2018届高考文科数学第一轮总复习检测9.doc
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4、论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1直线与平面垂直(1)定义:如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面垂直(2)判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(3)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面(4)直线和平面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线平行直线垂直于平面,则垂直于这个平面内的任意直线垂直于同一条直线的两平面平行2直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为90和
5、03二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角4平面与平面垂直(1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.
6、()答案:(1)(2)(3)(4)2下列命题中不正确的是()A如果平面平面,且直线l平面,则直线l平面B如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面,平面平面,l,那么l.解析:根据面面垂直的性质定理,A项中l,l或l.答案:A3(2015浙江卷)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m.()A若l,则B若,则lmC若l,则 D若,则lm解析:l,l,(面面垂直的判定定理),故A正确答案:A4如图,已知PA平面ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为_解析:PA平面ABCPAAB,PAAC,PABC则PA
7、B,PAC为Rt由BCAC,且ACPAABC平面PAC,从而BCPC因此ABC,PBC也是Rt.答案:4一种关系垂直问题的转化关系三类证法1证明线线垂直的方法(1)定义:两条直线所成的角为90;(2)平面几何中证明线线垂直的方法;(3)线面垂直的性质:a,bab;(4)线面垂直的性质:a,bab.2证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义:a与内任何直线都垂直a;(2)判定定理1:l;(3)判定定理2:ab,ab;(4)面面平行的性质:,aa;(5)面面垂直的性质:,l,a,ala.3证明面面垂直的方法(1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角;(2)判定定理:a,a.A级基础巩固一、
8、选择题1(2016佛山一中期中)设、为不同的平面,m、n、l为不同的直线,则m的一个充分条件为()A,l,mlBm,C,m Dn,n,m解析:A中,缺少条件m,不满足面面垂直的性质定理,不正确在选项B,C中,平面与可能平行或相交,推不出m.在D中,n,n,则,根据m,得m,D正确答案:D2(经典再现)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A且lB且lC与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l解析:根据所给的已知条件作图,如图所示由图可知与相交,且交线平行于l,因此选项D正确答案:D3如图,在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下
9、面四个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析:因为BCDF,DF平面PDF,BC平面PDF,所以BC平面PDF,故选项A正确在正四面体中,AEBC,PEBC,DFBC,BC平面PAE,则DF平面PAE,从而平面PDF平面PAE.因此选项B、C均正确答案:D4(2014浙江卷)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()A若mn,n,则mB若m,则mC若m,n,n,则mD若mn,n,则m解析:A中,由mn,n可得m或m与相交或m,错误;B中,由m,可得m或m与相交或m,错误;C中,由m,n可得mn,又n,所以m,正确;D中,由mn,n
10、,可得m或m与相交或m,错误答案:C5如图所示,AB是O的直径,VA垂直于O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是()AMNABBMN与BC所成的角为45COC平面VACD平面VAC平面VBC解析:由圆的性质,BCAC.又VA平面ABC,则VABC.从而BC平面VAC,平面VAC平面VBC.因此C不正确,D正确由于MNAC,BCAC,所以A,B不正确答案:D二、填空题6如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:
11、由定理可知,BDPC.当DMPC(或BMPC)时,有PC平面MBD.又PC平面PCD,平面MBD平面PCD.答案:DMPC(或BMPC等)7(2017石家庄调研)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长都相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_解析:取BC的中点E,连接AE,DE,则AE平面BB1C1C.所以ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角设三棱柱的所有棱长为a,在RtAED中,AEa,DE.所以tanADE,则ADE.故AD与平面BB1C1C所成的角为.答案:8如图所示,在三棱锥DABC中,若ABCB,ADCD,E是AC的中点,
12、则下列命题中正确的是_(填序号)平面ABC平面ABD;平面ABC平面BCD;平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDE;平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE.解析:由ABCB,ADCD,E为AC中点,则ACDE,ACBE,又DEBEE,从而AC平面BDE.所以平面ABC平面BDE,平面ACD平面BDE,正确答案:三、解答题9(2016西安质检)如图所示,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点已知PAAC,PA6,BC8,DF5.求证:(1)直线PA平面DEF;(2)平面BDE平面ABC.证明:(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DEPA.又因为PA平面
13、DEF,DE平面DEF,所以直线PA平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA6,BC8,所以DEPA,DEPA3,EFBC4.又因为DF5,故DF2DE2EF2,所以DEF90,即DEEF.又PAAC,DEPA,所以DEAC.因为ACEFE,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE平面ABC.又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.B级能力提升1如图,在正四棱锥SABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:EPAC;EPBD;EP面SBD;EP面SAC中恒成立的为()ABCD解析:E,M,N是BC,CD,SC的中点
14、,ENSB,EMBD,从而可得EN平面SBD,EM平面SBD.又EN与EM是平面EMN内的两条相交直线,平面EMN平面SBD,故EP平面SBD,因此正确,当点P与M不重合时,不正确在正四棱锥SABCD中,AC平面SBD.从而AC平面EMN,由EP平面EMN,得ACEP,正确又易知EM平面SAC,因此不恒成立答案:A2如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC2a,BB13a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF_时,CF平面B1DF.解析:B1D平面A1ACC1,CFB1D.为了使CF平面B1DF,只要使CFDF(或CFB1F
15、)设AFx,则CD2DF2FC2,x23ax2a20,xa或x2a.答案:a或2a立体几何中的高考热点题型高考导航_1立体几何初步是高考的重要内容,几乎每年都考查一个解答题,两个选择或填空题,客观题主要考查空间概念,三视图及简单计算;解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式,即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直,并与几何体的性质相结合考查几何体的计算2重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等;同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法热点突破_热点1平行、垂直关系的证明与体积的计算
16、(满分现场)以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体,通过空间平行、垂直关系的论证命制,主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理,常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查,考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想,一般以解答题的形式出现,难度中等(本小题满分12分)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1AC2,BC1,E,F分别是A1C1,BC的中点(1)求证平面ABE平面B1BCC1.(2)求证C1F平面ABE.(3)求三棱锥EABC的体积规范解答:(1)在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1底面ABC,且AB平面ABC
17、.所以BB1AB.又因为ABBC,且BB1BCB所以AB平面B1BCC1.3分因为AB平面ABE所以平面ABE平面B1BCC1.4分图1图2(2)法一如图1,取AB中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FGAC.因为ACA1C1,且ACA1C1,所以FGEC1,且FGEC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.6分所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.8分法二如图2,取AC的中点H,连接C1H,FH.因为H,F分别是AC,BC的中点,所以HFAB,又因为E,H分别是A1C1,AC的中点,所以EC1綊AH,所以四边形E
18、AHC1为平行四边形,所以C1HAE.又C1HHFH,AEABA,6分所以平面ABE平面C1HF,又C1F平面C1HF,所以C1F平面ABE.8分(3)解:因为AA1AC2,BC1,ABBC,所以AB.10分所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.12分【满分规则】(1)本题的易失分点:在第(1)问中,忽视条件与,导致证明线面、面面垂直的判定定理条件不全,进而扣分在第(2)问中,作不出辅助线,线面平行证明受阻,或忽视条件,漏掉线面平行判定定理的条件扣1分运算不细心或运算能力差,导致运算结果(如处)错误扣2分(2)满分规则:得关键点分:证明立体几何要注意解题规范,严格按照线面平行、垂直的定
19、理条件要求,有序进行论证说明得步骤分:阅卷时,主要看关键步骤、关键点,有则得分,无则扣分,所以解题时要写全关键步骤,不能漏掉,否则扣分得运算分:在解题过程中,涉及有关长度、角、面积、体积等计算问题时,一定要细心准确,否则思路正确,由于运算失误而扣分,非常可惜【构建模板】第一步:利用线面垂直判定定理,证AB平面B1BCC1.第二步:证明平面ABE平面B1BCC1.第三步:根据线面平行判定证明C1F平面ABE.第四步:根据体积公式,计算三棱锥EABC的体积第五步:检验反思,查关键点,规范步骤【变式训练】(2015课标全国卷)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)
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