高一数学下册巩固与练习题11.doc

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巩固

1．(2x－1)6的展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．60
C．120 D．240
解析：选B.(2x－1)6＝(－1＋2x)6⇒T3＝C62(－1)4·(2x)2＝60x2.选B.
2．(2008年高考安徽卷)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A.由(1＋x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8可以知道，a0、a1、a2、…、a8均为二项式系数，依次是C80、C81、C82、…、C88，
∵C80＝C88＝1，C81＝C87＝8，C82＝C86＝28，C83＝C85＝56，
C84＝70，∴a0，a1，…，a8中奇数只有a0和a8两个．
3．(2010年沈阳高中质检)已知n为等差数列－4，－2,0，…中的第8项，则二项式(x2＋)n展开式中常数项是(　　)
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
解析：选C.由前几项可得通项为
am＝2m－6，a8＝2×8－6＝10，
Tr＋1＝C10rx20－2r·2rx－＝2rC10rx20－r，
令20－r＝0，得r＝8.故为8＋1＝9项，故选C.
4．若(x2＋)n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．
解析：令x＝1，得2n＝32，得n＝5，
则Tr＋1＝C5r·(x2)5－r·()r＝C5r·x10－5r，
令10－5r＝0，r＝2.故常数项T3＝10.
答案：5　10
5.(2009年高考广东卷)(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．
解析：(x－y)10的展开式中含x7y3的项为C103x10－3y3(－1)3＝－C103x7y3，含x3y7的项为C107x10－7y7(－1)7＝－C107x3y7.
由C103＝C107＝120知，x7y3与x3y7的系数之和为－240.
答案：－240
6．已知(＋ )n的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数；
(3)求含x项的系数．
解：(1)前三项系数为1，Cn1，Cn2成等差数列．
∴2·Cn1＝1＋Cn2，即n2－9n＋8＝0.
∴n＝8或n＝1(舍)．
(2)由n＝8知其通项公式Tr＋1＝C8r·()8－r·( )r＝()r·C8r·x4－r，r＝0,1，…，8.
∴第三项的二项式系数为C82＝28.
第三项系数为()2·C82＝7.
(3)令4－r＝1，得r＝4，
∴含x项的系数为()4·C84＝.
练习

1．已知(＋)n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C.令x＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有＝64，∴n＝6.
2．设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)＝(　　)
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．(2x)5
解析：选D.由f(x)的特点知f(x)恰为[(2x＋1)－1]5的展开式，∴f(x)＝(2x)5.
3．若(x－)n的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．10 D．12
解析：选B.Tr＋1＝Cnr()n－r()rxn－r，令n－r＝0，n＝r，当r＝3时，正整数n的最小值是4.
4．若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选B.设x－2＝t，则x＝t＋2，
原式化为(2＋t)3＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3，
∴a2＝C32·2＝6，故选B.

5．若Cn1x＋Cn2x2＋…＋…＋Cnnxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
解析：选C.由Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅有C适合．
6．若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选C.(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009，令x＝，则(1－2×)2009＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
7．(x－y)4的展开式中x3y3的系数为________．
解析：(x－y)4的展开式的通项为

令得r＝2.
故展开式中x3y3的系数为(－1)2C42＝6.
答案：6
8．二项式(1－xi)n(x∈R，i为虚数单位)的展开式中含x2项的系数等于－28，则n＝________.
解析：由已知得
Tr＋1＝Cnr·1n－r·(－xi)r＝Cnr·(－1)r·ir·xr，
根据题意可知r＝2，∴(－1)2·i2·Cn2＝－28，
∴Cn2＝28，∴n＝8.
答案：8
9．若C233n＋1＝C23n＋6(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.
解析：3n＋1＝n＋6或3n＋1＋n＋6＝23得n＝4或n＝(舍去)．令x＝－1，有44＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.
答案：256
10．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于(x2＋)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．
解：由(x2＋)5得，
Tr＋1＝C5r(x2)5－r()r＝()5－r·C5r·x.
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
∴r＝4，∴常数项T5＝C54×＝16.
又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n.
由题意得2n＝16，∴n＝4.
由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴C42a4＝54，∴a＝±.
11．已知(4 ＋)n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.
(1)求含有x3的项；
(2)求二项式系数最大的项．
解：(1)由已知得Cnn－2＝45，即Cn2＝45，
∴n2－n－90＝0，解得n＝－9(舍)或n＝10，

令－＋r＝3，得r＝6，
∴含有x3的项是T7＝C106·44·x3＝53760x3.
(2)∵此展开式共有11项，
∴二项式系数最大项是第6项，

12．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值．
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
解：(1)由已知Cm1＋2Cn1＝11，∴m＋2n＝11，
x2的系数为Cm2＋22Cn2＝＋2n(n－1)
＝＋(11－m)(－1)
＝(m－)2＋.
∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，
此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.
设这时f(x)的展开式为
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.

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