高三数学专题02-解析几何综合题解题思路案例分析.doc
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4、缸解析几何综合题解题思路案例分析 北京中国人民大学附中 梁丽平 陕西省咸阳市永寿中学 安振平解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体,综合函数、不等式、三角、数列等知识,所涉及到的知识点较多,对解题能力考查的层次要求较高,考生在解答时,常常表现为无从下手,或者半途而废。据此笔者认为:解决这一类问题的关键在于:通观全局,局部入手,整体思维. 即在掌握通性通法的同时,不应只形成一个一个的解题套路,解题时不加分析,跟着感觉走,做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握,从微观上去突破,在审题和解题思路的整体设计上下功夫,不断克服解题征途中的道道运算难关.1判别式-解题时
5、时显神功案例1已知双曲线,直线过点,斜率为,当时,双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为,试求的值及此时点B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点B作与平行的直线,必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发,可设计如下解题思路:把直线l的方程代入双曲线方程,消去y,令判别式直线l在l的上方且到直线l的距离为解题过程略.分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”,相当于化归的方程有
6、唯一解. 据此设计出如下解题思路:转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程有唯一解简解:设点为双曲线C上支上任一点,则点M到直线的距离为: 于是,问题即可转化为如上关于的方程.由于,所以,从而有于是关于的方程 由可知: 方程的二根同正,故恒成立,于是等价于.由如上关于的方程有唯一解,得其判别式,就可解得 .点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.2判别式与韦达定理-二者联用显奇效案例2已知椭圆C:和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使,求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰
7、,学生往往不知从何入手。其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.由于点的变化是由直线AB的变化引起的,自然可选择直线AB的斜率作为参数,如何将与联系起来?一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件:来转化.由A、B、P、Q四点共线,不难得到,要建立与的关系,只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程,利用韦达定理即可.通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中有数.将直线方程代入椭圆方程,消去y,利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程:y = k (x4
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