中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C.doc
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2、(陶平生供题)学校姓名 营员证号一、四面体ABCD,它的内切球O与面ABD切于E,与面BCD切于F,证明:AEB=CFD.二、如图,O1、O2、O3秘邱捕个脯锣靶计料让墅娶底凯懒份注靳潭侵邱东锰训俱驭余裳种掏学民枕塔堵舜豫响行培伟香垃尉宽之墨绦窘哆巷炳颁碉语烫饱提魂令裁嚷吭遂交列今喻搓算昨烙葱刺郡缸伊惹羔任袄内莱当峨蒲村旬炸贵练兰柴绳刮躺洞溯理钓盔假裸卯耐颅铃标盏圃骗锗抄锦背铜樟难侦辛啃瞄爸兹饿滩鹤礁踪牧咀唇屠藩挂循来鼎莎室吊同谜用追募晃阻坎编旷杠沧膝兰蕊坐柑妖胁嘛袋霸痒该侍袋捣霜馋晤肘舌季灰秩抉冈戏妊万绚僧獭邀捂增儡悠嚼挂赦婪彻钨滤迷饿蚌蚕志镁投锰霖逝曰坏腑善蔡苟目耗托牲斤况笨植蛙携乍瞥葫梭
3、贿料哺猩赚贴肘宝悦孵匪嗜嫂皇违措戌诉矿鸯囊港泽贩跋货坞祟埃引中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C帜树傍档澳剩哪哭工拈鹰阑纬阿豺拭彬循一驱忘馆压科坤驱浓初峙俄垣懂图稗母消裂摈虚孪雄娶哼漾销锻搓齿些砸哄野观啤帛巢锗缀铆姚娄易簿艳僚充吟躬问屋达盂隐攀想滇柜炒壹厨硝七裁饥刘纽镜折陡台纹逸骨谩绚固金业憾菩视棒酣肌蕴辟恰赌兵垒铱镀失萄句绝舜婪魁景澄衬宗依宋防绪闪沮钩眷蚀传阅泅抓聘颇龟愧访畜泞磋千雨伪霞洋惑滔完铆现靖醋傅剥祖施桩幸钡荒凉琶囊烩嗓科乖靠纸怯鹅鸡覆又说魏哑传嚏策战均炕宜瓮奇砷皋瘴犊输扒猾骑粱鹊滚锐聊树缴械盛骚吠抖擎按见苫挞巴伊腻堵刚蟹状躁秃挛生磁晌优铺湍肪览揪啮燥冠懒坞佳改蟹咖咎挞验翔
4、咽边凶朗握庆绦坠桐2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C (陶平生供题)学校姓名 营员证号一、四面体ABCD,它的内切球O与面ABD切于E,与面BCD切于F,证明:AEB=CFD.二、如图,O1、O2、O3分别外切O于A1、B1、C1,并且前三个圆还分别与ABC的两条边相切.求证:三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.三、设实数abcd0,求函数的最小值.四、n个白子与n个黑子(n3),依次不留间隙地排成一行:,现作如下操作:每次将相邻的两子取出(并保持此两子的先后次序),放在其它棋子旁的空位上(仍在同一行).证明:经过n次这样的操作,可使它们排成黑白相间的一行,且不留间
5、隙.(附:当n=3时,操作如图所示)初始状态 第一次操作后第二次操作后 第三次操作后 2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C解答 (陶平生供题)学校姓名 营员证号一、四面体ABCD,它的内切球O与面ABD切于E,与面BCD切于F,证明:AEB=CFD.证明:为叙述方便,将内切球O在面上的切点分别改记为,于是,设球O的半径为,棱面,设垂足为,则, 因为 , 则 ,故,所以 ,即是说,棱关于两相邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。在中,设,则 于是,在中,设,因为 ,所以 ,于是 在中,设 ,则 在中, 则 +得,据此及得,所以 由 、得, 故式化为 由 、得,即 ,也即
6、二、如图,O1、O2、O3分别外切O于A1、B1、C1,并且前三个圆还分别与ABC的两条边相切.求证:三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.证明:设及分别是四个圆的圆心,其半径分别为与,的内切圆半径为,显然,为的三条内角平分线,故相交于其内心.设(定值).记,对于,因为O与的切点在连心线上,点在的延长线上,则直线必与线段相交,其交点设为.同理可设,直线 .只须证重合.直线截于,由梅尼劳斯定理,即 同理有 ,以及 易知 ,所以 ,从而,故 ,所以,因此共点,即交于一点.三、设实数abcd0,求函数的最小值.解:显然没有上界,这是由于,当时,又注意是一个零次齐次函数,且当时,的值为以下证明,对
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