2018届高考科科数学第二轮复习综合能力训练18.doc

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押题模拟(二)
时间：120分钟　满分：150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{0,1}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a＝(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．0或1或－1
2．已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x－y＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(导学号：50604237)命题“∃x∈R，≥0”的否定是(　　)
A．“∃x∈R，≤0” B．“∃x∈R，<0”
C．“∀x∈R，≤0” D．“∀x∈R，<0”

4．右边茎叶图记录了甲、乙两组各十名学生在高考前体检中的体重(单位：kg)．记甲组数据的众数与中位数分别为x1，y1，乙组数据的众数与中位数分别为x2，y2，则(　　)
A．x1>x2，y1>y2 B．x1>x2，y1<y2
C．x1<x2，y1>y2 D．x1<x2，y1<y2
5．(导学号：50604238)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝cos＋2x，且g(x)＝f(x)＋2x，则g(－1)＋g(1)＝(　　)
A. B．6 C. D．8
6．(导学号：50604239)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下面4个命题：
①由α∥β，m⊂α，n⊂β，得m与n平行或异面；②由m∥n，m⊥α，n⊥l，得l∥α；
③由m∥n，m∥α，得n∥α；④由m⊥α，n⊥β，α⊥β，l⊥m，得l∥n.
其中正确命题的序号是(　　)
A．① B．②④
C．①② D．①②④

7．执行如图所示的程序框图，输出的z值为(　　)
A．9
B．15
C．125
D．225
8．(导学号：50604240)已知双曲线C的两个焦点与抛物线x2＝4y的焦点之间的距离都为2，且离心率为，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－y2＝1或x2－＝1 D.－＝1
9．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，
则该不规则几何体的体积为(　　)
A.
B.
C．3
D．6
10．(导学号：50604241)已知向量m＝(－2,3)与n＝(1，t)，若向量m＋n与m－n的夹角为锐角，则函数f(t)＝t2－2t＋3的值域是(　　)
A.∪ B.∪
C. D.
11．将函数y＝cos(ω>0)的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)的图象，若x＝－是f(x)的一条对称轴，则ω的最小值为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
12．(导学号：50604242)若函数f(x)满足f(x＋1)[f(x)＋]＝1，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，若在区间(－1,1]上，函数g(x)＝f(x)－m＋有两个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－8)∪ B．(－∞，－6)∪
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设(x2－2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则常数a8＝________.
14．(导学号：50604243)若x，y满足则2x＋3y的最小值为________．
15．(导学号：50604244)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1(a<0)的圆心在直线y＝(x＋1)上，且圆C上的点到直线y＝－x距离的最大值为1＋，则a2＋b2＝________.
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(导学号：50604245)(12分)
已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a＝2an＋1(an＋1)－an.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn＝logan，求数列{an·bn}的前n项和Tn.

18.(导学号：50604246)(12分)
某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间[20,50]岁之间，对区间[20,50]岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数
分组
人数
(单位：人)

第一组
[20,25)
2
第二组
[25,30)
a
第三组
[30,35)
5
第四组
[35,40)
4
第五组
[40,45)
3
第六组
[45,50]
2

(Ⅰ)求a的值并画出频率分布直方图；
(Ⅱ)从被调查的20人且年龄在[20,30)岁中的投资者中随机抽取3人调查对其P2P理财观念的看法活动，记这3人中来自于区间[25,30)岁年龄段的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

19.(导学号：50604247)(12分)
四棱锥A－BCDE中，侧棱AD⊥底面BCDE，底面BCDE是直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，BC＝2AD＝2DC＝2DE＝4，H，I分别是AD，AE的中点.

(Ⅰ)在AB上求作一点F，BC上求作一点G，使得平面FGI∥平面ACD；
(Ⅱ)求二面角A－BE－C的余弦值．

20.(导学号：50604248)(12分)
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2c，且c，，2成等比数列．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)点B坐标为(0，)，问是否存在过点B的直线l交椭圆C于M，N两点，且满足⊥(O为坐标原点)？若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21.(导学号：50604249)(12分)
对于函数f(x)(x∈D)，若x∈D时，均有f′(x)<f(x)成立，则称函数f(x)是J函数．
(Ⅰ)当函数f(x)＝x2＋m(ex＋x)，x≥e是J函数时，求实数m的取值范围；
(Ⅱ)若函数g(x)为R＋上的J函数，
(ⅰ)试比较g(a)与ea－1g(1)的大小；
(ⅱ)求证：对于任意大于1的正数x1，x2，x3，…xn，均有g[ln(x1＋x2＋…＋xn)]<g(ln x1)＋g(ln x2)＋…＋g(ln xn)．

(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(导学号：50604250)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l的参数方程为(t为参数)，若l与C交于A，B两点．
(Ⅰ)求|AB|；
(Ⅱ)设P(1,2)，求|PA|·|PB|的值．

23．(导学号：50604251)[选修4－5：不等式选讲](10分)
设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x＋1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≤8的解集；
(Ⅱ)若不等式f(x)>|a－2|对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

押题模拟(二)
1．C　因为B⊆A，所以B＝∅或B＝{0}或B＝{1}．当B＝∅时，a＝0；当B＝{0}时，a×0－1＝0，无解；当B＝{1}时，＝1，解得a＝1.综上，a＝0或1.
2．A　由题意，＝(x－xi)＝1－yi，解得x＝2，y＝1.故x－y＝1.
3．D　由于特称命题的否定是全称命题，否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∃x∈R，≥0”的否定是“∀x∈R，<0”．
4．D　甲组数据的众数为x1＝64，乙组数据的众数为x2＝66，则x1<x2；甲组数据的中位数为y1＝＝65，乙组数据的中位数为y2＝＝66.5，则y1<y2.
5．C　f(－1)＝f(1)＝cos＋2＝，g(－1)＋g(1)＝f(－1)＋＋f(1)＋2＝2f(1)＋＝5＋＝.
6．A　①正确；对于②，还有可能l⊂α，故②不对；对于③，当m∥n，m∥α时，直线n与平面α不一定平行，还有可能n⊂α，故③不对；对于④，l与m还可能异面或相交，故④不对．
7．D　S＝0，a＝3；S＝log23，a＝5；S＝log23＋log25＝log215，a＝7>5，z＝4log215＝152＝225.
8．B　抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，因为双曲线C的两个焦点与抛物线x2＝4y的焦点之间的距离都为2，所以双曲线C的两个焦点一定在x轴上．则可设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距长为c.由题意，＝2，解得c＝.又双曲线C的离心率为，所以＝，解得a＝1.所以b＝＝.所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.

9．B　由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个三棱锥，其直观图如右图：
其底面是底和高分别为5，的三角形，高为＝，则该三棱锥的体积为V＝××5××＝.从而该不规则几何体的体积为.
10．A　m＋n＝(－1，t＋3)，m－n＝(－3,3－t)，(m＋n)·(m－n)>0,3＋9－t2>0，－2<t<2，
又－3(t＋3)≠－(3－t)，∴t≠－，∴f(t)＝(t－)2∈∪.
11．B　y＝cos＝－sinωx＝sin(ωx－π)，故向左平移个单位后，
即得到f(x)＝sin
＝sin的图象．
由－＋－π＝kπ＋得ω＝12(k＋1)＋6，k∈Z，∵ω>0，∴ωmin＝6.

12．A　g(x)＝f(x)－mx－3m有两个不同的零点，即曲线y＝f(x)与直线y＝mx＋3m有两个交点，若x∈(－1,0]，x＋1∈(0,1]，由已知可得f(x＋1)＝，故f(x＋1)＝＝2(x＋1)，f(x)＝－，
又因为y＝m－恒过定点，为此作出两个函数的图象，当m>0时，可得1<m≤，当m<0时，y＝－，y′＝－，设切点(x0，y0)，则y－＋＝－(x－x0)，将x＝－，y＝－代入得x0＝－，－＝－8，结合图形得m<－8.
13．－10　a8＝C(－2)＝－10.
14．－4　作出可行域如图，得A为(7，－6)

令z＝2x＋3y
∴在点A处z取得最小值－4.
15．3　由题可知b＝a＋①
又∵|a＋b|＝2②
由①②可得a＝(舍)或a＝－，则b＝－，∴a2＋b2＝3.
16．(2,4]　(法一)根据正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，变形得a2＋b2－c2＝ab，
cos C＝＝＝，又0<C<π，所以C＝，sin C＝，∵＝＝，
故a＋b＝(sin A＋sin B)
＝[sin A＋sin(－A)]
＝(cos A＋sin A)＝4sin(A＋)，
因为0<A<，<A＋<，
所以<sin(A＋)≤1，
所以2<4sin(A＋)≤4.
(法二)由题意及正弦定理得a2＋b2－ab＝c2＝4，令a＋b＝t，则b＝t－a，
代入上式得3a2－3at＋t2－4＝0，
关于a的方程有实数根，
则Δ＝(－3t)2－12(t2－4)≥0，解得t≤4，
又两边之和大于第三边，所以2<a＋b≤4.
17．解：(Ⅰ)由a＝2an＋1(an＋1)－an，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)，
因为数列{an}的各项都为正数，所以＝.
故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝()n－1.4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an＝()n－1，故bn＝n－1，所以an·bn＝(n－1)()n－1，数列{an·bn}的前n项和Tn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋(n－2)×()n－2＋(n－1)×()n－1，①
Tn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－2)×()n－1＋(n－1)×()n，②
①－②得Tn＝＋()2＋()3＋…＋()n－1－(n－1)×()n
＝－(n－1)×()n＝1－()n－1－(n－1)×()n＝1－(n＋1)()n，
Tn＝2－(n＋1)()n＋1.12分
18．解：(Ⅰ)a＝20－2－5－4－3－2＝4，2分
直方图中小矩形的高度依次为
＝0.02，＝0.04，＝0.05，＝0.04，＝0.03，＝0.02，
频率直方图如图.6分

(Ⅱ)因为区间[20,25)岁年龄段的”投资者”有2名，区间[25,30)岁年龄段的”投资者”有4名，
则易知X的所有可能取值是1,2,3.7分
则P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.10分
故随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P

11分
故随机变量X的数学期望为 E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.12分
19．解：(Ⅰ)如下图所示，分别作AB的四等分点F(离A较近)，BC的四等分点G(离C较近)，则其使得平面FGI∥平面ACD.2分

证明如下：
因为H，I分别是AD，AE的中点，
所以HI∥DE，
且HI＝DE.3分
又DE∥BC，BC＝2DE，所以HI∥BC且HI＝BC.
所以HI∥GC且HI＝GC.
所以四边形HIGC是平行四边形．所以IG∥HC.4分
由题意，＝＝，所以FG∥AC.5分
又IG∩FG＝G，HC∩AC＝C，
所以平面FGI∥平面ACD.6分
(Ⅱ)以DE，DC，DA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则点A(0,0,2)，E(2,0,0)，B(4,2,0)．
则＝(2,0，－2)，＝(4,2，－2).7分
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
即得
令z＝1，得n＝(1，－1,1)；9分
易知平面BCDE的一个法向量为m＝(0,0,1)，10分
设二面角A－BE－C的大小为θ，
则cosθ＝＝＝.
故二面角A－BE－C的余弦值为.12分
20．解：(Ⅰ)()2＝2·c，解得c＝1.1分
又e＝＝，及a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝1.3分
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.4分
(Ⅱ)若直线l过点B(0，)．
当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；5分
故直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－＝kx，即y＝kx＋.
联立方程组消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＋2＝0.
显然Δ＝(4k)2－4(1＋2k2)×2>0，解得k>或k<－.(*)
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.8分
由⊥，得·＝0，则x1x2＋y1y2＝0.9分
即＋(kx1＋)(kx2＋)＝0，
得＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝0，
得＋k2·＋k＋2＝0，化简得＝0，解得k＝±.符合(*)式，
此时直线l的方程为y＝x＋或y＝－x＋.11分
故存在过点B的直线l交椭圆C于M，N两点，且满足⊥，
此时直线l的方程为y＝x＋或y＝－x＋.12分
21．解：(Ⅰ)由f(x)＝x2＋m(ex＋x)，x≥e得f′(x)＝2x＋m(ex＋1)，x≥e，
由f′(x)<f(x)得2x＋m(ex＋1)<x2＋m(ex＋x)，
∴m(x－1)>2x－x2，又x≥e，∴m>，
令y＝，则y′＝<0，
又x≥e，∴ymax＝，∴m>.4分
(Ⅱ)(ⅰ)构造函数h(x)＝，x∈R＋，
则h′(x)＝<0，可得h(x)为R＋上的减函数.5分
当a>1时，h(a)<h(1)，即<，得g(a)<ea－1g(1)；
当0<a<1时，h(a)>h(1)，即>，得g(a)>ea－1g(1)；
当a＝1时，h(a)＝h(1)，即＝，得g(a)＝ea－1g(1).7分
(ⅱ)因为x1＋x2＋…＋xn>x1，x1＋x2＋…＋xn>x2，…，x1＋x2＋…＋xn>xn，
所以ln(x1＋x2＋…＋xn)>ln x1，ln(x1＋x2＋…＋xn)>ln x2，…，
ln(x1＋x2＋…＋xn)>ln xn.8分
由(ⅰ)可知h[ln(x1＋x2＋…＋xn)]<h(ln x1)，
h[ln(x1＋x2＋…＋xn)]<h(ln x2)，…，h[ln(x1＋x2＋…＋xn)]<h(ln xn)，
所以<，整理得<g(ln x1).10分
同理可得<g(ln x2)，…，<g(ln xn)，
把上面n个不等式同向累加可得g[ln(x1＋x2＋…＋xn)]<g(ln x1)＋g(ln x2)＋…g(ln xn).12分
22．解：(Ⅰ)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，即x2＋y2＝2y，把x＝1－t，y＝2－3t
代入上式得(1－t)2＋(2－3t)2＝2(2－3t)，
∴10t2－8t＋1＝0，则t1＋t2＝，t1t2＝，
(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝－＝，
∴|AB|＝
＝＝＝.5分
(Ⅱ)|PA|·|PB|
＝
＝＝10|t1t2|＝1.10分
23．解：(Ⅰ)f(x)＝
f(x)≤8，则或或
∴－≤x≤2或－1<x<－或－≤x≤－1，
∴－≤x≤2，
∴f(x)≤8的解集为.7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)最小值为，
依题意，|a－2|<，∴<a<，
即a∈.10分

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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