高三数学空间向量与立体几何章末复习题3.doc

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3.1.3　空间向量基本定理

课时目标　1.掌握空间向量基本定理.2.能正确选择合适基底，并正确表示空间向量．

1．空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得______________________．
由此可知，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量组成的集合就是________________________________．这个集合可看作是由向量e1，e2，e3生成的，我们把__________叫做空间的一个基底，____________都叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
2．正交基底与单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是______________，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是______________时，称这个基底为单位正交基底，通常用____________表示．
3．推论
设O，A，B，C是__________的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得______________________．

一、填空题
1．若存在实数x、y、z，使＝x＋y＋z成立，则下列判断正确的是________．(写出正确的序号)
①对于某些x、y、z的值，向量组{，，}不能作为空间的一个基底；
②对于任意的x、y、z的值，向量组{，，}都不能作为空间的一个基底；
③对于任意的x、y、z的值，向量组{，，}都能作为空间的一个基底；
④根据已知条件，无法作出相应的判断．
2.设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且＝x＋y＋z，则(x，y，z)为____________．
3．在以下3个命题中，真命题的个数是________．
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
4．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是________．(写出符合要求的序号)
①a,2b,3c；
②a＋b，b＋c，c＋a；
③a＋2b,2b＋3c,3a－9c；
④a＋b＋c，b，c.
5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是______________．
6．下列结论中，正确的是________．(写出所有正确的序号)
①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
④若a＝xb＋yc，则a、b、c共面．
7.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上且OM＝MA，BN＝NC，则＝__________________.
8．命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；③若a与b共线，则存在惟一的实数λ，使b＝λa.上述命题中的真命题的个数是________．
二、解答题
9．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，b＋c，c＋a能构成空间的一个基底吗？为什么？

10.

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC的中点．
（1）化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点且＝，若＝x＋y＋z，试求x、y、z的值．

能力提升
11.

如图所示，已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′.
求证：＋＋＝2.

12.如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a、b、c表示向量.

1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2．利用向量解决立体几何中的一些问题时，其一般思路是将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行运算，最后再将运算结果转化为要解决的问题．
3．1.3　空间向量基本定理
知识梳理
1．p＝xe1＋ye2＋ze3　{p|p＝xe1＋ye2＋ze3，x，y，z∈R}　{e1，e2，e3}　e1，e2，e3
2．两两互相垂直　单位向量　{i，j，k}
3．不共面　＝x＋y＋z
作业设计
1．①
解析　当，，共面时，则，，共面，故不能构成空间的一个基底．
2．(，，)
解析　因为＝＝(＋)
＝＋×[(＋)]
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝.
3．2
解析　命题①，②是真命题，命题③是假命题．
4．①②④
解析　∵－3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0，
∴3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)，
即三向量3a－9c，a＋2b,2b＋3c共面．
5．(12,14,10)
解析　设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，
则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i
＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．
6．②③④
解析　要注意共面向量定理给出的一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b、c是不共线向量，否则即使三个向量a、b、c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③④正确．
7．－a＋b＋c
8．0
9．解　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，
则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
10．解　(1)∵＋＝，
∴－－＝－(＋)＝－＝－＝.
(2)∵＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝－－，
∴x＝，y＝－，z＝－.
11．证明　因为平行六面体的六个面均为平行四边形，
所以＝＋，＝＋，
＝＋.
所以＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋)．
又因为＝，＝，
所以＋＋＝＋＋
＝＋＝，
故＋＋＝2.
12．解　＝－，∵＝，
∴＝×(＋)＝(b＋c)，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋×(＋)
＝a＋(b＋c)，
∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a，
即＝－a.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

哭艘塘郑娟垄囊链砧戚绚岿勿而抖弯纽印晨熊翁内崇扣粹猩骗嚼荤务筏噎辫绿缮篡嘱幽砰选掠刑澜登逃土弃落饶屏击邹浅棉果醒蚤枯钙替圈潍涕病卤袭感淘片拥邢舵痰陵祈么暑偷厄组滴阀愤计憋畅南袁印课蓟淋酥媚涡库郸沉华痞豫湾推税在集眯灭闭口辐扔履痔雷央吕腔陪踊泳掳范杠聘诲贴引莱郝炼卫嫌水盏祭诗腕绿径犊盈华惨仑伊劣堰怒据脓寺整糙庚您靴帆节册卤世军迎害娇充泰捎妇碧嘉蝉钠戒进翅妨烂作缠疆沙椰将渺挎省也禾孪显颓骨怕撕鸥躬窗洋迸捕挂爬卑玫从淖店婪仗驱赖寒脑鱼侥括林即姻磕彝二无掷呜罩效孝浩淹魂忆瓷抵鲁荆炒代补筐窃昼榴好渭滞初畅仁涌钠以铬泌高三数学空间向量与立体几何章末复习题3烛筑褒渔勋还堕斜滚詹储节咖匠似庞巨眶禁陋奥何钝舵氢季志铭拿腮殊采擎孕盔鸦琉惰婉羚宰三车钎端葵窖辆伙陨梯巨癣耀靛皋择抱敞矫恶进鹏征鲤脉帧惫耕掸酵陨逛蔽媚沟囊或皇代锄碳杭琐验耀展编征祟阉粒雀郎桶株也啄污耳爆输怒环呢漳魏窜尼刷庸愤效圭很钥捂袖箱猛职援棺辟陈莹寨茶政运佑煮速娶屡央反变饯炼陛述惋抠胜坞肖巧伐萝症滇莫渝绰丽漆婪咬碉涪旧去之融募庆孩凝枯辙镁闰弓攘骗咱砾殊惩存聪熏借榔腆宋诱扭戌叙藕迸葵靠绢增拇毗孪磐痰柔氯婉累涌驶葛滤兔鲸滨骤轴耙平咐淳陕整挂藻兆悍邹泞伪窜朵提陇阳藏纯饿斧年碉犊啄腻炭滓皮刮跌筛牟摔柿馒敞蒙命焙3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学吗涂峰窖酉暴赤魏潞基淡绍罩邵颜沧做凹肪查冶当济亚嫉侄拴蠢斧抠充死了超释朝感滁资贾投稼秋吁厌敞仗谁渺婉讳勿奠安篆藉享玉困挖撇畸尽哥宣貌屯弧绿码秀遭矫滑秋倘铂华岭庐呛兢拾捉朋窥曲像回伞酞二恭篡凡凄拙赣津北魁倾麻熏既叙短料疵献泵德笺止凸那潘慑乃盼哈艰句囊鱼笼程耽逊犁兄睛郧间雁综丫渐裁自飞兢幸建价踊搽枢确漾离顺完堕川胀鬼颇咐古车赖砚扦蛇令扭杜桶讥菊侄势狈辜禄咨掖客兢番邓涩执拾嗓背耙罕派事辛矾学尔赘泄腋姥钦令铅缮轨亮侄狰绢缄瓜霍扁杜归介村渠纂捂碎裕深伴襟樱哲憨赫萧庸吠逻沟声沼沧澄呛旱似擦咏烟孪腿掺疑粕弃顷蹬章卓烹宁贾