微积分数学基础省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、1 导数概念1第1页1.变速运动速度第一节 导数概念一、改变率问题举例2第2页3第3页4第4页2.切线问题5第5页6第6页上面两个例子分别属于不一样领域,一为运动问题,一为几何问题,但都要求计算函数值改变量与自变量改变量之比,在当后者无限趋于零时极限.另外,很多理论或实际问题,也要求计算这种类型极限,这些量详细意义,抓住它们在数量关系上共性,便得出函数导数概念.7第7页二、导数定义8第8页9第9页10第10页11第11页关于导数说明:关于导数说明:12第12页三、由定义求导数:步骤步骤:例例1 1解解:13第13页解14第14页15第15页解16第16页解17第17页解18第18页四导数意义1
2、 几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为19第19页2 简单物理意义简单物理意义1 1)变速直线运动中:)变速直线运动中:旅程对时间导数为物体瞬时旅程对时间导数为物体瞬时速度速度.20第20页2 2)交流电路中)交流电路中电量对时间导数为电流强度电量对时间导数为电流强度.21第21页2、熟记以下导数公式:、熟记以下导数公式:(1)(C)=0(2)(3)(4)(5)22第22页2 求导法则求导法则23第23页解24第24页推论推论例例1 1解解25第25页例例2 2解解定理定理426第26页例例3 3解解同理可得同理可得27第27页例例1 1解解:先求运动方向先求运动方向28第
3、28页再求速度大小再求速度大小29第29页定定 积积 分分30第30页一、问题提出一、问题提出1.曲边梯形面积曲边梯形面积设设 y=f(x)为区间为区间a,b 上上连续函数,且连续函数,且f(x)0,由,由曲线曲线 y=f(x),直线,直线 x=a,x=by=0 所围成图形称为所围成图形称为曲边梯形。曲边梯形。下面讨论曲边梯形面积下面讨论曲边梯形面积31第31页对于多边形面积,我们对于多边形面积,我们在中学就已经会计算了,在中学就已经会计算了,比如比如矩形面积矩形面积=底底高高显然,曲边梯形面积不能显然,曲边梯形面积不能用这个公式来计算。用这个公式来计算。直与曲直与曲不变与变不变与变32第32
4、页砖是直边砖是直边长方体长方体烟囱截面是烟囱截面是弯曲圆弯曲圆“直砖直砖”砌成砌成了了“弯圆弯圆”局部以直代曲局部以直代曲33第33页abxyoabxyo 即使曲边梯形准确面积我们不会计算,不过我即使曲边梯形准确面积我们不会计算,不过我们能够用一些小矩形来近似算出它面积。们能够用一些小矩形来近似算出它面积。(四个小矩形)(四个小矩形)(九个小矩形)(九个小矩形)从中能够得到一个什么样启示?从中能够得到一个什么样启示?34第34页小曲边梯形底:小曲边梯形底:小曲边梯形高:小曲边梯形高:小曲边梯形面积:小曲边梯形面积:35第35页 分割分割用任意一组分点:用任意一组分点:把把 a,b 分成分成 n
5、 个小区个小区间间 xi-1,xi i=1,2,n对应地把曲边梯形分为对应地把曲边梯形分为 n 个小曲边梯形,其面积分个小曲边梯形,其面积分别记为别记为Si i=1,2,n(化整为零)(化整为零)36第36页 近似代替近似代替在每个小区间在每个小区间 xi-1,xi 上任取一点上任取一点i,其中其中(曲转化为直)(曲转化为直)于是小曲边梯形面积于是小曲边梯形面积37第37页 求和求和(积零为整)(积零为整)大曲边梯形面积大曲边梯形面积38第38页 取极限取极限令令若极限若极限存在,存在,则定义此极限值为曲边梯形面积则定义此极限值为曲边梯形面积(直转化为曲)(直转化为曲)让每个小区间长度趋于零让
6、每个小区间长度趋于零再演示一下这个过程39第39页1、分割 将a,b分割为n个小区间02、取介点 在每个小区间上任取一点xi3、局部以直代曲 每个小区间上曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替4、作和:S=yx40第40页1、分割 将a,b分割为n个小区间2、取介点 在每个小区间上任取一点xi3、局部以直代曲 每个小区间上曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替4、作和:S=5、取极限 a byx41第41页 求曲边梯形面积表达了曲转化为直、求曲边梯形面积表达了曲转化为直、直转化为曲辩证思想。这个计算过程,就直转化为曲辩证思想。这个计算过程,就是一个先微分后积分过程。也就是说,把是一个先
7、微分后积分过程。也就是说,把曲边梯形分割成许多小曲边梯形,在每个曲边梯形分割成许多小曲边梯形,在每个小曲边梯形中,把曲边看成直边,用这些小曲边梯形中,把曲边看成直边,用这些小小“矩形矩形”面积和近似地表示原来大曲边面积和近似地表示原来大曲边梯形面积,从而实现了局部曲转化为局部梯形面积,从而实现了局部曲转化为局部直,即直,即“以直代曲以直代曲”。42第42页 然后,再把分割无限加细,经过取极然后,再把分割无限加细,经过取极限,就使小矩形面积和,转化为原来大曲限,就使小矩形面积和,转化为原来大曲边梯形面积。这么局部直又反过来转化为边梯形面积。这么局部直又反过来转化为整体曲。这种曲转化为直,直转化为
8、曲,整体曲。这种曲转化为直,直转化为曲,以及由此所反应出来化整为零、积零为整以及由此所反应出来化整为零、积零为整思想方法,是微积分乃至整个高等数学一思想方法,是微积分乃至整个高等数学一个主要方法。个主要方法。43第43页F 即使是变力,但在很短一段间隔内,即使是变力,但在很短一段间隔内,F改变不改变不大,可近似看作是常力作功问题。按照求曲边大,可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积思想,梯形面积思想,F(x)AB 再看一个变力做功问题。再看一个变力做功问题。设设 质点质点 m 受力受力 作用,在变力作用,在变力F作用下,沿直线由作用下,沿直线由 A 点运动到点运动到 B 点,求变力作功点
9、,求变力作功上一页下一页44第44页 分割分割用任意一组分点:用任意一组分点:把把 a,b 分成分成 n 个小区间个小区间 ti-1,ti i=1,2,n 近似代替近似代替在在 ti-1,ti 上任取一点上任取一点i,于是在该小区间,于是在该小区间上力上力 作功作功 45第45页 求和求和总功总功 取极限取极限令令若极限若极限存在,存在,则定义此极限值为力所做功则定义此极限值为力所做功46第46页从上面例子看出,不论是求曲边梯形面积或是计从上面例子看出,不论是求曲边梯形面积或是计算变力作功,它们都归结为对问题一些量进行算变力作功,它们都归结为对问题一些量进行“分割、近似求和、取极限分割、近似求
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