山东省潍坊市2016届高三数学上册12月月考试题1.doc

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2015-2016学年山东省潍坊市寿光五中高三（上）12月月考数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共计50分）
1．设i是虚数单位，复数( )
A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i

2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若CRA⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．（﹣∞，4） D．（0，4）

3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a

4．下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；
③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．
其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．[，] B．[﹣，﹣] C．[，3] D．[﹣3，﹣]

6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )

A．12 B．24 C．36 D．48

7．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )
A． B． C． D．

8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )

A． B． C． D．

10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )
A．（0，） B．（，e） C．（0，] D．[，）

二、解答题（每小题5分共计25分）
11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=__________．

12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=__________．

13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是__________．

14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为__________．

15．给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；
②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；
③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；
④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．
其中的真命题是__________．（写出所有真命题的编号）

三、解答题：
16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．

17．已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．

18．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．
（I）求证：AE∥平面BCF；
（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．

20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

2015-2016学年山东省潍坊市寿光五中高三（上）12月月考数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共计50分）
1．设i是虚数单位，复数( )
A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：复数===3﹣2i，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若CRA⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．（﹣∞，4） D．（0，4）
【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】根据集合的补集关系进行求解即可．
【解答】解：∵A={x|x2﹣a≥0}={x|x2≥a}，
∴CRA={x|x2≤a}，
若a＜0，则CRA=∅，满足CRA⊆B，
若a≥0，
则CRA={x|x2＜a}={x|﹣＜x＜}，
若CRA⊆B，
则≤2，解得0≤a≤4，
综上a≤4，
故选：A
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，注意分类讨论．

3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=log32＜log33=1，c=log20.1＜log21=0．
∴c＜b＜a．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．

4．下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；
③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．
其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】规律型；探究型；构造法；导数的概念及应用；简易逻辑．
【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．
【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，
故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
即x＞sinx恒成立，故①正确；
命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；
“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，
“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，
故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；
④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确．
其中正确结论的个数是2个，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．

5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．[，] B．[﹣，﹣] C．[，3] D．[﹣3，﹣]
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．
【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0）
作出不等式组对应的平面区域如图：
当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，
故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=x，
斜率k=，
要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，
即k=＞0，即m＜0，满足kCD≤k＜kAB，
此时AB的斜率kAB=2，
由解得，即C（2，1），
CD的斜率kCD==，
由，解得，即A（2，4），
AD的斜率kAD==，
即≤k≤，
则≤≤，
解得﹣3≤m≤﹣，
故选：D．

【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )

A．12 B．24 C．36 D．48
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．
【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱垂直底面矩形的一个得到，
所以棱锥的体积为：=12．
故选：A．

【点评】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．

7．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用0＜a＜1，判断ax，x＞0时的范围，以及x＜0时的范围，然后求解ax﹣1的范围，倒数的范围，即可判断函数的图象．
【解答】解：因为0＜a＜1，x＞0时，0＜ax＜1，﹣1＜ax﹣1＜0，＜﹣1，
x＜0时，ax＞1，ax﹣1＞0，＞0，
观察函数的图象可知：B满足题意．
故选：B．
【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质．

8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f（x）=sin2x，g（x）=sin2（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：由题意可得函数f（x）=•=（2sinxcosx）=sin2x，
g（x）=2+2﹣=sin2x+1+4cos2x﹣=3cos2x﹣=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），
故把g（x）的图象向右平移个单位长度，可得f（x）的图象，
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．

9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )

A． B． C． D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x0）=3求出sin（x0+ ）的值，可得cos（x0+ ）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]的值．
【解答】解：由函数的图象可得A=5，且 =，解得ω=1
再由五点法作图可得 1•+φ=，解得 φ=．
故函数的解析式为 f（x）=5sin（x+ ）．
再由f （x0）=3，x0∈（，），可得 5sin（1•x0+ ）=3，
解得 sin（x0+ ）=，故有cos（x0+ ）=﹣，
sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]=sin（x0+ ）cos﹣cos（x0+ ）sin=﹣（﹣）=．
故选A．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．

10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )
A．（0，） B．（，e） C．（0，] D．[，）
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．
【解答】解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：

当a≤0时，显然，不合乎题意，
当a＞0时，如图示，
当x∈（0，1]时，存在一个零点，
当x＞1时，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]）
g′（x）==，
若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，
∴
解得，，
在区间（0，3]上有三个零点时，
，
故选D．
【点评】本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．

二、解答题（每小题5分共计25分）
11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=﹣1．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=sin（α﹣）=，
∴sin（α﹣）=1，
∵α∈（0，π），
∴α﹣=，即α=，
则tanα=﹣1．
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．

12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=（﹣4，7）．
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，求出m的值，则2+3的答案可求．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，
∴﹣2+2m=0，解得m=1，
则2+3=2×（1，2）+3×（﹣2，1）=（﹣4，7）．
故答案为：（﹣4，7）．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．

13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是[log23，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，
∴x≥log23，
即函数的定义域为[log23，+∞），
故答案为：[log23，+∞）
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．

14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．
【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，
∵=，∴=，
∵它们的侧面积相等，∴=1，
∴=，∴==（）2×=．
故答案为：．
【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．

15．给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；
②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；
③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；
④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．
其中的真命题是①④．（写出所有真命题的编号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】①利用命题的否定即可判断出；
②由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，另一方面由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，即可判断出；
③在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，可得sinA＞sinB．
④利用偶函数的性质即可得出．
【解答】解：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；
②a、b、c是空间中的三条直线，由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，
由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，因此“a⊥c且b⊥c”是a∥b的既不充分也不必要条件，因此②不正确；
③在△ABC中，由A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，
因此sinA＞sinB．可知逆命题为真命题，因此不正确；
④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），可知函数f（x）是偶函数．
由当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．正确．
综上可知：只有①④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题综合考查了空间中的线线位置关系、三角形的边角关系、函数的奇偶性单调性、简易逻辑等基础知识与基本技能方法，属于基础题．

三、解答题：
16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．
【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；
（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．
【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，
∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴=π，即ω=1，
则f（x）=sin（2x﹣）﹣1，
（Ⅰ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2x﹣）=1，
∴2C﹣=，即C=，
由正弦定理=得：b=，
把sinB=3sinA代入得：b=3a，
由余弦定理及c=得：cosC===，
整理得：10a2﹣7=3a2，
解得：a=1，
则b=3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．

17．已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（I）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）由（I）可得bn==，；利用“裂项求和”即可得出数列{bn}的前n项和为Tn，进而得到证明．
【解答】（I）解：∵2Sn+an=1，
∴当n≥2时，2Sn﹣1+an﹣1=1，
∴2an+an﹣an﹣1=0，化为．
当n=1时，2a1+a1=1，∴a1=．
∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为．
∴．
（II）证明：bn=
=
=
=，
∴数列{bn}的前n项和为Tn=++…+
=．
∴Tn＜．
【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数f（x），然后直接由周期公式求周期；
（2）通过函数的图象的平移求解函数g（x）的解析式为g（x）=，由x的范围求出的范围，从而求得函数g（x）的最值，并得到相应的x的值．
【解答】解：（1）由，得
==．
∴f（x）的最小正周期为π；
（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，
∴=．
∵x∈[0，）时，，
∴当，即时，g（x）取得最大值2；
当，即x=0时，g（x）取得最小值．
【点评】本题考查了三角函数的倍角公式及诱导公式，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数的最值得求法，是中档题．

19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．
（I）求证：AE∥平面BCF；
（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（I）利用正方形，平行四边形的性质可得AD∥BC，DE∥BF，可证平面ADE∥平面BCF，即可证明AE∥平面BCF…5分
（Ⅱ）由已知可证AC2=AF2+CF2，由勾股定理可得CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，可得FO⊥BD，又AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AFC，结合EF∥BD，即可证明EF⊥CF，从而可证CF⊥平面AEF．
【解答】证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF是平行四边形，
∴AD∥BC，DE∥BF，
∵AD∩DE=D，BC∩BF=B，
∴平面ADE∥平面BCF，
又∵AE⊂平面ADE，
∴AE∥平面BCF…5分
（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2，
∴对角线AC=4，
又∵O为GC中点，
∴AO=3，OC=1
又∵FO⊥平面ABCD，且FO=，
∴AF2=AO2+OF2=9+3=12，CF2=OC2+OF2=1+3=4，
又AC2=16，
∴AC2=AF2+CF2，
∴CF⊥AF，
又FO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴FO⊥BD
又∵AC⊥BD
∴BD⊥平面AFC，
又∵EF∥BD，
∴EF⊥平面AFC
∴EF⊥CF，
又EF∩AF=F
∴CF⊥平面AEF…12分

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．

20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）先对原函数求导数，然后通过解导数大于零或小于零的不等式得到原函数的单调区间；
（2）先将原不等式归零化简，然后通过求函数的最值解决问题，只需利用导数研究函数的单调性即可，注意分类讨论．
【解答】解：由题意可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．
（1）当m≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当m＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得．
所以当m≤0时，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间为（）．
（2）因为在[1，+∞）上恒成立．
即在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=，
则，
（1）当，即时，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x）＜g（1）=0，即g（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立；
（2）当，即时，
若x＞1，则g′（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，
即，故当x≥1时，f（x）恒成立．
综上所述，所求的正实数m的取值范围是．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的思路，以及不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解的基本思想．

21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；
（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．
【解答】解：（1）由题意知，，
将代入化简得： （0≤x≤a）．…
（2），
当且仅当，即x=1时，上式取等号．…
当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a＜1时，在[0，a]上单调递增，
所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；
当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．…
【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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