第六届华中地区大学生数学建模大赛三等奖论文.docx

第六届华中地区大学生数学建模邀请赛承 诺 书我们仔细阅读了第六届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名号为： 10388033 参赛队员 (签名) ：队员1： 林城辉 队员2： 王雅陌 队员3： 苏仝路 福建工程学院数学建模协会第六届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会第六届华中地区大学生数学建模邀请赛编 号 专 用 页选择的题号： B 参赛的编号： 10388033 （以下内容参赛队伍不需要填写） 竞赛评阅编号： 43第六届华中地区大学生数学建模邀请赛题目： 房地产调控问题 【摘 要】本次建模解题主要解题步骤及内容摘要如下： 建立多元线性回归房价关系模型。首先，通过分析查找大量现有文献，并结合线性最小二乘拟合法和现有统计数据的可获得性，确定大宗商品价格变化数据、工资收入和GDP数据等因素为可能对商品住宅价格产生影响的因素。其次，通过多元线性回归中的计算，对这些因素进行统计分析，对这些因素进行筛选，确定商品住宅价格的影响因素。最后通过多元线性回归并结合残差分析与置信区间，建立武汉各城区商品住宅价格与影响因素之间比较精确的数学模型。 建立时间序列以模型和模型。预测房价及大宗商品价格。本文基于时间序列理论，以武汉市江岸区为例（其余区域见附录6-4），以其2003年至2012年十年的商品房均价及大宗商品价格为基础，对数据进行平稳化处理、模型识别、参数估计，建立时间序列模型，并对模型进行检验，确定较适合模型为自回归移动平均模型ARIMA(2,1,0)。利用ARIMA(2,1,0)模型对该地区2011-2012年GDP做出预测并与实际值比较，结果表明相对误差均在3%之内，预测模型良好，继续利用ARIMA(2,1,0)模型对江岸区2013年的房价做出预测。 建立线性回归模型，分析商品房价、GDP、人均工资收入之间的关系。根据武汉市人民的人均收入，根据宏观经济学，比较GDP增长素的和房价的增长速度，对武汉市的调控政策进行分析。关键词：时间序列， 模型，模型，线性最小二乘拟合法，多元线性回归 目 录一问题重述11.1问题背景：11.2具体问题1二住宅价格、商品价格及人均工资、GDP关系21-1模型假设:21-2模型建立：21-3其他分区四者关系预测模型8三基于时间序列模型的住宅、商品价格预测分析93-1问题分析93-2时间序列分析93-3时间序列模型的建立123-4 房价短期预测及分析153-5各地区房价及大宗商品价格预测16四住宅价格与GDP增速关系174-1 问题分析174-2武汉市政府的调控政策174-4人均工资收入与房价的关系184-5 GDP与房价的关系184-6 GDP与人均工资的关系19五参考文献20六附录216-1大宗商品价格指数运算过程216-2大宗商品价格指数线性拟合216-3.各区房价与GDP关系运算过程226-4 以ARIMA模型预测江岸区外各地区房价及大宗商品价格指数29一问题重述1.1问题背景：当代社会，众多一线城市房价飙升，曾一度拉动中国经济的快速增长。但随着国家一些宏观调控政策，大中城市房价大幅波动。以武汉市各区为例，歌曲的房屋价与成交量曾一度双双下挫。从2002年8月26日六部委颁发217号文件起，我国房地产调控历史走过了十余年。细心盘点房地产调控的十年，大致可以划分为四个阶段：第一阶段，调控起步期(2002年至2004年)：主要以收紧土地供给和房地产信贷为主要手段，以抑制房地产市场投资过热为目的。第二阶段，调控加码期(2005年至2008年上半年)：加码的手段以结构性调整为主，在抑制房地产投资过热的同时，提出稳房价的新目标。国八条、新国八条、国六条相继出台，重点打击囤地行为、改善商品房和保障房供应结构、提高首付比例、推出税收调控手段，改善供给结构的同时开始调节商品房投资性需求。第三阶段，紧急救市期(2008年下半年至2009年上半年)：为应对全球性金融危机对中国经济的冲击，政府政策全面转向，以楼市稳定来支持经济稳定，从中央到地方全面放松各项房地产调控措施，甚至出台利率打折等购房刺激政策。第四阶段，调控全面加码期(2010年至今)：遏制房价过快上涨或促进房价合理回归成为突出调控目标。国十一条、新国十条、限购令等号称史上最严厉调控措施相继出炉，涵盖土地供给、信贷、税收、保障房等各方面的住房差别化调控体系逐渐形成。近十年，从单一供给管理转向供给与需求综合管理，从防止房地产市场投资过热转向重点遏制房价过快上涨，我国房地产调控目标逐渐清晰，政策体系逐渐建立。然而，虽然调控取得一定成绩，但调控多为定性的行政手段，量化调控方案很少。并且调控政策一般只是短暂实用某一特定时期。近期武汉市出台调控目标：房价的增长速度不高于GDP的增长速度。1.2具体问题 问题一：收集整理武汉市近十年各片区商品住宅价格变化数据、大宗商品价格变化数据、工资收入和GDP数据等。并挖掘它们之间的关系。问题二：根据近十年已知数据建立数学模型并预测2013年6月至12月间商品住宅价格，大宗商品价格变化趋势 问题三:结合武汉市市民工资收入的具体情况，评价调控政策“商品住宅价格的增长速度不高于GDP的增长速度”在多长时间内有效。并尝试建立数学模型模拟商品住宅价格、GDP增速、市民工资水平之间的关系。二住宅价格、商品价格及人均工资、GDP关系1-1 模型假设:(a) 假设所提供的数据准确无误；(b) 假设不存在其他影房产价格因素；(c) 武汉市近十年各片区的大宗商品价格变化数据基本相同，我们取中国大宗商品价格指数（CCPI）为标准。1-2 模型建立：1-2-1 数据的收集与处理：收集整理武汉市近十年各片区商品住宅平均价格变化数据（元/平方米、人均工资收入（元）和GDP（亿元）数据如下表所示：商品房平均价格（元/平方米）人均工资收入（元）GDP（亿元）2003年江岸2530.378990.885.62江汉2685.637095.688.24硚口2010.737236.869.56汉阳2144.836954.457.47武昌2532.69278.291.63青山1863.65799.775.37洪山2454.647284.175.562004年江岸2964.989667.499.09江汉3126.859047.4101.44硚口2651.258625.580.07汉阳2450.618583.966.16武昌2947.499759.9106.68青山2148.38576.790.67洪山2767.599369.287.452005年江岸3473.8410809.71140.2江汉4067.8311068.05180.46硚口3753.3410303.95150.11汉阳3014.8710533.95161.76武昌3685.4510787.47200.37青山2861.8411050.06253.2洪山2957.1211397.35168.072006年江岸3885.6312112.98165.51江汉4385.2812600.7219.49硚口3852.1711725.88172.58汉阳3356.2311697.25195.78武昌4237.6212328.66229.59青山3169.5212748.96271.85洪山3314.7512757.58195.532007年江岸639813701.55191.16江汉651814728.41252.63硚口562813748.53197.68汉阳630914378.86237.48武昌600214005.95264.26青山305214823.59311.54洪山562214698.01224.862008年江岸563916274.76238.98江汉5744.517266.77310.01硚口4652.5816182.2245.5汉阳529316644.11309.01武昌6297.516491.11327.86青山454517124.43311.54洪山5251.0817064.91224.862009年江岸6447.6318758.64280江汉7633.9119301.19354硚口6109.0617927.6270.97汉阳6230.6418482.03359武昌6811.5918774.38325.1青山5399.6918905.48410洪山5357.4818858.183452010年江岸6989.2221045.51433.35江汉991421490.95480.01硚口508819903.09307.72汉阳728120555.93432.11武昌9173219070.9470.12青山5183.9420954.85468.88洪山678120913.53462.452011年江岸784024020524.5江汉975324527550硚口660122543360汉阳744823492543武昌1033423966539青山567823882528.1洪山641523908540.12012年江岸11910.3827533612.3江汉9716.2727744.39667.1硚口14193.137915.63424.21汉阳1146516283.66609.51武昌11576.527321.24640.01青山8570.62527216.71605.41洪山8544.87527294.27614.01由于中国大宗商品价格指数（CCPI）是以2006年六月为标准，我们采用线性最小二乘拟合的方法（详情见附录6-1）计算所得的，经整理，我们得到下表：年份月份一月内相关数据月均值2006年六月10099.899.798.197.699.04七月98.599.999.799.799.45八月101102.1101.8101.9101.7九月100.7101.9100.6100.898.1100.42十月97.997.897.497.697.675十一月96.297.497.698.797.475十二月100.4101.7102.5102.9103.9102.282007年一月103.4102.2100.6100.5101.675二月99.4100.3101.1101100.45三月101.1102.2102.1102.8103.9102.42四月104.9105.6106.4106.8105.925五月107.5108.7109.2110.6109六月111110.7110.3110.8110.7七月112.5114.5116.1117.7115.2八月119.9119.4118.6118.2118.4118.9九月118.2119.4120.3121.9119.95十月122.4122.9123.8124123.275十一月127.7128.6128.7128.2128.3十二月130.6130.5131.1131.3130.8752008年一月132.7134.6134.2133.7133.8二月135.5135.6137.5137.4136.5三月138.8138.9138.7138.6138.75四月138.4138.7139.8140139.225五月142.4143.8145.1145.9146.8144.8六月147148149.1150.9148.75七月153.7153.4153.3152.6153.25八月148.5146.6144.3143.6141.9144.98九月140.3138.2135133.5136.75十月128.5122.4118.2112.6120.425十一月111.2104.5104.3102.4100.3104.54十二月94.992.992.391.892.9752009年一月8892.793.794.194.592.6二月94.595.494.193.394.325三月93.393.694.194.793.925四月96.69898.597.497.625五月95.897.598.198.4101.698.28六月103.6104.7105.2105.5104.75七月106.4104.4103.9105.4108.2105.66八月111.2112111111.5111.425九月109.9111.3111.2110.8110.8十月110.5110.2110.8111.9111.4110.96十一月112.8113.7116.4117.2115.025十二月118.1117.9118.1119.3118.352010年一月121.2123.9123.2121.6118.9121.76二月117.7117.4119.9120.6118.9三月120.4121.1121.7123121.55四月124.5126.9127.4126.4126.3126.3五月125.1123.2118.7117.6121.15六月118.4116.5118.4119118.075七月117.6116.5118.1119.5117.925八月123.8123.6123121.8123.05九月123.6124.7126.1126.6125.25十月127.5129.7131.1130.4132130.14十一月134.2137.1135.5134.6135.35十二月136.6137.6139.4140.5140.8138.982011年一月142.1143.2144.1143.8143.3二月145145.7146.9149146.65三月150.7149.9149.2150.9150.175四月152155155.9155.6156.3154.96五月154.4153.1151.7152.3152.875六月153.8154.4155.5153.7154.35七月153.6157.3158.9160.4161.3158.3八月160.3156.4157.1157.4157.8九月159.5158.6157.6156.3153157十月152.4153.6153.8154.3153.525十一月154.7156.2155.8153.7155.1十二月154.4154.6153152.5153.3153.562012年一月155.3155.8156156155.775二月156.4158157.9158.7157.75三月159.8159.6159.8159.7159.8159.74四月159.6158.7158158.1158.6五月157.8155.3153.2152154.575六月150.5147.4147145.1143.8146.76七月145.3143.8145.5143.5144.525八月143.6144.9144.9145.9144.5144.76九月141.7143.2143.2143142.775十月143.2145.2145.1143.6144.275十一月143.7144.3145.8146.1144.4144.86十二月144.2144.2145.1145.8144.825经对比，2006年的数据相差不大，所以可以近似拟合。（推算过程见附录6-2）1-2-2 数据分析与联系的挖掘：用多元线性回归分析武汉市近十年各片区商品住宅价格变化数据、大宗商品价格变化数据、工资收入和GDP数据之间的关系。符号说明各片区商品住宅价格：年平均大宗商品价格变化：人均工资收入：GDP： 下图为江岸区2003年至2012年房价、工资等数据内容，本题将主要讲解江岸区的建模过程。商品房平均价格（元/平方米）大宗商品平均价格人均工资收入（元）GDP（亿元）2003年2530.3781.57911585.622004年2964.9887.871066799.092005年3473.8494.2610809.71140.22006年3885.6395.7412112.98165.512007年6398113.8913701.55191.162008年6447.63132.916274.76238.982009年6989104.4818758.642802010年6989.22124.8721045.51433.352011年7840157.824020524.52012年11910.38149.9427533612.3输入命令：cleary=2530.37,2964.98,3473.84,3885.63,5639,6447.63,6989.22,7840,11910.38，6398;x1=81.5659,87.869,94.2642,149.935,157.8,124.869,104.477,132.895,113.889，95.74;x2=8990.8,9667.4,12112.98,13701.55,16274.76,18758.64,21045.51,24020,27533,12112.96;x3=85.62,99.09,165.51,191.16,238.98,280,433.35,524.5,612.3,612.3;n=9;m=3;X=ones(n,1),x1,x2,x3;b,bint,r,rint,s=regress(y,X);b,bint,s结果：b =702.6315 -14.0537 0.3972 0.8701bint = 1.0e+003 *-7.2047 8.6100 -0.0744 0.0463 -0.0010 0.0018 -0.0467 0.0484s =1.0e+006 *0.0000 0.0000 0.0000 2.0633江岸区商品住宅价格变化数据、大宗商品价格变化数据、工资收入和GDP数据计算结果：回归系数回归系数的点估计回归系数的区间估计b0 702.6315(1.0e+003*-7.2047,1.0e+003*8.600)b1 -14.0537(1.0e+003*-0.0744,1.0e+003*0.0463)b2 0.3972(1.0e+003*-0.0010,1.0e+003*0.0018)b3 0.8701(1.0e+003*-0.0467,1.0e+003*2.0633)从残差及其置信区间发现，第9，第10为异常点，剔除他们后重新计算，运行结果为：b = 1.0e+003 *-1.6916 -0.0041 0.0006 -0.0067bint =1.0e+003 * -3.5770 0.1938 -0.0181 0.0099 0.0002 0.0009 -0.0174 0.0040s =1.0e+004 *0.0001 0.0119 0.0000 7.8382所以江岸区四者关系预测模型为：1-3其他分区四者关系预测模型江汉区：（详解见附录6-3-1）硚口区：（详解见附录6-3-2） 汉阳区：（详解见附录6-3-3）武昌区：（详解见附录6-3-4）青山区：（详解见附录6-3-5）洪山区：（详解见附录6-3-6）三基于时间序列模型的住宅、商品价格预测分析3-1问题分析商品住宅价格，大宗商品价格受经济基础、人口增长、资源、科技文化、环境、体制、发展战略等诸多因素的影响，这些因素之间又有着错综复杂的关系，因此，运用结构性的因果模型分析和预测商品住宅价格，大宗商品价格往往比较困难。将历年的商品住宅价格，大宗商品价格作为时间序列，根据过去的数据得出其变化规律，建立预测模型，用此来预测未来的发展变化，有着重要的意义。同时我们在在上一部分建立了数学模型以探讨商品住宅价格变化数据、大宗商品价格变化数据之间的关系，为了让数据更为准确，我们会将历年的工资收入和GDP数据作为时间序列，得出其变化规律，再用之前建立的关系数学模型，求出商品住宅价格，大宗商品价格。最后将两次的结果下面是武汉市各区2003-2012年商品住宅价格，大宗商品价格(见图3-1)，用时间序列分析法对数据分析，并通过其预测2011及2012两年的价格与实际的价格比较，选取最为合理的预测方法对2013年6-12月武汉市各区2商品住宅价格，大宗商品价格做出预测。图3-1 武汉市各区2003-2012年商品住宅价格，大宗商品价格指数商品房平均价格（元/平方米）大宗商品平均价格指数江岸区江汉区硚口区汉阳区武昌区青山区洪山区20032530.372685.632010.732144.832532.61863.62454.6484.602420042964.983126.852651.252450.612947.492148.32767.5990.675520053473.844067.833753.343014.873685.452861.842957.1297.300720063885.634385.283852.173356.234237.623169.523314.7597.852820076398651856286309600230525622113.889200856395744.54652.5852936297.545455251.08132.89520096447.637633.916109.066230.646811.595399.695357.48104.47720106989.2299145088728191735183.946781124.869201178409753660174481033456786415157.8201211910.389716.2714193.131146511576.58570.6258544.875149.9353-2时间序列分析在模型中，时间序列是由一个零均值的平稳随机过程产生，即其过程的随机性质具有时间上的不变性，在图形上表现为所有样本点都在某一水平线上下随机波动。对于非平稳时间序列，需要预先对时间序列进行平稳化处理。本部分将主要列出江岸区商品房平均价格预测过程，其余城区将仅列出最后结果，具体过程在附录6-4中给出。3-2-1 平稳性检查首先我们绘制江岸区原始商品住宅价格，大宗商品价格的时间序列图, 从图3-2可以看出年商品住宅价格具有很明显的上升趋势，可以看出原始序列显然是非平稳的。进一步进行ADF单位根检验，从图3-3可以看出，检验未能通过，表明原始房价序列是非平稳的。为了能够对序列进行分析，要使其平稳化。故将选择两种方法：取对数法和差分法，对序列进行平稳化处理，从而进一步分析预测。图3-2 原始房价时序图 图3-3 原始房价序列ADF检验3-2-2 平稳化处理先对我国房价数据进行对数化处理，绘制ln（FJ）时序图3-4：图3-4 ln（FJ）时序图图3-5 ln（FJ）时序ADF检验显然对数处理后序列仍有明显上升趋势，且通过单位根检验后可知此序列非平稳，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响，我们对取对数后数据进行一、二阶差分，并验证其平稳性： 图3-6 ln（FJ）一阶差分时序图由该时序图我们基本可以认为其是平稳的，进一步做单位根检验：图3-7 ln（FJ）一阶差分ADF检验检验结果显示，二阶差分序列在1%的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，值显著小于0.05，所以我们可以确定二阶差分后序列平稳。因此可以确定ln（FJ）序列是1阶单整序列7，即ln（FJ）（1）。 3-3时间序列模型的建立我们研究的序列为一元时间序列，建模的目的是利用其历史值和当前及过去的随机误差项对该变量变化前景进行预测，通常假定不同时刻的随机误差项为统计独立且正态分布的随机变量。对于时间序列预测，首先要找到与数据拟合最好的预测模型，所以阶数的确定和参数的估计是预测的关键。3-3-1模型识别模型的识别与定阶可以通过样本的自相关与偏自相关函数的观察获得。ln（FJ）一阶差分后自相关与偏自相关系数如图3-8：图3-8 ln（FJ）二阶差分后自相关图由图可以看出，一阶差分后序列的自相关系数在滞后一期后呈衰减趋于零，表现为拖尾性；在偏自相关分析图中，滞后四期的偏自相关系数显著不为零，但之后逐渐衰减趋于零，也可以认为序列的偏自相关系数也具有拖尾性，因此阶数可由显著不为零的偏自相关系数的数目决定8，观察图可以取1，也可以取2。但为了检验所选模型是否合适，我们可以采用AIC定则做最优模型识别：图3-9 AIC定则模型识别定阶表模型平稳检验020.911.001未通过020.911.001未通过010.810.87通过320.4040.458通过300.3720.34通过300.3710.34通过030.3170.438通过330.2220.168通过230.1560.215通过20-0.048-0.018通过10-0.22-0.176通过21-0.267-0.227通过13-0.384-0.274通过11-0.633-0.567通过31-2.601-2.648通过22-3.067-3.017通过12-3.137-3.05通过由图3-9分析可知，在所有模型中ARMA(2，0)最优, ARMA(1，0)次之，故我们分别选择ARIMA(2，1，0)和ARMA(1，1，0)模型进行参数估计。3-3-2 模型参数估计与建立下面分别对, ARIMA(2，1，0)和ARMA(1，1，0)模型进行参数估计：图3-10 ARIMA(2，1，0)模型参数估计图3-11 ARMA(1，1，0)模型参数估计图3-10及图3-11，3-12参数估计结果显示，ARIMA(2，1，0)和ARMA(1，1，0)模型的滞后多项式倒数根均落在单位圆内，满足过程的平稳要求9。因调整后的值前者较后者大，且和值前者较后者小，故选择ARIMA(2，1，0) 模型更合适。 图3-12 ARIMA(2，1，0)和ARMA(1，1，0)滞后多项式倒数根的分布3-3-3 模型检验首先画出ARIMA(2，1，0)模型的残差序列图：图3-13 ARIMA(2，1，0)模型的残差图图3-14 ARIMA(2，1，0)模型的残差图结果显示，检验统计量Q值均小于对应自由度卡方分布的检验值，且Prob列读出拒绝原假设的概率较大，均大于0.05，所以残差序列为白噪声序列10，即ARIMA(2，1，0)模型通过检验。对模型ARMA(1，1，0)做残差序列检验，残差相关系数如下：图3-15 ARMA(1，1，0)模型的残差图图3-16 ARMA(1，1，0)模型残差序列检验结果显示，检验统计量Q值均大于对应自由度卡方分布的检验值，且Prob列读出拒绝原假设的概率很小，均小于0.05，所以残差序列为非白噪声序列10，即ARMA(1，1，0)模型检验未通过，残差相关系数如图3-15，所以最终选择ARIMA(2，1，0)模型对我国GDP进行分析预测。因此，从图3-10 ARIMA(2，1，0)模型参数估计可知，ARIMA(2，1，0)模型为：LNFJt=1.6585LNFJt-1-1.3937LNFJt-2+0.5052LN(FJ)t-3+0.2317LNFJt-4将对数形式指数化得最终模型为： FJt=e1.6585LNFJt-1+1.3937LNFJt-2+0.5052LN(FJ)t-3+-0.2317LNFJt-4 3-4 房价短期预测及分析 我们利用ARIMA(2，1，0)模型对2011年20012年ln(FJ)预测：图3-17 2011年2012年ln(FJ)预测与实际值比较年份预测值（亿元）实际值（亿元）相对误差20068.8988.966-0.26%20129.3779.3850.09%由此可计算得到我国2011年2012年FJ值如下：图3-18 2011年2012年FJ预测值与实际值比较年份预测值（亿元）实际值（亿元）相对