高一数学下册暑假知识点梳理检测题14.doc

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第三十二讲　一元二次不等式及其解法
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0,2)　　　　　　　　　 B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0⇒x2＋x－2<0⇒－2<x<1.故选B.
答案：B
2．不等式≥2的解集是(　　)
A. B.
C.∪(1,3] D.∪(1,3]
解析：≥2⇒⇒
∴x∈∪.故选D.
答案：D
3．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，
f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(　　)
A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
B．[－3，－1]
C．[－3，－1]∪(0，＋∞)
D．[－3，＋∞)
解析：由f(－4)＝f(0)，得函数f(x)＝x2＋bx＋c(x≤0)的对称轴x＝－2＝－，所以b＝4.f(－2)＝0得c＝4.
不等式f(x)≤1等价于
解得x>0或－3≤x≤－1.故选C.
答案：C
4．不等式≤x－1的解集是(　　)
A．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
B．[－1,1)∪[3，＋∞)
C．[－1,3]
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：原不等式化为≥0，由数轴标根法解得－1≤x<1或x≥3.
答案：B
5．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则a的取值范围是(　　)
A．a≥0 B．a≥－2
C．a≥－ D．a≥－3
解析：设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－，若－≥，即a≤－1时，则f(x)在上是减函数，应有f≥0⇒－≤a≤－1
若－≤0，即a≥0时，则f(x)在上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0
若0≤－≤，即－1≤a≤0，则应有f＝－＋1＝1－≥0恒成立，故－1≤a≤0.综上，有－≤a.
答案：C
评析：考查一元二次不等式与函数相结合，利用函数的性质解不等式问题．
6．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是(　　)
A．－1<b<0 B．b>2
C．b<－1或b>2 D．不能确定
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝＝1，故a＝2.
又f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)>0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2>0恒成立，
解得b<－1或b>2.
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.
答案：2
8．(2009·青岛市模拟)已知不等式ax2＋bx＋a<0(ab>0)的解集是空集，则a2＋b2－2b的取值范围是________．
解析：∵不等式ax2＋bx＋a<0(ab>0)的解集是空集，
∴a>0，b>0，且Δ＝b2－4a2≤0，
∴b2≤4a2.
∴a2＋b2－2b≥＋b2－2b＝2－≥－.
∴a2＋b2－2b的取值范围是.
答案：
9．(2010·西城模拟)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是________．
解析：由题意知a<0，可设f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，又a<0，∴f(x)max＝＝＝<1，∴－4<a<0.
答案：(－4,0)
10．(2009·石家庄质检一)若不等式＋m<0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为________．
解析：由＋m<0，得<0，即当1＋m<0时有(x＋m－1)(x＋m)>0，其大根为1－m，小根为－m.
所以，推得m＝－3，故填：－3.
答案：－3
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知函数f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若函数f(x)有最大值，求实数a的值；
(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．
解：(1)a≥0时不合题意，f(x)＝a2－，
当a<0时，f(x)有最大值，且－＝，
解得a＝－2或a＝－.
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，
(x－1)(ax＋a＋1)>0，
①当a＝0时，解集为{x|x>1}；
②当a>0时，(x－1)>0，
解集为{x|x>1或x<－1－}；
③当a＝－时，(x－1)2<0，解集为∅；
④当－<a<0时，(x－1)<0，
解集为{x|1<x<－1－}；
⑤当a<－时，(x－1)<0，
解集为{x|－1－<x<1}．
12．解关于x的不等式：>0.
解：当a＝0时，不等式化为－>0，解得x<0；
若a≠0，则原不等式可化为>0.
当0<a<1时，a<，解得x<a或x>；
当a＝1时，不等式化为>0，解得x∈R且x≠1；
当a>1时，a>，解得x<或x>a；
若a<0，则不等式可化为<0.
当a<－1时，a<，解得a<x<；
当a＝－1时，不等式可化为<0，其解集为∅；
当－1<a<0时，a>，解得<x<a.
综上，当a<－1时，不等式解集为；
当a＝－1时，不等式解集为∅；
当－1<a<0时，不等式解集为；
当a＝0时，不等式解集为{x|x<0}；
当0<a<1时，不等式解集为；
当a＝1时，不等式解集为{x|x∈R且x≠1}；
当a>1时，不等式解集为.
13．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
解：原不等式组等价于
由题意知－k>－，即
又知解集内仅有一整数－2，所以－2<－k≤3，
即－3≤k<2.

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