高三数学课时限时训练题6.doc

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(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．(2010·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是(　　)
A．y＝log0.5(1－x) B．y＝x0.5
C．y＝0.51－x D．y＝(1－x2)
解析：y＝log0.5(1－x)在(0,1)上为增函数；
y＝x0.5在(0,1)上是增函数；
y＝0.51－x在(0,1)上为增函数；
函数y＝(1－x2)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，
∴函数y＝(1－x2)在(0,1)上是减函数．
答案：D
2．函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a的值是(　　)
A．1 B．3
C．5 D．－1
解析：依题意可得对称轴x＝＝1，∴a＝5.
答案：C
3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：∵f(x)为R上的减函数，且f(|x|)<f(1)，
∴|x|>1，∴x<－1或x>1.
答案：D
4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于(　　)
A．－1 B．1
C．6 D．12
解析：由题意知
当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，
又∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
答案：C
5．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析：对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，实际上等价于函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，故f(3)<f(2)<f(1)，由于函数是偶函数，故f(3)<f(－2)<f(1)．
答案：A
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在区间[3,5]上单调递增，则函数f(x)在区间[1,3]上的(　　)
A．最大值是f(1)，最小值是f(3)
B．最大值是f(3)，最小值是f(1)
C．最大值是f(1)，最小值是f(2)
D．最大值是f(2)，最小值是f(3)
解析：依题意得f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．由f(x)在[3,5]上是增函数与f(x)的图象关于直线x＝1对称得，f(x)在[－3，－1]上是减函数．又函数f(x)是以4为周期的函数，因此f(x)在[1,3]上是减函数，f(x)在[1,3]上的最大值是f(1)，最小值是f(3)．
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
解析：y＝－(x－3)|x|
＝
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，]．
答案：[0，]
8．设x1、x2为方程4x2－4mx＋m＋2＝0的两个实根，当m＝________时，x＋x有最小值________．
解析：由根与系数的关系得：x1＋x2＝m，x1x2＝，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－＝2－.
又x1，x2为实根，∴Δ≥0，∴m≤－1或m≥2，
∵y＝2－在区间(－∞，－1]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
又抛物线y开口向上且以m＝为对称轴，
故m＝－1时，ymin＝.
答案：－1　
9．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意得解得2<a≤3.
答案：(2,3]
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．求函数f(x)＝x＋(a>0)的单调区间．
解：∵函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
设x1、x2≠0，且x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋＝.
(1)当x1<x2≤－a或a≤x1＜x2时，
x1－x2<0，x1·x2>a2，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－a]上和在[a，＋∞)上都是增函数．
(2)当－a≤x1<x2<0或0<x1<x2≤a时，x1－x2<0，
0<x1·x2<a2，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[－a,0)和(0，a]上都是减函数．
11．已知函数f(x)＝a－.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，
设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0.
f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)＝－
＝<0.
∴f(x1)<f(x2)，
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意a－＜2x在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝2x＋，则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故a≤h(1)，即a≤3，∴a的取值范围为(－∞，3]．
12．定义在R上的函数f(x)满足对任意x、y∈R恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)不恒为0.
(1)求f(1)和f(－1)的值；
(2)试判断f(x)的奇偶性，并加以证明；
(3)若x≥0时f(x)为增函数，求满足不等式f(x＋1)－f(2－x)≤0的x的取值集合．
解：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)．
∴f(1)＝0.
令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)．
∴f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得
f(－x)＝f(x)＋f(－1)．
又f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(x)，
又f(x)不恒为0，∴f(x)为偶函数．
(3)由f(x＋1)－f(2－x)≤0，知f(x＋1)≤f(2－x)．
又由(2)知f(x)＝f(|x|)，
∴f(|x＋1|)≤f(|2－x|)．
又∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴|x＋1|≤|2－x|.
故x的取值集合为.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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