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高阶微分方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作名家之言名家之言“有很多人很聪明,却被聪明所误。有很多人很聪明,却被聪明所误。”“样样好,样样也干不好。样样好,样样也干不好。”学会观赏学会观赏第1页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作名言警句名言警句 车尔尼雪夫斯基车尔尼雪夫斯基人活动假如没有理想鼓舞,就会变得人活动假如没有理想鼓舞,就会变得空虚而渺小空虚而渺小!在今天和明天之间,有一段很长时间;趁在今天和明天之间,有一段很长时间;趁你还有精神时候,学习快速办事你还有精神时候,学习快速办事!歌德歌德读书之法读书
2、之法,在循序而渐进在循序而渐进,熟读而精思熟读而精思!朱熹朱熹第2页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程第3页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作主要内容主要内容 微分方程一些基本概念及其应用;微分方程一些基本概念及其应用;一阶微分方程初等求解方法一阶微分方程初等求解方法;一阶微分方程解存在定理及其分析性质。一阶微分方程解存在定理及其分析性质。一、复习一、复习结论结论 求解微分方程一些基本方法;求解微分方程一些基本方法;微分方程解性质。微分方程解性质。第4页内江
3、师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作二、引言二、引言 在前面讨论中已经看出,在实际问题中除了已在前面讨论中已经看出,在实际问题中除了已讨论一阶微分方程外,还将碰到一些其它类型非一讨论一阶微分方程外,还将碰到一些其它类型非一阶微分方程,即阶微分方程,即高阶微分方程高阶微分方程,也就是二阶及二阶,也就是二阶及二阶以上微分方程。对于高阶微分方程度基本理论(包以上微分方程。对于高阶微分方程度基本理论(包含存在唯一性定理)和求解方法,分两步来处理:含存在唯一性定理)和求解方法,分两步来处理:对于线性微分方程(组)在本章和下一章讨论;而对于线性微分方程(组)在本
4、章和下一章讨论;而非线性微分方程(组)在第六章讨论。非线性微分方程(组)在第六章讨论。第5页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 在微分方程理论中,线性微分方程是非常值得在微分方程理论中,线性微分方程是非常值得重视一部分内容,这不但因为线性微分方程普通理重视一部分内容,这不但因为线性微分方程普通理论已被研究得十分清楚,而且线性微分方程是研究论已被研究得十分清楚,而且线性微分方程是研究非线性微分方程基础,它在物理、力学和工程技术非线性微分方程基础,它在物理、力学和工程技术中也有着广泛应用。所以,本章着重讨论线性微分中也有着广泛应用。所以,本章着重讨
5、论线性微分方程基本理论和常系数微分方程解法,对于高阶微方程基本理论和常系数微分方程解法,对于高阶微分方程降阶问题和二阶线性方程幂级数解法也作适分方程降阶问题和二阶线性方程幂级数解法也作适当地介绍。当地介绍。二、引言二、引言第6页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作主要内容主要内容 线性微分方程普通理论线性微分方程普通理论;常系数线性微分方程解法常系数线性微分方程解法;高阶微分方程降阶和幂级数解法高阶微分方程降阶和幂级数解法.本章重点本章重点 线性微分方程基本理论线性微分方程基本理论;常系数微分方程解法常系数微分方程解法.主要伎俩主要伎俩 转化法转
6、化法,即即简化问题简化问题.三、主要内容和方法三、主要内容和方法第7页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作普通普通n阶线性微分方程为阶线性微分方程为 这里这里 是是 已知函数。已知函数。主主 题:题:讨论以下形式微分方程解及其结构讨论以下形式微分方程解及其结构.第8页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4.1 线性微分方程普通理论线性微分方程普通理论1、n阶线性微分方程阶线性微分方程称(称(4.2)为)为n阶齐次线性微分方程,简称阶齐次线性微分方程,简称齐线性微分方程齐线性微分方程。4.1.1 基本
7、概念和主要定理基本概念和主要定理2、n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程第9页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作定义:(定义:(n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程,或,或齐线性方程齐线性方程)称(称(4.2)为)为n阶齐线性微分方程,简称阶齐线性微分方程,简称齐线性方程齐线性方程。3、基本概念、基本概念定义:(定义:(n阶非齐次线性微分方程,或非齐线性方程阶非齐次线性微分方程,或非齐线性方程)而普通方程(而普通方程(4.1)称为)称为n阶非齐线性微分方程,或简称阶非齐线性微分方程,或简称非齐线性方程非齐线性方程,而且通常把方程(,而且通常
8、把方程(4.2)叫做对应于方)叫做对应于方程(程(4.1)齐线性方程。)齐线性方程。第10页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4、高阶微分方程解存在唯一定理、高阶微分方程解存在唯一定理则对于任一则对于任一 及任意及任意 ,方程(,方程(4.1)存)存在唯一解在唯一解 ,定义在区间,定义在区间 上,且满足初始条件:上,且满足初始条件:假如假如 及及 都是区间都是区间 上连续函数,上连续函数,定理定理1 证实证实:利用线性微分方程组相关理论证实(在此略)。:利用线性微分方程组相关理论证实(在此略)。以后将给出该定理证实。以后将给出该定理证实。第11
9、页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4.1.2 齐线性方程解性质与结构齐线性方程解性质与结构当当k=n时,有时,有 在什么条件下,表示式(在什么条件下,表示式(4.4)能组成为)能组成为n阶齐次线性方程阶齐次线性方程(4.2)通解?它将含有什么特征?为此,先研究)通解?它将含有什么特征?为此,先研究函数组相关性函数组相关性。1、叠加原理、叠加原理(定理定理2)2、问题、问题 假如假如 是方程(是方程(4.2)k个解,则它们个解,则它们线性组合线性组合 也是齐次线性微分也是齐次线性微分方程(方程(4.2)解,这里)解,这里 是任意常数。是任意常数
10、。注注:齐次线性微分方程任意:齐次线性微分方程任意k个解线性组合依然是这个方程解。个解线性组合依然是这个方程解。第12页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、函数相关性、函数相关性考虑定义在区间考虑定义在区间 上函数上函数 ,假,假如存在不全为零常数如存在不全为零常数 ,使得恒等式,使得恒等式对于全部对于全部 都成立,则称这些函数是都成立,则称这些函数是线性相关线性相关,不,不然就称这些函数在所给区间上然就称这些函数在所给区间上线性无关线性无关。线性无关线性无关 ;线性相关线性相关 .第13页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息
11、科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4、函数组伏朗斯基(、函数组伏朗斯基(Wronsky)行列式)行列式由定义在区间由定义在区间 上上k个可微个可微k-1次函数次函数 组组所作成行列式所作成行列式第14页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作定理定理3 若函数若函数 在区间在区间 上上n-1次可微次可微且线性相关,则在且线性相关,则在a,b上它们伏朗斯基(上它们伏朗斯基(Wronsky)行列式为)行列式为零,即有零,即有 .证实证实(理论基础):(理论基础):线性方程组解理论。线性方程组解理论。(除教材上除教材上p123证实方法外,还能够用反证法。证实
12、方法外,还能够用反证法。)方法方法:结构法证实,即结构一个以伏郎斯基行列式为:结构法证实,即结构一个以伏郎斯基行列式为 系数行列式线性方程组。系数行列式线性方程组。第15页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作注:该定理逆命题不一定成立。以下函数:注:该定理逆命题不一定成立。以下函数:要求要求:同学们验证。:同学们验证。结论结论:定理:定理3条件必要而不充分,即条件必要而不充分,即W(t)=0是函数组线性相关是函数组线性相关必要条件,而不是充分条件。必要条件,而不是充分条件。不过,假如不过,假如 是齐线性微分方程(是齐线性微分方程(4.2)解,则有
13、以下解,则有以下定理定理:第16页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作定理定理4 假如方程(假如方程(4.2)解)解 在区在区间间 上线性无关,则上线性无关,则 在在a,b内任何点上都不等于零,即有:内任何点上都不等于零,即有:证实基本思想:证实基本思想:反证法,并用结构法进行证实,以及反证法,并用结构法进行证实,以及解唯一性定理解唯一性定理。第17页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作证实证实:采取反正法。设有某个:采取反正法。设有某个 使得使得 。考虑。考虑关于关于 齐次线性代数方程组齐次线性代
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