高等代数知识点总结省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、总结高等代数高等代数多项式线性代数矩阵向量方程组计算第1页多多项式式一元多一元多项式式多元多多元多项式式2第2页 基本概念基本概念:次数:最基本概念和工具整除:多项式之间最基本关系带余除法:最基本算法,判断整除.最大公因式:描述多项式之间关系复杂程度互素:多项式之间关系最简单情形既约多项式:最基本多项式根:最主要概念和工具一元多项式一元多项式3第3页 主要结论主要结论:带余除法定理对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x),有唯一q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x),r(x)=0或degr(x)degg(x).最大公因式存在和表示定理 任意两个不全为0多项式都有最大公因式
2、,且对于任意最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.4第4页 因式分解唯一定理 次数大于1多项式都可分解成有限个既约多项式之积,且不计因子次序和常数因子倍时,分解唯一.标准分解定理 每个次数大于1多项式f都有以下标准分解其中a是非零常数,p1,pt,是互不相同首一既约多项式,n1,nt是正整数.深入,a,p1,pt,n1,nt由f唯一确定.重因式 f无重因式当且仅当f与其导式互素.5第5页代数学基本定理:以下陈说等价,1.复数域上次数1多项式总有根2.复数域
3、上n次多项式恰有n个根3.复数域上既约多项式恰为一次式4.复数域上次数1多项式可分解成一次式之积.5.实数域上次数1既约多项式只有没有实根二次式6.实数域上次数1多项式可分解成一次式和二次式之积6第6页 实数域上标准分解定理 在实数域上,每个次数大于1多项式f都有以下标准分解其中a是f常数项,x1,xt 是f全不互不相同根,p1,pt是互异、首一、无实根二次式.复数域上标准分解定理 在复数域上,每个次数大于1多项式f都有以下标准分解其中a是f常数项,x1,xt 是f全部互不相同根,n1,nt分别是这些根重数.7第7页 多项式作为函数:两个多项式相等(即对应系数相同)它们作为函数相等(即在每点函
4、数值相等)它们在k+1个点函数值相等,这里k是它们次数最大者.设f(x)anxn+.+a1x+a0,若f(x)在n+1个点函数值为0,则f(x)恒等于0.8第8页 Eisenstein判别法:设 是整系数多项式,若有素数p使得 则f(x)是有理数域上既约多项式.有理根:有理根分母整除首项系数,分子整除常数有理根分母整除首项系数,分子整除常数项项9第9页l 主要结论主要结论 命题1.8.1 若多项式值全为0,则该多项式必为0.命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和 ,fn0,且其中fi是0或i次齐次多项式,0in,fi称为fi次齐次分量.l 基本概念基本概念:次数、齐次分
5、量、字典序、首项、对称多项式多元多项式多元多项式对称多项式基本定理 每个对称多项式,都可唯一地表示成初等对称多项式多项式.10第10页矩矩阵运算运算行列式行列式初等初等变换和和标准形准形特殊矩特殊矩阵11第11页运算及其关系运算及其关系转转置置取逆取逆伴随伴随行列式行列式秩数秩数加加法法(A+B)T=AT+BTr(A+B)r(A)+r(B)数数乘乘(kA)T=k AT(kA)1=k 1A 1(kA)*=kn 1A*|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k0)乘乘 法法(AB)T=BT AT(AB)1=B 1 A 1(AB)*=B*A*|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(
6、A),r(B)转转置置(AT)T=A(AT)1=(A 1)T(AT)*=(A*)T|AT|=|A|r(AT)=r(A)取取逆逆(A 1)1=A(A 1)*(A*)1|A 1|=|A|1伴伴随随(A*)*=|A|n 2A*|A*|=|A|n 1 n,若r(A)=n r(A*)=1,若r(A)=n-1 0,若r(A)n-1其其它它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|E当当A可逆可逆时时,A*|A|A 1定义定义性质性质若P,Q可逆,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)12第12页转置转置取逆取逆伴随伴随加法(A+B)T=AT+BT数乘(kA)T=k AT(kA)1=k 1A 1
7、(kA)*=kn 1A*乘法(AB)T=BT AT(AB)1=B 1 A 1(AB)*=B*A*转置(AT)T=A(AT)1=(A 1)T(AT)*=(A*)T取逆(A 1)1=A(A 1)*(A*)1伴随(A*)*=|A|n 2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I当当A可逆可逆时时,A*|A|A 113第13页行列式行列式秩数秩数加法r(A+B)r(A)+r(B)数乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k0)乘法|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A),r(B)转置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A 1|=|A|1伴随|A*|=|A|n
8、1 n,若若r(A)=n r(A*)=1,若若r(A)=n 1 0,若若r(A)n 1 其它定义定义性质性质若P,Q可逆,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)14第14页性质公式备注转置不变性|AT|=|A|行列地位平等反交换性|.|=|.|换法变换交织性|.|=0齐性|.k.|=k|.|倍法变换统称线性加性|.+.|=|.|+|.|倍加不变性|.+k.|=|.|消法变换按第k行第k列展开|aij|=ak1Ak1+aknAkn =a1kA1k+ankAnkaj1Ak1+ajnAkn=a1jA1k+anjAnk=jk|aij|Laplace定理分块三角矩阵行列式Cauchy-Bine
9、t 公式Vandermonde行列式定义 性质;15第15页Laplace定理(按第i1,.,ik行展开);分块三角形行列式16第16页Cauchy-Binet公式公式 设U是mn矩阵,V是nm矩阵,mn,则17第17页18第18页初等变换初等变换行变换行变换列变换列变换换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换对单位矩阵做一次初等变换对单位矩阵做一次初等变换对对A A做一次做一次行行变换变换 =用对应初等矩阵用对应初等矩阵左左乘以乘以A A对对A A做一次做一次列列变换变换 =用对应初等矩阵用对应初等矩阵右右乘以乘以A A19第19页 对于对于mn矩阵矩阵A,B以下条件等价以下条件等价
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