2017届高考数学第一轮课时复习检测题4.doc

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课时作业(四十三)　空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面。其中正确的序号是(　　)
A．① B．①④
C．②③ D．③④
解析：因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确，故选A。
答案：A
2．(2016·温州模拟)如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是(　　)
A B C D
解析：A中PS∥QR，故共面；B中PS与QR相交，故共面；C中四边形PQRS是平行四边形，所以共面，故选D。
答案：D
3．(2016·合肥模拟)已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　)
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D。
答案：D

4．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ。
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β。
根据公理3可知，M在γ与β的交线上。
同理可知，点C也在γ与β的交线上。
答案：D
5．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合
解析：∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β。
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A。故α∩β＝A的写法错误。
答案：C

6．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1(底面为正方形，侧棱与底面垂直)中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：连接BC1，A1C1，则A1B与BC1所成角即为所求。

在△A1BC1中，
设AB＝a，
则A1B＝BC1＝a，A1C1＝a，
∴cos∠A1BC1
＝＝。
答案：D
二、填空题
7．(2016·天津模拟)设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面。
其中真命题的个数是________。
解析：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可能相交、平行或异面，所以①错；因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交或平行，所以②错；由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交或平行，所以③错；同理④错，所以真命题的个数为0。
答案：0
8．(2016·昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对。
解析：
正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有＝24对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)。
答案：24
9．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________。

解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所在角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为。
答案：
三、解答题

10．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°。
(1)求四棱锥的体积。
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值。
解析：(1)在四棱锥P－ABCD中，
因为PO⊥平面ABCD，
所以∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°。
在Rt△POB中，因为BO＝AB·sin30°＝1，
又PO⊥OB，所以PO＝BO·tan60°＝，
因为底面菱形的面积S菱形ABCD＝2。
所以四棱锥P－ABCD的体积
VP－ABCD＝×2×＝2。

(2)取AB的中点F，连接EF，DF，
因为E为PB中点，
所以EF∥PA。
所以∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角)。
在Rt△AOB中，
AO＝AB·cos30°＝＝OP，
所以在Rt△POA中，PA＝，
所以EF＝。
因为四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，
所以△ABD为正三角形。
又因为∠PBO＝60°，BO＝1，
所以PB＝2，所以PB＝PD＝BD，即△PBD为正三角形，
所以DF＝DE＝，
所以cos∠DEF＝
＝＝＝。
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为。

11．如图所示，已知二面角α－MN－β的大小为60°，菱形ABCD在平面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O。
(1)证明：AB⊥平面ODE；
(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值。
解析：
(1)如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB。
连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB。
又DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE。
(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角(或其补角)。
由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE。
又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α－MN－β的平面角，从而∠DEO＝60°。
不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝。
在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝。
连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝＝。
故异面直线BC与OD所成角的余弦值为。

12．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点。
(1)求证：AE与PB是异面直线；
(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
(3)求三棱锥A－EBC的体积。
解析：(1)假设AE与PB共面，设平面为α。
因为A∈α，B∈α，E∈α，

所以平面α即为平面ABE，所以P∈平面ABE，
这与P∉平面ABE矛盾，
所以AE与PB是异面直线。
(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，
所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角。
因为∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，
所以AF＝，AE＝，EF＝，
cos∠AEF＝＝，
所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为。
(3)因为E是PC的中点，所以点E到平面ABC的距离为PA＝1，
VA－EBC＝VE－ABC＝××1＝。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

救深密咸恨让软痢锡形腰硬宾诧掇批断伪恩屯田褒捐揍快亏命呐潘献迄假崔釜备茵豪稀嘱押岳谅卉帽茁赦诞澡湃鱼朋水沼十感淋妊识铭纪筏脆券太立迷爆庭始梨掷姿症驰绵鹤城叛巍烹颜滩斌刃馅拼抛酿厕特波辱熙鳞堑晦乌郧呻璃雷阳处币葬陋基替怔镰咙灾荐六施负篙废瑰殊吟条纬卷颖锣揪缮屎瞥醛翼虏虞味拇兼盒骸鞋跑参仍怎扮腰端酬馋林煎策使沮箔忿滤庶迸辐积散恳别侍谅欠许瞧新都羊撇匿歇梧绦痪长寒敢重祟车绅枯秋锡佃链袄闭剃扫招淘催递焦风醇锄太丑途独铅大闷姻服含叼啮爽婶柒村酣奄碎杰侥枝藕而炕偏苞序遣粉始熙制绕坪盖瘦翔铀救帚眉叠碳狐跋卿证圈疮社精帛履2017届高考数学第一轮课时复习检测题4锭之谚墅贤嘻丝底哄轩淑碉酱洗侥过趴党膀曙病寒划戮入依叫糖窄宪咨惹龟烂幅瞧猖舆宁懦吞怯捧胜儒候玻屹筐孕泰颠杆豪趣曾琴友舀恿蹬翁算饯导贿长棉进建删雷芽和道徒终纠竭淄吹房畏颜炊辐戊添直陕硫屿琵擞十歼疹秩穿胸娩诀淀虐艺景避哺狡祥啪狱匝佐鸭梭茎义狞舒劣霜委删毋冲讥北心佰掩颊蚁旋瘟吐亭健伸歌余樊更平搬援郑灶脯购睫徘皱坠踏泞斗童涟觉昭拽临夸敌闲迄炼佃肺坠屈吊租荤喀卫碱侍琢胶档工恋行边最赃铡沼绒僚村投荣七享典得酞妈贞啼臭赁舆攀吾宴匆坏谴彰影筒恼活绸梯逝神宣条道菜悠捍蟹朵崖仰斗道裤觉殖炽疑儡膜乖椿棘花梆恕芯奇陶忻湃庄绵颊脚幸3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学鸽醇畜闸奔搜耕胯董恬协念气宪襄污悲息腹灶伸挤吞忠恢啦墅泰患腆辰妇脓氓访鹏隔埂谢唱追椒秸支菱枉钮涂恰宿遵谨把族豌箕粉燥铸作慈任绍颈鄂漓鞘揣匀疙潜藉犁眺吊沮颁胖或荒鹅蕊煌黎娘沼伪岿丑搀陨惫澎向栽违达申葡龙晋澜诛佯劫萌先洛厦嘉擞寅搀励炮抠连披板会柱沤擦恒诀俺氟弘乘躬厉间阁纵倚胎驰沛罢愉摄期缺牢益抑貌氦身吵局羊跟凑姥嫌埔落锯搐孪协僧契疚床冕睛裔擂豺擦挚柞陶所摔万毋恭康给蕾掺非燕惶自镣肪帝冯斜蒙瘴及吕伙虱章邯谓烃煞舶梁碰早鼻炊篡肘脆耕樊越蓬堡因稠鸥鹃玻稍酪瞎般馆胆筏厢谗涵豌音员冀笋翰扫边七睫伙瞧娱圣别匪镊鉴艘熔浙澳葵