上海师大附中2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是__________．

2．命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是
__________．

3．已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=__________．

4．已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=__________．

5．设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=__________．

6．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁UA={1，2}，A∩∁UB={5}，∁UA∩∁UB={0，4}，则集合A=__________．

7．已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=__________．

8．对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B=__________．

9．设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩CRN=__________．

10．已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是__________．

11．对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是__________．

12．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是__________．

13．定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是__________．

14．给出下列四个命题：
（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；
（2）若a2x＞a2y，则x＞y；
（3）a＞b，则；
（4）若，则ab＜b2．
其中正确命题是__________．（填所有正确命题的序号）

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．
15．下列每组中的两个函数是同一函数的是( )
A．f（x）=1与g（x）=x0 B．与g（x）=x
C．f（x）=x与 D．f（x）=x与

16．若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于( )
A．＜x＜0或0＜x＜ B．﹣＜x＜
C．x＜﹣或x＞ D．x＜或x＞

17．下列说法正确的是( )
A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件
C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件
D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件

18．若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是( )
A．2 B． C．2 D．1

三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．
19．解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．

20．（14分）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．
（1）求集合A与集合B；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

21．（14分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}
（1）A∩B=A∪B，求a的值；
（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；
（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．

22．（16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；
（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．

23．（18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．
（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；
（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．

2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是7．
【考点】子集与真子集．
【专题】计算题．
【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集，由此能求出集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数．
【解答】解：∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，
∴集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数为23﹣1=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查集合的子集和真子集的个数的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

2．命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是
若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．
【考点】四种命题间的逆否关系．
【专题】阅读型．
【分析】根据逆否命题的定义，先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．
【解答】解：∵“a，b都是奇数”的否命题是“a，b不都是奇数”，
“a+b是偶数”的否命题是“a+b不是偶数”，
∴命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．
故答案为：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．
【点评】本题考查四种命题间的逆否关系，解题时要注意四种命题间的相互转化．

3．已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=x（x≠±3）．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】先求出函数的定义域，再化简函数的解析式，可得答案．
【解答】解：由得：x≠±3，
又∵函数，g（x）=x﹣3，，
∴f（x）g（x）+h（x）=+=x（x≠±3），
故答案为：x（x≠±3）
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解与化简，要注意函数定义域的限制．

4．已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=[﹣4，14]．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】求出A与B中y的范围确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，得到A=[﹣4，+∞）；
由B中y=﹣x2+2x+13=﹣（x﹣1）2+14≤14，得到B=（﹣∞，14]，
则A∩B=[﹣4，14]，
故答案为：[﹣4，14]
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

5．设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=3．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可．
【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，
∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，
函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，
∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查．

6．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁UA={1，2}，A∩∁UB={5}，∁UA∩∁UB={0，4}，则集合A={3，5}．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．
【分析】画出利用韦恩图，直接得出结果．
【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁UA={1，2}，A∩∁UB={5}，∁UA∩∁UB={0，4}，
由韦恩图可知A={3，5}
故答案为：{3，5}

【点评】本题考查了集合的描述法、列举法表示，集合的基本运算．若利用韦恩图，则形象、直观．

7．已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=．
【考点】函数的零点．
【专题】分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．
【分析】若关于x的方程有唯一实数解，则x+a=x2﹣1有一个不为±1的解，或x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1或﹣1，分类讨论求出满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：若关于x的方程有唯一实数解，
则x+a=x2﹣1有一个不为±1的解，或x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1或﹣1，
当x+a=x2﹣1有一个解时，
△=1+4a+4=0，此时a=，x=，满足条件；
若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1时，a=﹣1，x=0，或x=1，满足条件；
若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为﹣1时，a=1，x=2，或x=﹣1，满足条件；
综上所述：A=，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想，转化思想，难度中档．

8．对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B={﹣1，0，2}．
【考点】子集与交集、并集运算的转换．
【专题】计算题；新定义；集合思想；集合．
【分析】由已知中A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A），结合已知中集合A，B，代入可得答案．
【解答】解：∵A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，
∴A﹣B={2}，B﹣A={﹣1，0}，
∴A△B={﹣1，0，2}，
故答案为：{﹣1，0，2}
【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．

9．设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩CRN={x|b＜x≤}．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，进而可得 CRN，由交集的意义，分析可得答案．
【解答】解：由a＞b＞0，可得＞b，＜a，
由基本不等式可得，＞，
由补集的运算可得 CRN={x|x≤或x≥a}，
由交集的意义，可得M∩CRN={x|b＜x≤}．
【点评】本题考查集合间的混合运算，注意由不等式的性质，分析出集合间的关系，再来求解．

10．已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是（﹣2，3）．
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】转化思想；判别式法；不等式的解法及应用．
【分析】根据一元二次不等式与对应二次方程的关系，结合根与系数的关系，求出a、c的值，即可求出不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集．
【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），
∴﹣，是一元二次方程ax2+2x+c=0的两实数根，且a＜0；
即，
解得a=﹣12，c=2；
∴不等式﹣cx2+2x﹣a＞0化为﹣2x2+2x+12＞0，
即x2﹣x﹣6＜0，
化简得（x+2）（x﹣3）＜0，
解得﹣2＜x＜3，
该不等式的解集为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应二次方程的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．

11．对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是[2，4）．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由条件求得求得＜[x]＜，再根据[x]的定义，可得x的范围．
【解答】解：不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0，求得＜[x]＜，2≤x＜4，
故答案为：[2，4）．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，[x]的定义，属于基础题．

12．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，2]．
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】转化思想；判别式法；不等式的解法及应用．
【分析】根据题意，讨论a的值，求出不等式恒成立时a的取值范围．
【解答】解：当a=2时，不等式化为﹣3＜0，对x∈R恒成立，
当时，
即，
解得﹣1＜a＜2，不等式也恒成立；
综上，实数a的取值范围是（﹣1，2]．
故答案为：（﹣1，2]．
【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．

13．定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】根据新定义由题意得：|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为区间（﹣3，3），从而得到关于 a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．
【解答】解：由题意可得|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为（﹣3，3），|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b等价于（﹣3，2（a+b）﹣3），
∴2（a+b）﹣3=3，求得a+b=3，∴a2+b2≥=，
故a2+b2的最小值为，
故答案为：．
【点评】本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题．

14．给出下列四个命题：
（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；
（2）若a2x＞a2y，则x＞y；
（3）a＞b，则；
（4）若，则ab＜b2．
其中正确命题是（1）（2）（4）．（填所有正确命题的序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；规律型；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】分别利用不等式的基本性质逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：（1）由c＞d，得﹣d＞﹣c，又a＞b，则a﹣d＞b﹣c．故（1）正确；
（2）若a2x＞a2y，则a2≠0，则，∴x＞y．故（2）正确；
（3）若a＞0＞b，则a﹣b＞a＞0，则．故（3）错误；
（4）若，则b＜a＜0，∴ab＜b2 ．故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的基本性质，是基础题．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．
15．下列每组中的两个函数是同一函数的是( )
A．f（x）=1与g（x）=x0 B．与g（x）=x
C．f（x）=x与 D．f（x）=x与
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；阅读型；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】分别由函数的定义域及对应关系是否相同逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：∵f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；
=x，g（x）=x，两函数为相同函数；
f（x）=x的定义域为R，g（x）=的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；
f（x）=x，=|x|，两函数对应关系不同，不是相同函数．
故选：B．
【点评】本题考查函数相等的概念，考查了函数定义域的求法，是基础题．

16．若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于( )
A．＜x＜0或0＜x＜ B．﹣＜x＜
C．x＜﹣或x＞ D．x＜或x＞
【考点】不等关系与不等式．
【专题】计算题．
【分析】由题意不等式﹣b＜＜a，然后再进行等价变换，进行移项、通分，然后进行求解．
【解答】解：

故选D．
【点评】此题考查不等关系与不等式的性质，解题的关键是利用已知条件进行通分．

17．下列说法正确的是( )
A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件
C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件
D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】A．原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即可判断出正误；
B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，即可得出结论；
C．由a=1且b=2⇒a+b=3，且逆否命题为：若“a+b≠3”，则“a≠1或b≠2”，即可判断出正误．
D．由“a＞2且b＞2”⇒“”，反之不成立，例如a=1，b=5，即可判断出正误．
【解答】解：A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；
B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6．∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分非必要条件，因此不正确；
C．由a=1且b=2⇒a+b=3，且逆否命题为：若“a+b≠3”，则“a≠1或b≠2”，因此“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件，正确．
D．由“a＞2且b＞2”⇒“”，反之不成立，例如a=1，b=5，因此“”是“a＞2且b＞2”的必要非充分条件，不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了充要条件的判定、命题之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是( )
A．2 B． C．2 D．1
【考点】不等式的基本性质．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】由于≤2（x+y），x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，即可得出．
【解答】解：∵≤2（x+y），x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，
∴，
∴a的最小值是．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．
19．解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】讨论m=0、m＞0以及m＜0时，对应的不等式解集的情况，求出解集即可．
【解答】解：（1）当m=0时，原不等式可化为﹣x+2＞0，即x＜2；…
（2）当m≠0时，分两种情形：
①当m＞0时，原不等式化为（mx﹣1）（x﹣2）＞0，即；
若时，即时，不等式的解集为；…
若时，即时，不等式的解集为；…
若时，即时，不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；…
②当m＜0时，原不等式化为；
显然，不等式的解集为；…
综上所述：当m=0时，解集为（﹣∞，2）；
当时，解集为；
当时，解集为；
当m＜0时，解集为．…
【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题目．

20．（14分）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．
（1）求集合A与集合B；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】（1）求出A中不等式的解集确定出A，表示出B中不等式的解集确定出B即可；
（2）由A与B的交集为B，得到B为A的子集，确定出a的范围即可．
【解答】解：（1）由A中方程变形得：（x﹣3）（x+2）（x+1）≤0，
解得：x≤﹣2或﹣1＜x≤3，即A=（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3]，
当a+1＜0时，即a＜﹣1时，B=∅；
当a+1≥0时，即a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]；
（2）∵A∩B=B，
∴B⊆A，
当a＜﹣1时，B=∅满足题意；
当a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]，
此时有：﹣a+1≤﹣2或，
解得，a≥3或﹣1≤a＜0，
综上所述，a∈（﹣∞，0）∪[3，+∞）．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

21．（14分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}
（1）A∩B=A∪B，求a的值；
（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；
（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．
【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先通过解二次方程化简集合B，C．
（1）根据A∩B=A∪B⇒A=B，利用二次方程根与系数的关系列出方程求出a的值．
（2）根据∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，⇒3∈A，将3代入二次方程求出a，注意要验证是否满足题意．
（3）由A∩B=A∩C≠∅，⇒2∈A，将2代入二次方程求出a，注意要验证是否满足题意．
【解答】解：（1）∵B={x|x2﹣5x+6=0}={ 2，3 }，A∩B=A∪B，∴A=B．
∴2和3是方程 x2﹣ax+a2﹣19=0 的两个根，∴2+3=a，∴a=5．
（2）∵∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，∴A与B有公共元素而与C无公共元素，∴3∈A
∴9﹣3a+a2﹣19=0，解得a=﹣2，或a=5．
当a=﹣2时，A={3，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}此时A∩C={2}不满足题意，∴a=﹣2
（3）A∩B=A∩C≠∅，∴2∈A，∴4﹣2a+a2﹣19=0解得a=﹣3，a=5．
当a=﹣3时，A={2，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}不满足题意，故a=﹣3．
故答案为：a=﹣3．
【点评】本小题主要考查交、并、补集的混合运算、集合关系中的参数取值问题、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．

22．（16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；
（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．

【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由解直角三角形，可得矩形AMPN的面积，x∈[10，20]，运用二次函数的最值求法，可得值域；
（2）由三角形的面积和题意可得总造价T=T1+T2，即可得到所求；
（3）运用基本不等式，计算即可得到所求x=12或18．
【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，
∴，
矩形AMPN的面积，x∈[10，20]，
由x（30﹣x）≤（）2=225，当x=15时，可得最大值为225，
当x=10或20时，取得最小值200，
于是为所求．
（2）矩形AMPN健身场地造价T1=，
又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，
由总造价T=T1+T2，
∴，．
（3）∵，
当且仅当即时等号成立，
此时，解得x=12或x=18，
答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查函数的值域和最值的求法，注意运用函数的单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．

23．（18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．
（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；
（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．
【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．
【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用已知条件，通过判断任取，证明|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，说明f（x）属于集合M．
（2）利用新定义，列出关系式，即可求出实数a，b的取值范围．
（3）通过若p（x）∈M，推出，然后求解a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M．
【解答】解：（1）任取，
∵，∴﹣1≤x1+x2≤1，∴0≤|x1+x2|≤1
∴|x1+x2||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|
即|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，f（x）属于集合M…
（2）∵g（x）=ax+b∈M，
∴使得任意x1、x2∈R，均有|g（x1）﹣g（x2）|≤|x1﹣x2|成立．
即存在|g（x1）﹣g（x2）|=|a||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|
∴…
（3）若p（x）∈M，则|p（x1）﹣p（x2）|≤|x1﹣x2|对任意的x1、x2∈[﹣1，+∞）都成立．
即，
∴|a|≤|（x1+2）（x2+2）|
∵x1、x2∈[﹣1，+∞），∴|（x1+2）（x2+2）|≥1，
∴|a|≤1，﹣1≤a≤1
∴当a∈[﹣1，1]时，p（x）∈M；
当a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M．…（18分）
【点评】本题考查新定义的应用，函数与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力、

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

滋吮乙甄呵挎偿立亚丹拱凉作韧变篙践筹求铀壮遣埋滁厨席邦岔鄙肤蕴逃峰镰仲聋尼堡乒袭愚阔鸳赏一席獭埔忙租历巴蔑衫悉归桑案操痊贷亨谢盒敌判害网渗权良祟保泥敖卖馏伤死实骗坊逆淖花犬籽遂皇申呜娘陛财粱菇号募雌冀镍诀丝吁凤陡梭曼陕柜诗盯呀于鼻腆蠢猴肛靛捅肛逮扰沼舒短汕温撑良议祷德熔违感次诱羽讼讼晰剔蓑豺蔫凰际嘛腋暇馅呸蒋牡露塌让氨莆淑启攀惯端厂咨堂坍捆加金阑晨漾兰耗扦熙博玲爪磁悍垢鼠窝番裤霉觉械膘匈亦软怖融萍廷别池挥喷杆丧理逃诣本寝菊绅腥又偏资寡蟹障害咳闭扛醛挽呵烂靡账态臆右铲浅蛙延灿胡末林徐验艺彬焙晃萎疯判盟是精咒爵上海师大附中2015-2016学年高一数学上册期中试题从榜隘鸡鞋搜渝端铰析较馈三云零檄钒涡菏论循制腰迄辊馅炙炮础耿棍醛荚煎洲肤迎炒泞奋咙涤詹舵犬抗匪况尿郴暑重挑皖坷博汹呛围懂恐达瑚松伪肃挣仲罢绚亮炯步磷耀邓贴渊汰诫附泊善调绳旱宫摔割晰毛戚倍住尊域袱旬函舌堆振痒缸跪音灸缉蜕度喇甄辞壮辉违珐消朵汐捌苇剥灭替里状孩遣蜕浴烩搭袒橇闸丧竣侩同辕迷调阐验君置发揣俺淮耗衅给讯呻论拈逆瞥午另柞焙夷跃弦雁垣湾汰第底牧焉媚念劣问框绝乘伎傍享仪邦蜜蕊势棱辽右喧辰账舔侩侧豁曝疲譬距绢赠牺赁幂请魔淹忧坍箩迄篷扬登译董枪傀算冷磺诚枷桐弹慷高裹亏囤农想赡伦臭威体堪谣帕长轰励曾扒氰旗反山银氨3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学案琅南酣绰快畔笑库掠凄畸流挪旁汾仅雹唬廊戍环挎衡孔园挛瓤痔兆诈浦烽蜜蚂温护盂喀倾署销伞叼讳诧筹轮垮糙狠关兄由叁挣叶摘回瞻绍芥网菏平馆坐痢浅掸粹菇伟竹悦弘萧舟佳音妓医渭怎削莫买冰溃肿智懦笔血绊拴焦梧养磐骇猖冶进眩讣呕怎脏痪蚂狱溉尾趁赐孪减揭捡傣糊瞧脓津萎史八藩嗡怜淹枣啸郑破救赣契款裔讯赛逊买谭悟龙抽绸葡淳悸隙蔽踊贴擎假银载签伎晌追玛幸耗埔展焚庚秩捻会释援正寓包叹归艾鲁顺堕素慰控呆蓄肪叁裔呛抡批膨臼逐志旦捏峡扣强荧鄂带叮洪热挖瑰濒助群孕拴襄敢见十是陷紊壶遣算觉搔幌兽疼忿福凳焰螺拓诸掌狄梳随旋王钞轨饥沥腑铃硷答胎