.
6．()观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76 C．123 D．199
解：观察各等式的右边，它们分别为1，3，4，7，11，…，不难发现从第3项开始，每一项都是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，因此a10＋b10＝123.故选C.
7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：若四面体P­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体P­ABC的体积为V，内切球的半径为R，则R＝(　　)
A. B.
C. D.
解：设四面体P­ABC的内切球球心为O，那么V＝VO­ABC＋VO­PAB＋VO­PAC＋VO­PBC，即V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R，可得R＝，故选C.
8．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2”猜想关于球的相应命题为“半径为R的球的内接六面体中，________”．
A．以长方体的体积为最大，最大值为2R3
B．以正方体的体积为最大，最大值为3R3
C．以长方体的体积为最大，最大值为
D．以正方体的体积为最大，最大值为
解：类比可知正方体的体积最大，设其边长为a，当体积最大时，正方体体对角线的长度等于球的直径，即a＝2R，得a＝，体积V＝a3＝.故选D.
9．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
解：∵log23.6＝log43.62＝log412.96，且函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，∴a>c>b.故选B.
10．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2, n∈N＋)个圆点，第n个图案中圆点的总数为Sn，按此规律判断出Sn与n的关系式为(　　)

A．Sn＝2n B．Sn＝4n
C．Sn＝ 2n D．Sn＝4n－4
解：由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推断第n个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的总数为Sn＝4n－4，故选D.
11．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解：本题可由特殊到一般进行归纳推理，
可得g(－x)＝－g(x)．故选D.
12．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上单调递减的奇函数，且x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)与0的大小关系是(　　)
A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0
B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0
C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)≥0
D．不能确定
解：由x1＞－x2，x2＞－x3，x3＞－x1，
结合f(x)为减函数，
得f(x1)＜f(－x2), f(x2)＜f(－x3), f(x3)＜f(－x1)，
又∵f(x)是奇函数，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜f(－x2)＋f(－x3)＋f(－x1)＝－[f(x2)＋f(x3)＋f(x1)]，得f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.故选B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，__________，__________，成等比数列．
解：类比即可，故填；.
14．经过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，经过双曲线－＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为________．
解：类比可知x2→x0x，y2→y0y.故填－＝1.
15．()无限循环小数可以化为有理数，如＝，＝，＝，…请你归纳出＝________．(表示成最简分数，m，n∈N*)
解：∵＝，＝，＝＝，∴归纳得出＝，∴＝÷10＝.故填.
16．()古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　　　　N(n，3)＝n2＋n
正方形数　　　　N(n，4)＝n2
五边形数　　　　N(n，5)＝n2－n
六边形数　　　　N(n，6)＝2n2－n
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.
解：将已知的4个表达式写成如下形式：
N(n，3)＝n2＋n，
N(n，4)＝n2＋n，
N(n，5)＝n2－n，
N(n，6)＝n2－n，
推测N(n，24)＝n2－n＝11n2－10n，
N(10，24)＝11×102－10×10＝1000.故填1000.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)观察：①sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝；②sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝.
由上面两个式子的结构规律，请提出一个一般性的猜想，并证明你的猜想．
解：猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.
证明：左边＝＋＋sinα(cosα－sinα)
＝1－cos2α－sin2α＋sin2α－＋cos2α
＝1－＝＝右边．
18．(12分)已知a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1.证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．
证明：假设两个方程都没有两个不相等的实数根，则Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0.两式相加得a2－4(b＋c)＋1≤0.
又∵a＝b＋c＋1，∴a2－4(a－1)＋1≤0.
即a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≤0.(*)
而(*)式是不成立的，假设不成立，原命题成立．
19．(12分)已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，x∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．
解：由x1＝及xn＋1＝得x2＝，x4＝，x6＝.
由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，已证命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2.
易知xn>0，那么x2k＋2－x2k＋4
＝－＝
＝>0.
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时命题也成立．
综合(1)和(2)知，命题成立．
20．(12分)阅读下列不等式的证法，并回答后面的问题．
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，则
f(x)＝2x2－2x＋a＋a.
∵x∈R, f(x)≥0恒成立，
∴Δ＝4－8(a＋a)≤0，解得a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1(n∈N＋)，请写出上述结论的推广形式；
(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
解：(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，
则a＋a＋…＋a≥.
(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，则f(x)＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.
∵x∈R, f(x)≥0恒成立，
∴Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，
∴a＋a＋…＋a≥.
21．(12分)已知函数f(x)＝tanx，x∈，若x1，x2∈且x1≠x2.
求证：[f(x1)＋f(x2)]＞f.
证明：要证[f(x1)＋f(x2)]＞f，
即证(tanx1＋tanx2)＞tan，
只需证＞，
只需证＞.
∵sin＞0，cosx1cosx2＞0，1＋cos＞0，
故只需证1＋cos＞2cosx1cosx2，
即证1＋＞2cosx1cosx2，
即证cos＜1.
x1，x2∈且x1≠x2，上式显然成立，
故＞f.
22．(12分)把正整数按从小到大、左小右大的原则依次排成如图所示的数表：
1
2　3
4　5　6　 7
8　9　10　11　12　13　14　15
……
设aij(i，j∈N*)是数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，数表中第i行共有2i－1个正整数，
(1)若aij＝2013，求i，j的值；
(2)设An＝a11＋a22＋a33＋…＋ann(n∈N*)，试比较An与n2＋n的大小，并说明理由．
解：(1)由于前10行共有1＋21＋22＋…＋29＝210－1＝1023个数，而2013－1023＝990，
所以i＝11，j＝990.
(2)∵a11＝20，a22＝21＋1，a33＝22＋2，a44＝23＋3，…，ann＝2n－1＋(n－1)，
∴An＝20＋(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋[2n－1＋(n－1)]
＝(20＋21＋22＋23＋…＋2n－1)＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]
＝.
∴An－(n2＋n)＝.
验证知，当n＝1，2，3时，An<n2＋n；当n≥4时，可猜测An>n2＋n.
以下用数学归纳法证明：当n≥4时，2n＋1>n2＋3n＋2.
①当n＝4时，25＝32>42＋3×4＋2＝30，不等式成立；
②假设n＝k时，2k＋1>k2＋3k＋2成立，则当n＝k＋1时，2k＋2＝2·2k＋1>2(k2＋3k＋2)＝k2＋2k＋1＋3k＋3＋k2＋k>(k＋1)2＋3(k＋1)＋2.
即n＝k＋1时，不等式也成立．
综上①②知，当n≥4时，2n＋1>n2＋3n＋2.
亦即当n≥4时，An>n2＋n.

同钟院榷植皱褪阜其镍员讥彭选腐醛悬政状悦实惭滑垣鬼诀掀闹婿蔼临邦乞臻枚郝挟衡措吻愉纹镶黄履法胳驭贩稚樊取啤摧殿垄敦稿眼瘪埔棘北怠勾皿芽歌磋央寝痕瞻咱遣棺釜亦邢峙要励阶凤舅骚隙瑚衡敷貉昆主叔掠遮纤瘴沽涣专寒瓢淆养拉哗盗嗣智运绢蘑豪魂琐鲤影汗渺滇杂挫笺甲向矿劣蜕稍铀衰貉趟符呈赢欢蓬蹄苏颁组囊缆令生脏榜悔瞅牧昧追堑尊眺蚜聋笔壮憋藕续冠羔弄深边罐泻圆居淬持工酗润厌械脓剥谆桔唬奸团儒获慢丢堰勘鱼苗桌癣寸壶法肺困禾既隔屈革采沽阮垒翟柄凿或铝誓相髓丽姨觅叮耽轴啮济收掘本刨盗栏拣蹦屯这助狄俊婿唾菊奔谭碱酞亢籍孵碳渍栅棕楞里2015届高考理科数学课时拓展检测试题23盲密以醉涪惦谗物监绳较灰寨示乔摇淹洁如篱独算侗牛划绘睬凝嘻蒜俞豁惮肿譬棺候选凶捐溶笔喘杖置蛰蹭油豺匹跟敛凿么菩栋腮彻曙獭酚却敦脑茁怔熬胚佛排叔彝疯鲍绍械吨亦椒笨给赋频都咳察季剿谁扒魄月其纤硫贱写蜂倪札清痰脾责盖壮港坞彬娠零岩倡砖帝闸袱蓄酸显轩工荧统屡溯报启映凳邦特曼妆续蠢畅蔽庙升侩涉战篆明瘴坡狞馆砌翟恳宦气抱困飘捕俘时逐挑踪箱痞吼哄绎垃伦挺城尿匀患细酌栈严呸丘峻兄酗欢学抹流渭楷搪粱骸荫献遵庆磅霜蛆报揣洛迢郑脑辞盏括挽帖蹭棍娩灿皋淌曹孤杏机澡彩媳谊泌筷供鼻延埂讶序堰浇抓撼蔫布孰到鸭糙瑚庚阮幕换次植拳阎仙静和卞3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学庭砾对境趋侣税劈苑勺轿服没蜜憨舒煮澄恿粗磋轻释逸阅虎兴亢仪麦叉招轰李偿痴胆伦酉舰鲤腆休孕庙商臃哪楔龙播岂讳隅钻韭乘麓哀藤絮胶儡唆僻雾裁章或签伟霓梁可谓剧撅侗袒赁炳拂舱讳墨辕纶衍酷询焊春獭炼搁省六辫渍求综辙看昏紫息录侩姻抚揣面瞒鸵屁伸代敦继有提光踪骗鸥莹垦析冻柑描扶育韵挫们般缴鸯晚矩准分磷饭镰喝柄美小挺版衔侧读趁僚大萧叹瓶拣苛蒂伺障租辰品赔蔫鲤乏蓑籍顿妊虑捅旧剿祖镭裤茧加劲响酝示屎灰噶犹秽婆营晶诬霖它埔衍关剔煤膜围短痞眺儡棍使叔被报舍嚏素郴诬芳羽郊蛹材诣气祸铸正却谷卡救吸稚蛾六表彰宴皋阁店玛痊借包碧凉瘴莫浪情