2015届高考理科数学课时拓展检测试题7.doc

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1．()(1＋x)7的展开式中x2的系数是(　　)
A．42 B．35 C．28 D．21
解：二项式(1＋x)7展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，令r＝2，则T3＝Cx2.∴x2的系数为C＝21.故选D.
2．(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
解：由条件得C35＝C36，∴＝×3，∴3(n－5)＝6，n＝7.故选B.
3．()“n＝5”是“(n∈N*)的展开式中含有常数项”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：因为的展开式的通项Tr＋1＝C2n－r·，含有常数项时满足－＝0，即r＝，此时若含有常数项，则n＝5k(k∈N*)，故“n＝5”是“(n∈N*)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件．故选A.
4．()若C＋3C＋32C＋…＋3n－2C＋3n－1＝85，则n的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由C＋3C＋…＋3n－2C＋3n－1＝[(1＋3)n－1]＝85，解得n＝4.故选B.
5．()设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解：由题知a＝C，b＝C，∴13C＝7C，
即＝，解得m＝6，故选B.
6．若(1－2x)2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．0 C．－1 D．－2
解：令x＝0则a0＝1，令x＝，则a0＋＋＋…＋＝0.所以＋＋…＋＝0－a0＝－1.故选C.
7．()若的展开式中x4的系数为7，则实数a＝____________．
解：的展开式的通项为Cx8－·ar，令8－＝4得r＝3，故展开式中x4的系数为Ca3＝7，∴a＝.故填.
8．()已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是____________．
解：由二项式定理可知an＝C(n＝1，2，3，…，11)，由C为C的最大值知，an的最大值为a6，即k的最大值为6.故填6.
9．用二项式定理证明(n＋1)n－1可以被n2整除(n∈N＋)．
解：用二项式定理和组合数的性质，得到
(n＋1)n－1＝C＋Cn＋Cn2＋…＋Cnn－1
＝n2＋Cn2＋…＋Cnn
＝n2(1＋C＋…＋Cnn－2)．
当n＝1时，(1＋1)1－1能被12整除．
所以(n＋1)n－1是n2的倍数，即可以被n2整除．
10．已知(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是10∶1.求：
(1)展开式中各项系数的和；
(2)展开式中系数最大的项．
解：展开式的通项为Tr＋1＝C()n－r＝C2rx.依题意，＝10，得n＝8.
(1)令x＝1，则各项系数的和为(1＋2)8＝6561.
(2)设展开式中的第r项、第r＋1项、第r＋2项的系数分别为C2r－1，C2r，C2r＋1.若第r＋1项的系数最大，则 得5≤r≤6.
于是系数最大的项是T6＝1792x和T7＝1792x－11.
11. (1)已知(1－x＋x2)3(1－2x2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a14x14，求a1＋a3＋a5＋…＋a13的值．
(2)已知(x＋1)2(x＋2)2011＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a2013(x＋2)2013，求＋＋＋…＋的值．
解：(1)设f(x)＝(1－x＋x2)3(1－2x2)4.
令x分别取1，－1，则
f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝1；
f(－1)＝a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝27.
a1＋a3＋a5＋…＋a13＝＝＝－13.
(2)依题意令x＝－，
得＝a0＋a1＋a2＋…＋a2013，
令x＝－2得a0＝0，
则＋＋＋…＋＝.
设an(n＝2，3，4，…)是的展开式中x的一次项的系数，则＋＋…＋＝____________．
解：令Tr＋1＝C3n－r＝C(－1)r·3n－r·x，令＝1，得r＝2，∴的展开式中x的一次项的系数为
an＝C(－1)2·3n－2＝C·3n－2.
则＋＋…＋＝32×，
又C＝，
故上式＝9×
＝18×
＝18×＝17.

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