山东省2016年高三数学上册寒假作业3.doc

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新课标2016年高三数学寒假作业3

一、选择题.
1.已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2.下列四个函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数的是（　　）
A．y=x2﹣2x B．y=x3 C．y=ln D．y=|x|+1
3.设等比数列{an}的公比q=，前n项和为Sn，则=（　　）
A．5 B．7 C．8 D．15
4.函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（　　）
A．[﹣，0] B．[0，] C．[，] D．[，]
5.已知||=2，||=3，|+|=，则|﹣|等于（　　）
A． B． C． D．
6.已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7.一个空间几何体的三视图如图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为（　　）

A． +4 B． +6 C．2+4 D．2+6
8.执行如图所示的程序框图若输出的n=9，则输入的整数p的最小值是（　　）

A．50 B．77 C．78 D．306
9.曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（　　）
A． B． C．1 D．2
10.已知双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为（﹣，0），（，0），则双曲线方程为（　　）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
二．填空题.
11.写出命题“存在x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是 ．
12.已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．
上述命题中所有正确命题的序号为　　．
13.已知等差数列{an}满足a1+a5+a9=24，则log2（2a6﹣a7）=　　．
14.函数的图象如图所示，则ω= ，φ= ．

三、解答题.
15.（13分）已知数列{an}的首项a1=a，其中a∈N*，，集合A={x|x=an，n=1，2，3，…}．
（I）若a=4，写出集合A中的所有的元素；
（II）若a≤2014，且数列{an}中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
（III）求证：1∈A．
16.（14分）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
17.（13分）数列{an}（n∈N*）中，a1=a，an+1是函数的极小值点．
（Ⅰ）当a=0时，求通项an；
（Ⅱ）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

【KS5U】新课标2016年高三数学寒假作业3
参考答案
1.A
【考点】命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】规律型．
【分析】由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．
【解答】解：∵p∧q为真命题，
∴p和q或者同时都是真命题，
由¬p是假命题，知p是真命题．
∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，
反之不能推出．
则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．
故选A．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．
2.D
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】逐一分析四个函数的奇偶性，单调性，判断是否满足既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数，可得答案．
【解答】解：函数y=x2﹣2x为非奇非偶函数；
函数y=x3为奇函数；
函数y=ln的定义域为（﹣1，1），
函数y=|x|+1既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键．
3.B
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．
【解答】解：S3==，a3==，
∴=7．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.C
【考点】正弦函数的对称性．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求得ω，再根据正弦函数的减区间求得函数f（x）的单调减区间．
【解答】解：根据f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称中心的距离为，
可得==，∴ω=2，f（x）=sin（2x+）．
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，正弦函数的减区间，属于基础题．
5.D
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】|+|2═22+2，整体求解2=6，运用|﹣|2=22，得出|﹣|
【解答】解：∵|=2，||=3，|+|=，
∴2=6，
∵|﹣|2=22=4+9﹣6=7，
∴|﹣|=，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的运算，关键是运用好向量的平方和向量模的平方的关系，属于容易题．
6.C
【考点】直线的斜率．
【专题】直线与圆．
【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a=tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．
【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，
所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，
即：（a+1）（a﹣）＜0，
解得﹣1＜a＜，
设直线l倾斜角为θ，
∴a=tanθ，
∴﹣1＜tanθ＜，
∴0＜θ＜，或＜θ＜π，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，点与直线的位置关系，是中档题．
7.A
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加可得答案．
【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，
其直观图如下图所示：

则△SAD是边长为2的正三角形，其面积为：，
∵AB⊥平面SAD，可得：△SAB是两直角边长为1和2的直角三角形，
故△SAB的面积为1，
同理，△SCD的面积也为1，
又由△SAD的高SO=，OE=AB=1，可得SE=2，
故△SBC是底边长2，高为2的等腰三角形，故△SBC的面积为2，
综上所述，几何体的侧面积为+4，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
8.C
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的P的最小值．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
n=1，S=0，输入P，S=0+2=2，n=2，S≤P，
S=2+22=6，n=3，S≤P，
S=﹣6+23=2，n=4，S≤P，
S=2+24=18，n=5，S≤P，
S=﹣18+25=14，n=6，S≤P，
S=14+26=78，n=7，S≤P，
S=﹣78+27=50，n=8，S≤P，
S=50+28=306，n=9，S＞P，
终止循环，输出n=9；
所以P的最小值为78．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题目．
9.A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解．
【解答】解：由题意得y′=﹣2，则在点M（1，﹣2）处的切线斜率k=﹣1，
故切线方程为：y+2=﹣（x﹣1），即y=﹣x﹣1，
令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=﹣1，
∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==，
故选A．
【点评】试题主要考查导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．
10.C
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设双曲线的方程是，即．又焦点坐标为（﹣，0），（，0），故λ+2λ=6，由此可知λ=2，代入可得答案．
【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，
∴设双曲线的方程是，即．
又焦点坐标为（﹣，0），（，0），
故λ+2λ=6，∴λ=2，
∴双曲线方程为﹣=1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，正确设出方程是关键．
11.“任意x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题．，即可得到结论．
【解答】解：∵命题是特称命题，
∴命题的否定是“任意x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”，
故答案为：“任意x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．
12.①②④
【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
可得f（﹣2）=f（2），
在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得
f（2）=f（﹣2）+f（2），
∴f（﹣2）=f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．
从图中可以得出：
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．
故答案为：①②④．

【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．
13.3
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的性质结合已知条件求得2a6﹣a7=a5=8，由此利用对数性质能求出log2（2a6﹣a7）的值．
【解答】解：∵等差数列{an}满足a1+a5+a9=24，
∴a5=8，
∴2a6﹣a7=2（a1+5d）﹣（a1+6d）=a1+4d=a5=8，
∴log2（2a6﹣a7）=log28=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
14.;.
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由图象可得==2﹣0.5，可得ω，把点（2，﹣2）代入解析式可得φ值
【解答】解：由图象可得==2﹣0.5，解得ω=，
故，
把点（2，﹣2）代入可得﹣2=，
解得+φ=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ﹣，
又，故当k=1时，φ=
故答案为：；
【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．
15.
【考点】数列递推式；等比关系的确定．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由a1=a=4，利用递推关系依次求出a2，a3，a5，a6，a7，发现a6以后的值与前6项中的值重复出现，由此可知集合A中共有6个元素；
（Ⅱ）设出数列中的一项为ak，若ak是3的倍数，则有；若ak是被3除余1，由递推关系得到；若ak被3除余2，由递推关系得到．说明构成的连续7项成等比数列的公比为，结合数列递推式得到ak符合的形式，再保证满足ak≤2014即能求出答案；
（Ⅲ）分ak被3除余1，ak被3除余2，ak被3除余0三种情况讨论，借助于给出的递推式得到数列{an}中必存在某一项am≤3，然后分别由am=1，am=2，am=3进行推证，最终证得1∈A．
【解答】（I）解：∵a1=a=4，∴a2=a1+1=5，a3=a2+1=6，
，a5=a4+1=3，，
a7=a6+1=2，…
∴集合A的所有元素为：4，5，6，2，3，1；
（II）解：不妨设数列中的一项为ak，
如果ak是3的倍数，则；
如果ak是被3除余1，则由递推关系可得ak+2=ak+2，∴ak+2是3的倍数，∴；
如果ak被3除余2，则由递推关系可得ak+1=ak+1，∴ak+1是3的倍数，∴．
∴该7项等比数列的公比为．
又∵，∴这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），
设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得．
∵36＜2014＜37，∴或．
由递推关系式可知，在该数列的前k﹣1项中，满足小于2014的各项只有：ak﹣1=36﹣1，或2×36﹣1，
ak﹣2=36﹣2，或2×36﹣2，
∴首项a的所有可能取值的集合为：{36，2×36，36﹣1，2×36﹣1，36﹣2，2×36﹣2}．
（III）证明：若ak被3除余1，则由已知可得ak+1=ak+1，；
若ak被3除余2，则由已知可得ak+1=ak+1，，；
若ak被3除余0，则由已知可得，；
∴，
∴
∴对于数列{an}中的任意一项ak，“若ak＞3，则ak＞ak+3”．
∵，∴ak﹣ak+3≥1．
∴数列{an}中必存在某一项am≤3（否则会与上述结论矛盾）
若am=1，结论得证．
若am=3，则am+1=1；若am=2，则am+1=3，am+2=1，
∴1∈A．
【点评】本题考查了数列的递推式，考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，考查了学生的抽象思维能力，属中高档题．
16.
【考点】函数模型的选择与应用；一元二次不等式的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；
（2）由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．
【解答】解：（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈（100，300]n=kx+b（k＜0），
∵0=300k+b，即b=﹣300k，
∴n=k（x﹣300）
y=（x﹣100）k（x﹣300）
=k（x﹣200）2﹣10000k（x∈（100，300]）
∵k＜0，
∴x=200时，ymax=﹣10000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
（2）解：由题意得，k（x﹣100）（x﹣300）=﹣10000k•75%
x2﹣400x+37500=0
解得x=250或x=150
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元（16分）
【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数的性质及函数的最值，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
17.
【考点】数列与函数的综合．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．由f'n（x）=x2﹣（3an+n2）x+3n2an=（x﹣3an）（x﹣n2）=0，得x1=3an，x2=n2．由函数的单调性知fn（x）在x=n2取得极小值．所以a2=12=1．因为3a2=3＜22，则，a3=22=4，因为3a3=12＞33，则a4=3a3=3×4，又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，由此猜测：当n≥3时，an=4×3n﹣3．然后用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2．
（Ⅱ）存在a，使数列{an}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．要使3an＞n2，只需对一切n∈N*都成立．当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为．于是当a＞时，必有．由此能导出存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为．
【解答】解：（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．
由题设知f'n（x）=x2﹣（3an+n2）x+3n2an=（x﹣3an）（x﹣n2）．
令f'n（x）=0，得x1=3an，x2=n2．
若3an＜n2，则
当x＜3an时，f'n（x）＞0，fn（x）单调递增；
当3an＜x＜n2时，f'n（x）＜0，fn（x）单调递减；
当x＞n2时，f'n（x）＞0，fn（x）单调递增．
故fn（x）在x=n2取得极小值．
所以a2=12=1
因为3a2=3＜22，则，a3=22=4
因为3a3=12＞32，则a4=3a3=3×4，
又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，
由此猜测：当n≥3时，an=4×3n﹣3．
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2．
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3ak＞k2成立，则由（2）知，ak+1=3ak＞k2，
从而3ak+1﹣（k+1）2＞3k2﹣（k+1）2=2k（k﹣2）+2k﹣1＞0，
所以3ak+1＞（k+1）2．
故当n≥3时，3an＞n2成立．
于是，当n≥3时，an+1=3an，而a3=4，因此an=4×3n﹣3．
综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n﹣3（n≥3）．

（Ⅱ）存在a，使数列{an}是等比数列．
事实上，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a•3n﹣3．
而要使3an＞n2，即a•3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需对一切n∈N*都成立．
记，则，．
令，则．
因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，
故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为．
于是当a＞时，必有．这说明，当时，数列an是等比数列．
当a=时，可得，而3a2=4=22，由（3）知，f2（x）无极值，不合题意，
当时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12，…，数列{an}不是等比数列．
当时，3a=1=12，由（3）知，f1（x）无极值，不合题意．
当时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，数列{an}不是等比数列．
综上所述，存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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