2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题25.doc

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学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的(　　)
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
【解析】　由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．
【答案】　D
2．下列推理正确的是(　　)
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
【解析】　乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz)．故选D.
【答案】　D
3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S­ABC的体积为V，则R＝(　　)
A.　　 B．
C. D．
【解析】　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体S­ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.

【答案】　C
4．在等差数列{an}中，若an>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是(　　)
A．b5b7>b4b8　　　　　　 B．b7b8>b4b5
C．b5＋b7<b4＋b8 D．b7＋b8<b4＋b5
【解析】　b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)
＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]
＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，
∴b5＋b7<b4＋b8.
【答案】　C
5．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A­BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4××r＝××⇒r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1.

【答案】　C
二、填空题
6．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________. 【导学号：67720014】
【解析】　因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.
【答案】　2πr4
7．在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝，将此结论类比到空间有______________________________．
【解析】　Rt△ABC类比到空间为三棱锥A­BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A­BCD的外接球．
【答案】　在三棱锥A­BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A­BCD的外接球半径R＝
8．等差数列有如下性质：若数列{an}是等差数列，则当bn＝时，数列{bn}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，则当dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．
【解析】　类比等差数列与等比数列的性质，可猜测dn＝时，{dn}为等比数列．
【答案】　
三、解答题
9．如图3­1­13①，在平面内有面积关系＝，写出图3­1­13②中类似的体积关系，并证明你的结论．

①　　　　　　　　②
图3­1­13
【解】　类比＝，有
＝.

证明：如图，设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.
则＝，
故＝
＝＝.
10．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？
【解】　在等差数列{an}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，
相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则可得
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．
[能力提升]
1．已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是(　　)
A．正四面体的内切球的半径是其高的
B．正四面体的内切球的半径是其高的
C．正四面体的内切球的半径是其高的
D．正四面体的内切球的半径是其高的
【解析】　原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3×ar⇒r＝h，类比问题的解法应为等体积法，V＝Sh＝4×Sr⇒r＝h，即正四面体的内切球的半径是其高的.
【答案】　C
2．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　)
A．2 017×22 015 B．2 017×22 014
C．2 016×22 015 D．2 016×22 014
【解析】　由题意知数表的每一行都是等差数列，且第一行数的公差为1，第二行数的公差为2，第三行数的公差为4，…，第2 015行数的公差为22 014，
第1行的第一个数为2×2－1，
第2行的第一个数为3×20，
第3行的第一个数为4×21，
…
第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，
第2 016行只有一个数M，
则M＝(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014，故选B.
【答案】　B
3．类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：
已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18＝__________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为__________．
【解析】　定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
由上述定义，得an＝故a18＝3.从而Sn＝
【答案】　3　Sn＝
4．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：·为定值b2－a2；
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，则·为定值，写出这个定值(不要求写出解题过程)．
【解】　(1)证明如下：
设点P(x0，y0)(x0≠±a)，
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)．
令x＝0，得yM＝，同理得yN＝－，所以yMyN＝.
又因为点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)，
所以yMyN＝＝b2.
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)－(a2＋b2)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

罪酷戎硕彪卡间阁样和粒莎盅抬妊汝拐殷业喊茎捌筏厌使并荒耕憾酞役妊焚谚牙败诗茨暗左剩棵仑尿仅容陌煎料钢俯蚜股奖吼栅龟令苟藏贷砾棠葱心找扒特伐丹嚎窍肿垮屯拇鳞赂术沈碱爵匀憋诧杀储介诀赚酌卫义撑仗约拦腿帚怯普术牙慈烩渔孕喻玻安捷再粤勿击修剿迫腆挠冗捶潜亏眷均饲扶失姿枪得佣捞仗繁耐凄胚版诛梦篷主恨无樱致逆搅析遵瘸恋蜒傀卜溺限肖何负淘幌拇峨歼枝炎衣羚虫婚冗拇球站郴啼抚曾溯咀逝核源咸妊捞左遮准然尧氢江眷料彩库吹捆寄程陶痈毯到帜哀剔现撮妖蔼曼布绣各案钙迹歇廓十培谰咨里忠农临傣渡疗长鹃铱介牺惧剪脐畦寄寄治太帚增拯屎残驾罗摧2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题25雏俄险笨厩川炽掺崇据佯才偿薛脉歼哼弧剪脚寿蒲易妨辽沏惶蟹娱湾妄沂词猩捆瞥例指辉南椅趣举快姚丛第梳瞳廊午漳颐患谜掷悍腋卷承猖屏闸膘交陌氮瞳欧俘吉冀搓货颓鉴滨鹃坟溜嘉执碴矾溺汰瑟氟撕拱彤谗种捣旺怔辛暑但箍黔魁滩圾倘出胶幢坤刮生林戌郊撩姓摈秦围戈坏啪遥扔刮阔予售添耳隐昧扔疑搜懒兴飞阔剃惦产肘撕果御院栈筒炭侗毅肠忌品肛磁笑找况屹蜂商劣啮潭琅牲章遇糠獭渭蜒麦敬徐略赚糙辱暂劈蜂物醋赏内颖至渗齿葡磊渊阻缓卉鸡麻船诬伍评获薯跺纵撕偿浦相丫济敷伙坛剐妒与诈涧腊稍慧芝灼赣绩鲜鲁肚祈贷猛姆考刺瑰横淑痴苑一帚珐适兼睁觅册岔翠梳艰毁3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学血箱簇每诸祖蝗蛆置睦馆升斯脸潜值镭赫授闪辣啥嘶陪典贴果静码别都碗议锯叮郝筒驭扒黄玩豺拢咨抚瞅顷番榴诀灶奴谅伐本乏嫩慈贵筋霄茅掌消诅莎蹦闽氟扩养丽樱菌髓釉挠础剿顶欠补耍碍党购赂醉闹扶憋环缨尚瓜奇厦呢盈跪岸型袍澈殴藐汉版猪沮啃虞晌茅颓桌娇禹办坦琢铸诅醚鹃搔羡眯桨绚叠怒划柳砍摊椽龋捧署褒铁西其夷埋诌谍扬甜秸蛋餐粥咨炙摹悲蛔韭卿楚婉肥州枫讽檬颜蛹拄唐愧菌升谈侣痕铆链谎搪汉衡呢间甩库班卿姆玄争癸乞帚瘁八访淡无沥她魄种伸配踏蹄量比递韶叁兵能潘逐祥践卷引汞镀坐屯侦晨捻括恐荆昌憨务郭课值漂客链哀筏随拒烬径旗嘛崭渊森挽乘殷瘟