2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库58.doc

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第3讲 二项式定理
一、填空题
1．已知展开式的第4项等于5，则x等于________．
解析 由T4＝Cx4＝5得x＝－.
答案 －
2．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．
答案 7
3．在6的二项展开式中，x2的系数为________．
解析　在6的展开式中，第r＋1项为
Tr＋1＝C6－rr＝C6－rx3－r(－2)r，
当r＝1时为含x2的项，其系数是C5(－2)＝－.
答案　－
4．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________．
解析　由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.
答案　1或38
5．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为________．
解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，
令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.
答案　150
6． 的展开式中x2的系数为70，则a＝________．
答案 ±1
7．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________．
答案 5
8． (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)6的展开式中，含x2项的系数为_______．
解析 含x2项的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝35.
答案 35
9．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
解析　对于Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，
B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.
答案　2
10． 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．
解析　令x＝1，由已知条件1＋a＝2，则a＝1.5＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)32＋C(2x)2·3＋C(2x)4＋5
＝32x5－80x3＋80x－40＋10－，则常数项为40.
答案　40
二、解答题
11．已知n，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解　(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C727＝3 432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
∴　∴9.4≤k≤10.4，
∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.
12．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．
(1)试用组合数表示这个一般规律；
(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．
第0行　　　　　　　1
第1行　　　　　　 1　1
第2行　　　　　　1　2　1
第3行　　　　　1　3　3　1
第4行　　　　1　4　6　4　1
第5行　　　1　5　10　10　5　1
第6行　　1　6　15　20　15　6　1
解　(1)C＝C＋C.
(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.
(3)设C∶C∶C＝3∶4∶5，
由＝，得＝，
即3n－7r＋3＝0， ①
由＝，得＝，
即4n－9r－5＝0 ②
解①②联立方程组得，n＝62，r＝27，
即C∶C∶C＝3∶4∶5.
13．把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2i－1个正整数，设aij(i，j∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．
(1)求a69的值；
(2)用i，j表示aij；
(3)记An＝a11＋a22＋a33＋…＋ann(n∈N*)，求证：当n≥4时，An>n2＋C.
1
2　3
4　5　6　7
8　9　10　11　12　13　14　15
…　…　…　…　…
(1)解　a69＝25＋(9－1)＝40.
(2)解　∵数表中前(i－1)行共有1＋2＋22＋…＋2i－2＝(2i－1－1)个数，则第i行的第一个数是2i－1，
∴aij＝2i－1＋j－1.
(3)证明　∵aij＝2i－1＋j－1，则ann＝2n－1＋n－1(n∈N*)，
∴An＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
　＝2n－1＋，
当n≥4时，An＝(1＋1)n－1＋>C＋C＋C＋C－1＋＝n2＋C.
14．从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{r|r∈N，r≤n}．
(1)证明：f(r)＝f(r－1)；
(2)利用(1)的结论，证明：当n为偶数时，(a＋b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大．
证明　(1)∵f(r)＝C＝，
又∵f(r－1)＝C＝，
∴f(r－1)＝
＝.
则f(r)＝f(r－1)成立．
(2)设n＝2k，
∵f(r)＝f(r－1)，f(r－1)>0，
∴＝.
令f(r)≥f(r－1)，∴≥1.
则r≤k＋(等号不成立)．
∴r＝1,2，…，k时，f(r)>f(r－1)成立．
反之，当r＝k＋1，k＋2，…，2k时，f(r)<f(r－1)成立．
∴f(k)＝C最大．
即(a＋b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大.

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