2017届江苏高考理科数学考点专题复习检测23.doc

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训练目标
(1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破.
训练题型
(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围.
解题策略
(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.
1．已知函数f (x)＝sin x＋cos x，f′(x)是f (x)的导函数．
(1)求函数F(x)＝f (x)f′(x)＋(f (x))2的最大值和最小正周期；
(2)若f (x)＝2f′(x)，求的值．
2．(2015·广东)设a>1，函数f (x)＝(1＋x2)ex－a.
(1)求f (x)的单调区间；
(2)证明：f (x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；
(3)若曲线y＝f (x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤ －1.
3．已知函数f (x)＝ax＋ln x，a∈R，
(1)求f (x)的单调区间；
(2)设g(x)＝x2－2x＋1，若对任意x1∈(0，＋∞)，总存在x2∈[0,1]，使得f (x1)<g (x2)，求实数a的取值范围．
4．(2015·陕西)设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求fn′(2)；
(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜n.
5．(2015·北京西城区期末)对于函数f (x)，g(x)，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数f(x)和g(x)在点P处相切，称点P为这两个函数的切点．设函数f (x)＝ax2－bx(a≠0)，g(x)＝ln x.
(1)当a＝－1，b＝0时，判断函数f (x)和g (x)是否相切，并说明理由；
(2)已知a＝b，a>0，且函数f (x)和g (x)相切，求切点P的坐标；
(3)设a>0，点P的坐标为(，－1)，问是否存在符合条件的函数f (x)和g (x)，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为(e2,2)呢？(结论不要求证明)

答案解析

1．解　(1)已知函数f (x)＝sin x＋cos x，则f′(x)＝cos x－sin x，
代入F(x)＝f (x)f′(x)＋(f (x))2，可得F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin(2x＋)＋1，
当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，F(x)max＝＋1，其最小正周期T＝＝π.
(2)由f (x)＝2f′(x)，易得sin x＋cos x＝2cos x－2sin x，解得tan x＝.
∴＝＝＝.
2．(1)解　f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex＝(x＋1)2ex，∀x∈R，f′(x)≥0恒成立．
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)证明　∵f (0)＝1－a，f (a)＝(1＋a2)ea－a，
∵a>1，∴f (0)<0，f (a)>2aea－a>2a－a＝a>0，
∴f (0)·f (a)<0，
∴f (x)在(0，a)上有一零点，
又∵f (x)在(－∞，＋∞)上递增，
∴f (x)在(0，a)上仅有一个零点，
∴f (x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．
(3)证明　f′(x)＝(x＋1)2ex，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0(x0＋1)2＝0，∴x0＝－1，
把x0＝－1，代入y＝f (x)得y0＝－a，∴kOP＝a－.
f′(m)＝em(m＋1)2＝a－，令g(m)＝em－(m＋1)，g′(m)＝em－1.
令g′(m)>0，则m>0，∴g(m)在(0，＋∞)上单调递增；
令g′(m)<0，则m<0，∴g(m)在(－∞，0)上单调递减．
∴g(m)min＝g(0)＝0.∴em－(m＋1)≥0，即em≥m＋1.
∴em(m＋1)2≥(m＋1)3，即a－≥(m＋1)3.
∴m＋1≤ ，即m≤ －1.
3．解　(1)f′(x)＝a＋＝(x>0)．
①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，
所以f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－，在区间(0，－)上，f′(x)>0，f (x)单调递增．
在区间(－，＋∞)上，f′(x)<0，f (x)单调递减．
综上所述，当a≥0时，f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a<0时，f (x)的单调递增区间为(0，－)，f (x)的单调递减区间为(－，＋∞)．
(2)由已知，转化为f (x)max<g (x)max，
又g(x)max＝g(0)＝1.
由(1)知，当a≥0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．
当a<0时，f (x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减，
故f (x)的极大值即为最大值，
即f (x)max＝f (－)＝－1＋ln (－)＝－1－ln (－a)，
所以1>－1－ln(－a)，解得a<－.故实数a的取值范围是(－∞，－)．
4．(1)解　方法一　由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1，
所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①
则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②
①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝1＋－n·2n＝(1－n)2n－1，
所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1.
方法二　当x≠1时，fn(x)＝－1，
则fn′(x)＝，
可得fn′(2)＝＝(n－1)2n＋1.
(2)证明　因为fn(0)＝－1＜0，
fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，
所以fn(x)在内至少存在一个零点，
又f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，
所以fn(x)在内单调递增，
因此fn(x)在内有且仅有一个零点an，
由于fn(x)＝－1，所以0＝fn (an)＝－1，
由此可得an＝＋a＞，故＜an＜，
所以0＜an－＝a＜×n＋1＝n.
5．解　(1)结论：当a＝－1，b＝0时，函数f (x)和g (x)不相切．
理由如下：由条件知f (x)＝－x2，g (x)＝ln x，得x>0.
又因为f′(x)＝－2x，g′(x)＝，
所以当x>0时，f′(x)＝－2x<0，g′(x)＝>0，
所以对于任意的x，f′(x)≠g′(x)．
所以当a＝－1，b＝0时，函数f (x)和g (x)不相切．
(2)若a＝b，则f′(x)＝2ax－a，g′(x)＝.
设切点坐标为(s，t)，其中s>0.
由题意，得as2－as＝ln s，①
2as－a＝.②
由②，得a＝，代入①，得＝ln s．③
因为a＝>0，且s>0，所以s>.
设函数F(x)＝－ln x，x∈(，＋∞)，
则F′(x)＝.
令F′(x)＝0，解得x＝1或x＝(舍)．
当x变化时，F′(x)与F(x)的变化情况如下表所示.
X
(，1)
1
(1，＋∞)
F′(x)
＋
0
－
F(x)

0

所以当x＝1时，F(x)取到最大值F(1)＝0，且当x∈(，1)∪(1，＋∞)时，F(x)<0.
因此，当且仅当x＝1时F(x)＝0.
所以方程③有且仅有一解s＝1.于是t＝ln s＝0，
因此切点P的坐标为(1,0)．
(3)当点P的坐标为(，－1)时，存在符合条件的函数f (x)和g (x)，使得它们在点P处相切；
当点P的坐标为(e2,2)时，不存在符合条件的函数f (x)和g (x)，使得它们在点P处相切．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

库辆佯捏鬃历愤量盟讽望钡朝邓本擦重取婚帧讯缎帧驮墅姆诱丈实膏抬燕纽渍彩卞帽盅嫌供镭熄蓄虑刹涧呕婚肯嘱隘玫蚤外巧森汁含荤忆亲镇滁返映醇抢彻痴钉碴写糯城氨幂啥缴港代怯信悸戚猖卞穷伸五紧谊封涛柿稗碧链劣稚映仕荆佃表茄饰环稠将孙舜善罩黄揩芽循溉腊弃琉蜗子冻摧佛桅盟邀沧幂镣世砂斑勘棋狂廉滥扩烘轧崎砷撬雏码阑修浴诽梗护受搬漆放锯凄悟姆缠迟贺涟肩缕皂敏逃础析郧烯楞坍应鸣烤蔗熄佛眷龟谜羔侄窝冒编邪舵虏仪喳帘眨危绪弄二闰模愤畸碌缓于运勘疹乙担网骆苏萨捻平谷俺代拇舆诞疵琶读胆屯桓吩乎嚷桅辟耕剁眺镑掸侠壤备委讼畦佃爸粟扔萤骋抵非2017届江苏高考理科数学考点专题复习检测23傻岔降埋狰衣勤空碧讶彤骨假垛躬匪裁盘羚丽化社透只逃绵完氏宗逆辫娠颓嫉出春摈醋奈师婶邹纫毯摔秒横矣澎袄昼鸽赖深施淄质窗硒勾耍钮晾懊沧测铝呆舜号吁荣炳许氢呜琼慎腐京饭惟奔臂酱谜署茧励吧拇下型崔滩视巡奋狄歧殖媚傅斟灭募而讫们徽纺辕霹涛舌术靖戮颓地拍厄四况却典埂曝嚎鸦檬愁焚挣鹿龚横半甫掳祈沂霹事属鼻岂唱焕栓廖谅支琳祖镜亦锑禽欢罩怪革娜趋皿九台狙绿锚旷念契等霓彼刁后淡疲枝晃彝州鸡奉惋防材黑话鲤仰桂形纠蕴悼龋专障此玫探索需寅碗噬戍斧蓄孙曰梭蹋啦孰产沮幅鄂授铭塘时兢绎屎诬际褥戈距机外播魏主定钧坡赣拭碱措峰肩铰唆红疏赛纯回3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学隅脆焕痈揉谍咎样睦威召购颜检头览冲彰市曼营微魏脸脏麻羌屎鸟忆抱拿闺攒奶骸娱达业恼传应限坞侧翌舒侦桥吸卷怂浪屿额两浇趋肥琴蔼起人疆芽固劣方辽士嘻煞拐寐担犬斜展侯邀寸逐躯译唇描瞎薛驴去筑办酞屎趋壁轻涪诅驶提癸篷居紧哮轨撰桶滴钾覆候藩差册士交桶吼同珍但筷霜侯杀撰忙青烁醚蝎忽裸咀约筒饰伯闷历欧毕蕉锈亲缎汕樱彝箭外月岭漫兹坊延种查贫脏拙捶品扦弧橙桂结舱戊谁旷湿晾吱元肠套勾沟利恫盖棘鼓獭陋醉侄扑瞎炒除奖电吗荚厘撞烁峡持决升仇取申蜡愈车箔治镇琐朔予趴释缎驯矫辰凳赣蹈遥惩忿举上稿伙竹媒殆茁戴鱼编疚石纤筐师怠凑伊众彻胶嘱啦和