新疆乌鲁木齐2016届高三数学上册第二次月考试题.doc

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2015-2016学年新疆乌鲁木齐市八一中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）

一．选择题（每题5分，共60分）
1．不等式x﹣＜1的解集是( )
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3） D．（﹣1，3）

2．复数的实部为( )
A．i B．﹣1 C．1 D．﹣1

3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=( )
A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2

4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a﹣2n﹣1+，则a的值为( )
A．﹣ B． C．﹣ D．

5．如图，为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )

A．6+ B．24+ C．14 D．32+

6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为( )
A．2 B．﹣4 C．﹣1 D．4

7．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的( )
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8．当x∈时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．

9．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是( )
A．（，1） B．（1，e﹣1） C．（e﹣1，2） D．（2，e）

10．若﹣2x2+5x﹣2＞0，则等于( )
A．4x﹣5 B．﹣3 C．3 D．5﹣4x

11．等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=( )
A．26 B．29 C．212 D．215

12．下列命题正确的个数有( )
（1）命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；
（2）命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；
（3）经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）来表示；
（4）在数列{an}中，a1=1，Sn是其前n项和，且满足Sn+1=+2，则{an}是等比数列；
（5）若函数f（x）=x3+ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则a=4，b=11．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（每题5分，共20分）
13．已知命题p：不等式|x﹣1|＞m的解集是R，命题q：f（x）=在区间（0，+∞）上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的范围是__________．

14．已知命题p：∃x∈R，ax2+2x+1≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是__________．

15．若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为__________．

16．已知正四棱锥P﹣ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是__________．

三．解答题（共70分）
17．已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式
（2）若数列{bn}满足bn+1﹣bn=an（n∈N*），且b1=3，求数列的前n项Tn．

18．已知向量，，且A为钝角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）取最大值时x的集合．

19．已知函数f（x）=ex﹣lnx，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在区间内存在x0，使不等式f（x）＜x+m成立，求m的取值范围．

20．已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π）．
（1）若||=（O为坐标原点），求与的夹角；
（2）若，求sinα﹣cosα的值．

21．如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．
（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；
（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

22．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx （a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

2015-2016学年新疆乌鲁木齐市八一中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）

一．选择题（每题5分，共60分）
1．不等式x﹣＜1的解集是( )
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3） D．（﹣1，3）
【考点】其他不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】直接利用分式不等式求解即可．
【解答】解：不等式x﹣＜1化为：，
即：，由穿根法可得：不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）
故选：C．

【点评】本题考查分式不等式的解法，考查计算能力．

2．复数的实部为( )
A．i B．﹣1 C．1 D．﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题．
【分析】分子分母同乘分母的共轭复数2﹣i，化简后即可求得复数的实部．
【解答】解：因为，所以实部为1．
故选C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算采用分子分母同乘分母的共轭复数．

3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=( )
A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，
∴=a2，=a×a×cos60°=，
则=（）•==
故选：D
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题

4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a﹣2n﹣1+，则a的值为( )
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】根据数列的前n项的和求出数列的前三项，再由等比数列的定义可得 =a1•a3，由此求得a的值．
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn=a﹣2n﹣1+，
则 a1=s1=a﹣1+，a2=s2﹣s1=（a﹣2+ ）﹣（a﹣1+ ）=﹣1，a3=s3﹣s2=（ a﹣4+ ）﹣（ a﹣2+ ）=﹣2，
由 =a1•a3 可得 （﹣1）2=（a﹣1+ ）（﹣2），解得 a=，
故选B．
【点评】本题主要考查根据数列的前n项的和求数列的通项公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．

5．如图，为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )

A．6+ B．24+ C．14 D．32+
【考点】由三视图求面积、体积；三垂线定理．
【专题】计算题；图表型．
【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个正三棱柱，其高为4，底面正三角形的高为，由这些数据求出其底面边长即可求出其全面积
【解答】解：由题意，此几何体是一个高为4的正三棱柱，其底面正三角形的高是
由于底面正三角形的高是，由正三角形的几何特征，其边长为2
∴底面的面积为，底面的周长为6
∴几何体的全面积为=24+2
故选B．
【点评】本题考查由三视图还原几何体的能力，考查答题者的空间想像能力以及利用相关公式求几何体的表面积的能力．

6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为( )
A．2 B．﹣4 C．﹣1 D．4
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x数形结合可得．
【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），
变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，
当直线经过点A（0，4）时，目标函数取最小值，
代值计算可得z的最小值为﹣4，
故选：B．

【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．

7．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的( )
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】两条直线垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0的根是否只有．
【解答】解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0的斜率是，
∴满足k1•k2=﹣1，
∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分条件，
而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0得：m=或m=﹣2．
∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”充分而不必要条件．
故选：B．
【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．

8．当x∈时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．
【专题】综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．
【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，
令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．

9．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是( )
A．（，1） B．（1，e﹣1） C．（e﹣1，2） D．（2，e）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题．
【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
【解答】解：∵f（e﹣1）=lne﹣=1﹣=＜0，
f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，
∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是 （e﹣1，2），
故选C．
【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．

10．若﹣2x2+5x﹣2＞0，则等于( )
A．4x﹣5 B．﹣3 C．3 D．5﹣4x
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】先由﹣2x2+5x﹣2＞0得出x的取值范围，再将化简成：|2x﹣1|+2|x﹣2|的形式，最后利用绝对值的定义化简即得．
【解答】解：由﹣2x2+5x﹣2＞0得：
＜x＜2．
∴则
=|2x﹣1|+2|x﹣2|
=2x﹣1+2（2﹣x）
=3．
故选C．
【点评】本小题主要考查函数的值、根式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

11．等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=( )
A．26 B．29 C．212 D．215
【考点】导数的运算；等比数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．
【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，
得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．
故选：C．
【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．

12．下列命题正确的个数有( )
（1）命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；
（2）命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；
（3）经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）来表示；
（4）在数列{an}中，a1=1，Sn是其前n项和，且满足Sn+1=+2，则{an}是等比数列；
（5）若函数f（x）=x3+ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则a=4，b=11．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】对于（1），由复合命题的真值表加以判断；
对于（2），直接写出特称命题的否定加以判断；
对于（3），化直线方程的两点式为整式方程，说明命题正确；
对于（4），由数列递推式得到2an+1=an（n≥2），求出a2后说明，命题错误；
对于（5），求导数，利用函数在x=1处有极值10，得到两个条件f（1）=10和f'（1）=0，然后利用方程组求解a，b．
【解答】解：（1），“p∧q为真命题”是p和q均为真命题．而“p∨q为真命题”只要p和q中至少有一个真命题即可，故命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，命题（1）错误；
（2）命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题（2）错误；
（3）经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）来表示，命题（3）正确；
（4）在数列{an}中，a1=1，Sn是其前n项和，且满足Sn+1=+2，即2Sn+1=Sn+4，
取n=n﹣1，得2Sn=Sn﹣1+4（n≥2），两式作差得：2an+1=an（n≥2），
由Sn+1=+2，且a1=1求得，则{an}不是等比数列，命题（3）错误；
（5）若函数f（x）=x3+ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则a=4，b=11，正确．
由函数的导数为f'（x）=3x2+2ax﹣b，
∵函数f（x）=x3+ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，
∴f（1）=10且f'（1）=0．
即，解得或．
当a=﹣3，b=﹣3时，f'（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2≥0，
此时函数单调递增，此时函数没有极值，不满足条件．
经检验值当a=4，b=11时，满足条件，命题（5）正确．
∴正确的命题是2个．
故选：B．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了等比关系的确定，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．

二．填空题（每题5分，共20分）
13．已知命题p：不等式|x﹣1|＞m的解集是R，命题q：f（x）=在区间（0，+∞）上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的范围是
解得cosα=，
又∵0＜α＜π，
∴α=，
∴sinα=，
∴=（，），又=（0，2），
设与的夹角为θ，则0＜θ＜π；
∴cosθ===，
∴θ=．
（2）∵=（﹣2+cosα，sinα），=（cosα，﹣2+sinα），
且，
∴•=0，
即（﹣2+cosα）cosα+（﹣2+sinα）sinα=0，
∴﹣2conα﹣2sinα+1=0，
∴sinα+cosα=，
∴1+2sinαcosα=，
∴2sinαcosα=﹣，
又0＜α＜π，
∴cosα＜0，
∴sinα﹣cosα===．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算以及三角函数的运算问题，是综合性题目．

21．如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．
（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；
（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）由已知得BD⊥AB，AD=，AB=10=直径，由此能证明平面AEC⊥平面BCED．
（2）以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．
【解答】（1）证明：∵BD⊥平面ABC，
∴BD⊥AB，又∵BD=1，cos，
∴AD=，AB=10=直径，
∴AC⊥BC，又BC⊥平面ACE，BC⊂平面BCED，
∴平面AEC⊥平面BCED．
（2）解：存在．
如图，以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（8，0，0），B（0，6，0），D（0，6，1），E（0，0，4），
=（﹣8，6，1），=（0，﹣6，3），
设=λ=（0，﹣6λ，3λ），0＜λ＜1，
故=+=（﹣8，6﹣6λ，1+3λ），
由（1）得平面ACE的法向量为=（0，6，0），
设直线AM与平面CE所成角为θ，
则sinθ===，
解得．
∴线段DE上存在点M，且时，
使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．

【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

22．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx （a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f （x）的极值；
（Ⅱ）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；
（Ⅲ）确定f（x）在上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得，从而可求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
当a=1时，．
令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值…
（Ⅱ）===
当，即a=2时，，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当，即a＞2时，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得．
当，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或；令f′（x）＞0，得．
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在和（1，+∞）单调递减，在上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和单调递减，在上单调递增
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在上单调递减，
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值．
∴
∴ma+ln2＞
而a＞0经整理得
由2＜a＜3得，所以m≥0．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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