高三数学基础题复习检测6.doc

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专题六 不等式

一．考场传真
1. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】已知实数满足则目标函数的最小值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：可行域为一个三角形及其内部，其三个顶点坐标分别为,当目标函数过点时z取最小值
2. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】已知，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
3. 【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】.已知且，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】
试题分析：令，又得，解得
即，，当且仅当时取“=”
4. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得对任意总成立，即对任意总成立，而
，当且仅当时取“=”，则实数的取值范围是
5. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】已知，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数的值为 ．
【答案】4
【解析】
6. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】设是正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：，，令当且仅当时取“=”， 则的最小值为
7.【泰州市2016届高三第一次模拟考试】若正实数满足，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】
二．高考研究
1.考纲要求
《考试说明》中规定，不等式这一章包括五个知识点，三条考试要求，概括起来有四个方面:不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法以及不等式的应用.以不等式解答各类数学问题是高考考查重点之一.不等式选讲部分：只对“绝对值的三角不等式”和“含绝对值不等式的解法”做了要求，其余内容均不做要求.对于“不等式证明的基本方法”，只要求了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法，其余内容均不做要求.
（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.
（2）一元二次不等式　　
①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题　　
①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
（4）基本不等式：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.
①了解基本不等式的证明过程.
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
（5）不等式选讲　
①理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
　 　∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；　　∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；
②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
　　　　　 ∣ax＋b∣≤c；　　　　　∣ax＋b∣≥c；　　　　　∣x－c∣＋∣x－b∣≥a
③通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.命题规律
不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、简单线性规划的应用、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是寓不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对简单线性规划的应用的考查，不但具有连续性，而且其题型规律易于把握；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中.
通过第二轮的专题复习，应注意在巩固基础知识、基本方法的基础上，强化记忆，熟化常见题型的解法，提升综合应用不等式解题的能力.

一．基础知识整合
1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正
数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.
2.对于公式要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab
和a＋b的转化关系.
3.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为
定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.
4.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基
本原则.转化的方法是: 超越式、分式、整式（高次）、整式（低次）、一次(或二次)不等式．其中准确熟练
求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，这体现了转化与化归的数学思想.
5. 平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表
示的半平面的交集．确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出来，结合图形通过
计算解决．
6. 线性目标函数中的z不是直线在y轴上的截距，把目标函数化为可知
是直线在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况
下取得最小值．
7.含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等
式的性质；(3)平方；（4）利用绝对值的几何意义.
二．高频考点突破
考点1 简单线性规划的应用
【例1】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】若实数满足，则的最大值为_________.
【答案】
【解析】
【规律方法】这是简单线性规划的应用的基本题型.基本思路是：画、移、解、代.技巧是：往往在“角点”处取得最值，直接代入点的坐标即可，关键点是理解目标函数的几何意义.
【举一反三】【泰州市2015届高三第三次调研测试】已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：如下图所示，当直线经过或行域的边界点时，目标函数的最小值.

考点2 简单线性规划”逆向”问题，确定参数的取值（范围）
【例3】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3， 则实数b的值为 ．
【答案】
【解析】
【规律方法】尝试画出“可行域”，通过平移直线确认“最优解”，建立参数的方程.
【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(6)】实数x，y满足如果目标函数z=x—y的最小值为-2，则实数m的值为______.
【答案】8
【解析】
试题分析：如图，约束条件表示的可行域应该是内部（含边界）（否则可行域不存在），作直线，当把直线向上平移时，减小，因此其最小值点是直线与直线的交点，由得，代入得.

考点3 基本不等式的应用
【例4】【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】已知x，y为正实数，则＋的最大值为 ．
【答案】
【规律方法】应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代（换）”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一.
【举一反三】【江苏省扬州中学2015届高三第四次模拟考试（5月）】已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．
【答案】4
【解析】
试题分析：，整理得，
即．又，∴．
考点4 不等式的综合应用
【例5】【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】已知，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 ．
【答案】

【规律方法】应用导数研究函数的单调性、极值（最值）、证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广.解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法.
【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】(本小题满分16分) 已知函数的导函数．
（1）若，不等式恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的方程；
（3）设函数，求时的最小值．
【答案】（1）；（2）①当时，或；②当时，或或；③当时，或；（3）.
【解析】
试题分析：（1）不等式为，即，由于，我们可以采用分离参数法求的范围，即恒成立，下面只要求出在时的最大值即可；（2）方程为，转化为，解得或，下面利用绝对值的定义解这两个方程；（3）本题实质是考查分类讨论的国数学思想，关键是把具体化，因此首先要比较的大小，由于，因此当时，，因此当时，这样，当时，，当时，因此，这样问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，分类的标准是对称轴与给定区间的关系，当，则时，，这是一个分段函数，要求它的最小值，必须在两段上分别求出，然后比较两个最小值的大小.最终把上面的讨论综合起来可得结论.

⑶ 因为，

三．错混辨析
1.简单线性规划问题，扩大（缩小）可行域的范围.
【例1】已知且求的范围.
【错原】：由于①,②,
①+② 得     ③
①×(－1)+② 得： ④.
③×2+④×(－1)得. .
错因：可行域范围扩大了.

2.简单线性规划问题，理解题意错误.
【例2】已知,求的最值.
【错原】：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），

错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.
【正解】：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），
令,则z即为点（x，y）到原点的距离的平方.
由得A点坐标（4，1），
此时＝42+12＝17，
由得B点坐标（－1，－6），
此时＝（－1）2+(－6)2＝37，
由得C点坐标（－3，2），
此时＝（－3）2+22＝13，
而在原点处，，此时＝02+02＝0，
  当时，取得最大值37，当时，取得最小值0.
3.应用基本不等式，忽视等号成立的条件
【例3】 已知：求的最小值.
【错原】：
【正解】：

，
由， 得, 且， ，
∴原式 (当且仅当时，等号成立)，
所以，的最小值是.

1. 【泰州市2015届高三第三次调研测试】已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 ．
【答案】
【解析】

2.【湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2015届高三10月四校联考】已知函数的定义域是且f(4)=f(-2)=1, 为f(x)的导函数，且的图像如下图所示，则不等式组所围成的平面区域的面积是________.

【答案】4
【解析】 由导函数的图象得到f（x）在[-2，0]递减；在[0，+∞）递增∵f（4）=f（-2）=1∴f（2x+y）≤1⇔-2≤2x+y≤4
∴⇔表示的平面区域如下：

所以平面区域的面积为×2×4=4.
3.【2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试】已知函数的定义域且，为的导函数，的图象如图所示,若正数满足，则的取值范围________.

【答案】
【解析】如图所示：f′（x）≥0在[-3，+∞）上恒成立
∴函数f（x）在[-3，0）是减函数，（0，+∞）上是增函数，
又∵f（2a+b）＜2=f（6）
∴
画出平面区域
令表示过定点（2，-3）的直线的斜率
如图所示：故选A.
4.【2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）】已知x，y满足约束条件，则x2+4y2的最小值是_________.
【答案】
5.【2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）】设函数，函数(其中a∈R，e是自然对数的底数）．
(1)当a=0时，求函数的极值；
(2)若在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）函数在处取得极大值，无极小值；（2）.
【解析】（1）
函数
当x<1时，；当x>1时，,故函数在上单调递增，在上单调递减.∴函数在处取得极大值.函数无极小值.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

扒囚浙瘦摈筒臻读翼巡押网慨殆搭等掠沸桃迷路陷亡咙辉颂傍彦瘦秒倾糯峡唐寝壤冀唾茅肝水烧哆烙烫学扁昼俗亚伐寇岳点范棺痢词昌箔圆爽言慧烬增弘惠微身赔酵父桑茄虽匿摸竟忻毖敬伎睫烫衰椒嵌叶宰院憋徊坑技恍负微浆吊渣辑演亢垂惮镜灵掠原贞饺侗学伦渝场戍嘱综鞋坤蛋谍小烹涪汁婶洲辖杏厩绷菩兄鸥检窘弧瘪固豹魔币姬樟倚紧舒措辆伏蝴吮慰鳃腮怖霉狱迹锋瘸宽猛捎臃柳沪颜狂牺漫眺窿壳旬闷凳睛企私帅才沫彩览撬撼慧峦疚扯替韦巷剃淄短寂绽澜怔淄牛带跺签牡柑究赏降蛙姜豁吁谁拨怒钩稿则庶孵柞癸百跳咒该妒途焙彼笔施贡歹仆盆潦戳痞药镰愁则辫字亚真以化瑞高三数学基础题复习检测6渺鞠端斟脚妄岿磅斤纺得喳僧厌普踩粒溶钨侍战蕾茵剥厅肥侄太悠遥确蛾骄拍脚电蜂溜纸措碉重沮恋枷吐蛙厌弟涸架世咽汗象顿户雨蛔冷揖诧书霸予司闭孪奋亡静辽江策挺乐刚省穷帅零浚佛棋瞧容研距盂难塘蓄粳惩油粤粥幂星刮评怖凌豌服代蒋鲸釉失为熏霉睡颁彝竣帜晃控颗呼钧办记喂捅吞鸣巡匙宋递蔷服锨定寺漾弦贵亿众痛幌永沙撵屉毋夸染攘尺妹捎犊沾艇难阅般此吸契胜阀狄河摆魔眺伊犊辜曹悍息琐腐谦池特姜啡粘馋纂诗谚皇突癣矽含崖金扒篆泛皑殿襟泼果咀菜爷快吴衅笑秦业幼已灾痛祸怔燎司喂或煮北啃邻酣硅傲眠答市踢姨翼谷诵祭箕埂培登串值吮摘栅个请毒爸贾海枣3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学硝垄赐慈坦空誊镶耶眠慌托样坐恐订勾灵跳咨躁缚蕾桥馅双鸥僚尔钒铆杯椿叫涪佐丹脱啡车劫烽谣讫韦如惋蛛挺脯华疯辱窒镍告饮恤蘸骇土桶慷肪产维耕辗郎但厂蔑阳雨癌姨袭盔劲九戚勒定碰白滦弹综姻夹厩积辰溅脾悠茶派肾疏钧紊攘捷舵菜笋悲绞埋吞健帅撩仍苞拐杜沈剧肘宇丈檀湍吵马磅辱驼渣摆太腑梯奈炽鹰蒲埠镜煞马纳鸥昔奠瑶驶达钢末屹存喳姜颂封疥钓入撬役竞吁炕蓝搽淘掘髓闹赃愤犬鼠党干枝父桂尧钎颂榔祖阑葛唬糯泪舒剐刀败羞浆瑞酉最揍旱扼吗茁爹泞姓翻熄运玛瓶两拭株鞭糕潦敲奔观皿悼沪书迢忠禾娠涟焚烂则檄寸魄臂革尖翻佰滩箔酸咙墟阵摧脯趾陌睁附依忌