江苏省泰州市2016届九年级数学上册期末考试题2.doc

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2015-2016学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每题3分，共18分）
1．数据：2，3，3，5，7的极差是( )
A．2 B．3 C．4 D．5

2．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )

A．2 B． C． D．

3．在比例尺是1：46000的城市交通游览图上，某条道路的图上距离长约8cm，则这条道路的实际长度约为( )
A．368×103cm B．36.8×104cm C．3.68×105cm D．3.68×106cm

4．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB的度数为( )

A．45° B．40° C．80° D．50°

6．关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是( )
A．抛物线与x轴有两个交点
B．当x=1时，函数有最大值
C．抛物线可由经过平移得到
D．当﹣1＜x≤2时，函数y的整数值有3个

二、填空题（每题3分，共30分）
7．若x=0是关于x的方程x2﹣x﹣a2+9=0的一个根，则a的值为__________．

8．人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：=90，S甲2=1.234，S乙2=2.001，则成绩较为稳定的班级是__________（填甲班或乙班）．

9．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线MN的距离为4，则⊙O与直线MN的位置关系为__________．

10．如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是__________．

11．已知△ABC∽△DEF，且，则=__________．

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为__________．

13．一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是__________厘米2（结果保留π）．

14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是__________．

15．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为__________．

16．如图，在直角坐标系xOy中，若抛物线y=+2x交x轴的负半轴于A，以O为旋转中心，将线段OA按逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合题意的α的值是__________．

三、解答题（共102分）
17．计算或解方程：
（1）|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0++．
（2）x2﹣6x+5=0（配方法）

18．前不久，我校初一、初二两个年级举行作文竞赛，根据初赛成绩，每个年级各选出5名选手分别组成初一代表队和初二代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初一
__________
85
__________
初二
85
__________
100
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好．

19．如图，有5张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A，B，C，D，E和一个等式，背面完全一致．现将5张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C；第二堆：D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片．

（1）请用画树状图或列表法表示出所有可能结果；（卡片可用A，B，C，D，E表示）
（2）将“第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解”记作事件M，求事件M的概率．

20．某商店6月份的利润是2000元，要使8月份的利润达到3380元，平均每月利润增长的百分率是多少？

21．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

22．如图，△ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于点D．已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C．
（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=3，求图中阴影部分的面积．

23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长
线交AB于H．
（1）求证：△CAG∽△ABC；
（2）求S△AGH：S△ABC的值．

24．某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为6元/千克，若以9元/千克的价格销售，则每天可售出200千克；若以11元/千克的价格销售，则每天可售出120千克．通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．
（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；
（2）当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元？（利润=销售量×（销售单价﹣进价））
（3）该水果店在进货成本不超过720元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

25．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为m．
（1）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=5：13时，求m的值；
（2）若∠ACP′=60°，试用m的代数式表示n；
（3）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．

26．（14分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2+mx+n的图象上，当x1=1、x2=3时，y1=y2．
（1）①求m；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值．
（2）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，且b1＞b2，求实数a的取值范围．
（3）若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，求n的范围．

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每题3分，共18分）
1．数据：2，3，3，5，7的极差是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】极差．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据极差的定义解答，即用7减去2即可．
【解答】解：数据2，3，3，5，7的极差是7﹣2=5．
故选D．
【点评】极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．

2．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )

A．2 B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图：，
tanα==．
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

3．在比例尺是1：46000的城市交通游览图上，某条道路的图上距离长约8cm，则这条道路的实际长度约为( )
A．368×103cm B．36.8×104cm C．3.68×105cm D．3.68×106cm
【考点】比例线段；科学记数法—表示较大的数．
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解答】解：设这条道路的实际长度为xcm，则：
=，
解得x=368000．
368000cm=3.68×105cm．
所以这条道路的实际长度为3.68×105cm．
故选C．
【点评】本题主要考查了比例线段，比例尺的意义，能够根据比例尺正确进行计算．也考查了科学记数法．

4．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：由题意知，△=4+4m≥0，
∴m≥﹣1，
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及一元二次方程的意义．

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB的度数为( )

A．45° B．40° C．80° D．50°
【考点】圆周角定理．
【分析】由OA=OB，可求得∠OBA=∠OAB=40°，继而求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得答案．
【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=40°，
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=100°，
∴∠ACB=∠AOB=50°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

6．关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是( )
A．抛物线与x轴有两个交点
B．当x=1时，函数有最大值
C．抛物线可由经过平移得到
D．当﹣1＜x≤2时，函数y的整数值有3个
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得求解．
【解答】解：A、∵a=﹣＜0，顶点（1，2），
∴抛物线与x轴有两个交点；
B、∵抛物线开口向下，顶点（1，2）∴当x=1时，函数有最大值2；
C、抛物线可由向右平移1个单位，向上平移2个单位得到；
D、∵当﹣1＜x≤2时，0＜y≤2，∴函数y的整数值有1，2两个；
综上所述，结论错误的是D．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．

二、填空题（每题3分，共30分）
7．若x=0是关于x的方程x2﹣x﹣a2+9=0的一个根，则a的值为±3．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入原方程得到关于a的一元二次方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把x=0代入x2﹣x﹣a2+9=0得﹣a2+9=0，解得a=±3．
故答案为±3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

8．人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：=90，S甲2=1.234，S乙2=2.001，则成绩较为稳定的班级是甲班（填甲班或乙班）．
【考点】方差．
【分析】由于S甲2＜S乙2，则根据方差的意义可判断成绩较为稳定的班级为甲班．
【解答】解：∵=90，S甲2=1.234，S乙2=2.001，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲班的成绩较为稳定．
故答案为甲班．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是：s2=[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

9．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线MN的距离为4，则⊙O与直线MN的位置关系为相交．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据圆心O到直线MN的距离小于半径即可判定直线MN与⊙O的位置关系为相交．
【解答】解：∵圆心O到直线MN的距离是4cm，小于⊙O的半径为5cm，
∴直线MN与⊙O相交．
故答案为：相交．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

10．如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是．

【考点】几何概率．
【分析】设圆的面积为6，易得到阴影区域的面积为4，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：设圆的面积为6，
∵圆被分成6个相同扇形，
∴每个扇形的面积为1，
∴阴影区域的面积为4，
∴指针指向阴影区域的概率=；
故答案为：．
【点评】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=．

11．已知△ABC∽△DEF，且，则=．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且，
∴=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为6．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【分析】首先根据三角函数值计算出BC长，再利用勾股定理可计算出AC长．
【解答】解：∵AB=10，cosB=，
∴BC=10×=8，
∴AC==6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了三角函数，以及勾股定理，关键是掌握锐角三角函数定义．

13．一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是2π厘米2（结果保留π）．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥侧面积的求法：S侧=•2πr•l=πrl，把r=1厘米，l=2厘米代入圆锥的侧面积公式，求出该圆锥的侧面积是多少即可．
【解答】解：该圆锥的侧面积是：
S侧=•2πr•l=πrl=π×1×2=2π（厘米2）．
故答案为：2π．
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：S侧=•2πr•l=πrl．

14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是120°．

【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠DAB=180°，又∠DAB=60°，
∴∠BCD=120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

15．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（，）．

【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD=1：，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA=1，
∴OD=，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD=．
∴E点的坐标为：（，）．
故答案为：（，）．
【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．

16．如图，在直角坐标系xOy中，若抛物线y=+2x交x轴的负半轴于A，以O为旋转中心，将线段OA按逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合题意的α的值是30°或150°．

【考点】抛物线与x轴的交点；坐标与图形变化-平移；坐标与图形变化-旋转．
【分析】首先求出抛物线的顶点坐标以及AO的长，再利用平移的性质结合AO只是左右平移，进而得出旋转的角度．
【解答】解：由题意可得：y=+2x=（x+2）2﹣2，
故抛物线的顶点坐标为：（2，﹣2），
当y=0时，0=（x+2）2﹣2
解得：x1=0，x2=4，
故AO=4，
∵将线段OA按逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，
∴旋转后对应点A′到x轴的距离为：2，
如图，过点A′作A′C⊥x轴于点C，
当∠COA′=30°，
则CA′=A′O=2，
故α为30°时符合题意，
同理可得：α为150°时也符合题意，
综上所述：所有符合题意的α的值是30°或150°．
故答案为：30°或150°．

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及旋转与平移变换，正确得出对应点的特点是解题关键．

三、解答题（共102分）
17．计算或解方程：
（1）|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0++．
（2）x2﹣6x+5=0（配方法）
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果；
（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：（1）原式=2﹣﹣1+4+=5；
（2）方程整理得：x2﹣6x=﹣5，
配方得：x2﹣6x+9=4，即（x﹣3）2=4，
开方得：x﹣3=2或x﹣3=﹣2，
解得：x1=5，x2=1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．前不久，我校初一、初二两个年级举行作文竞赛，根据初赛成绩，每个年级各选出5名选手分别组成初一代表队和初二代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初一
85
85
85
初二
85
80
100
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好．

【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数．
【分析】（1）根据众数、中位数以及平均数的定义即可解答；
（2）首先比较平均数，然后根据中位数的大小判断．
【解答】解：（1）初一队的成绩的平均数是：（75+80+85+85+100）=85，
初一队成绩的众数是85分；
初二队的成绩从小到大排列是：70，75，80，100，100．则中位数是80分．

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初一
85
85
85
初二
85
80
100
（2）两队的平均成绩相同，而初一队的中位数较大，因而初一队成绩较好．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

19．如图，有5张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A，B，C，D，E和一个等式，背面完全一致．现将5张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C；第二堆：D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片．

（1）请用画树状图或列表法表示出所有可能结果；（卡片可用A，B，C，D，E表示）
（2）将“第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解”记作事件M，求事件M的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】（1）画出树状图展示所有6种等可能的结果数；
（2）根据方程解得定义，找出第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：

共有6种等可能的结果数；
（2）因为第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解的结果数为2，
所以事件M的概率==．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

20．某商店6月份的利润是2000元，要使8月份的利润达到3380元，平均每月利润增长的百分率是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】如果设平均每月增长的百分率是x，那么7月份的利润是2000（1+x）元，8月份的利润是2000（1+x）2元，而此时利润是3380元，根据8月份的利润不变，列出方程．
【解答】解：设平均每月增长的百分率是x，依题意，得
2000（1+x）2=3380，
解得x1=0.3，x2=﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：平均每月增长的百分率应该是30%．
【点评】本题考查的是平均增长率问题．明确增长前的量×（1+平均增长率）增长的次数=增长后的量是解题的关键．

21．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）根据已知和tan∠ADC=，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC﹣BC求出AB；
（2）根据cos∠ADC=，求出AD，根据cos∠BDC=，求出BD．
【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
∵tan∠ADC=，
∴AC=3•tan60°=3，
在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=（3﹣3）米．
（2）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=，
∴AD===6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC=，
∴BD===3米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键．

22．如图，△ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于点D．已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C．
（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=3，求图中阴影部分的面积．

【考点】切线的判定；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）连结OD，如图，由OD=OB得∠ODB=∠B，由AC=CB得∠A=∠B，则∠A=∠ODB，于是可判断OD∥AC，根据平行线的性质得∠ACD=∠ODC，再根据切线的性质得∠ODC=90°，则∠DCA=90°，所以CD⊥AC；
（2）根据相似三角形的性质，由△ACB∽△CDB得到∠BCD=∠A，理由三角形外角性质易得∠ADC=2∠B，则∠ADC=2∠A，再利用三角形内角和定理得∠A+∠ADC=90°，可计算出∠A=30°，则∠CDB=∠B=30°，∠COD=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ACD中可计算出CD=AC=，再在Rt△ODC中计算出OD=CD=1，然后利用三角形的面积减去扇形的面积可得到图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）CD⊥AC．理由如下：
连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=CB，
∴∠A=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ACD=∠ODC，
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠DCA=90°，
∴CD⊥AC；
（2）∵△ACB∽△CDB，
∴∠BCD=∠A，
∴∠ADC=2∠B，
而∠A=∠B，
∴∠ADC=2∠A，
∵∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠CDB=∠B=30°，
∴∠COD=60°，
在Rt△ACD中，CD=AC=，
在Rt△ODC中，OD=CD=1，
∴图中阴影部分的面积=×1×﹣=﹣．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了扇形的面积计算和相似三角形的性质．

23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长
线交AB于H．
（1）求证：△CAG∽△ABC；
（2）求S△AGH：S△ABC的值．

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心．
【分析】（1）证明：CG交AB于D，如图，设GD=a，根据重心的性质得CG=2DG=2a，根据重心的定义得CD为AB边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=3a，则∠1=∠3，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠B=∠3，加上∠ACB=∠AGC=90°，于是根据相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC；
（2）由点G是△ABC的重心，得到CG=2HG，于是得到HG=CH，求得S△AHG=S△ACH，根据CH为AB边上的中线，于是得到S△ACH=S△ABC，推出S△AHG=S△ABC，即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，设GH=a，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG=2a，CH为AB边上的中线，
∴CH=AH=BH=3a，
∴∠1=∠3，
∵AG⊥CG，
∴∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠B=∠3，
而∠ACB=∠AGC=90°，
∴△CAG∽△ABC；

（2）∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG，
∴HG=CH，
∴S△AHG=S△ACH，
∵CH为AB边上的中线，
∴S△ACH=S△ABC，
∴S△AHG=S△ABC，
∴S△AGH：S△ABC=1：6．

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查相似三角形的判定与性质．

24．某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为6元/千克，若以9元/千克的价格销售，则每天可售出200千克；若以11元/千克的价格销售，则每天可售出120千克．通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．
（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；
（2）当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元？（利润=销售量×（销售单价﹣进价））
（3）该水果店在进货成本不超过720元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）以9元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克；以11元/千克的价格销售，那么每天可售出120千克，就相当于直线过点（9，200），（11，120），然后列方程组解答即可；
（2）根据利润=销售量×（销售单价﹣进价）写出方程求出即可；
（3）根据利润=销售量×（销售单价﹣进价）写出解析式，然后利用配方法求最大值，再结合二次函数性质得出答案．
【解答】解：（1）设y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式为：y=kx+b，
根据题意可得：，
解得：．
故y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式为：y=﹣40x+560；

（2）∵W=280元，
∴280=（﹣40x+560）×（x﹣6）
解得：x1=7，x2=13．
答：当销售单价为7元或13元时，每天可获得的利润达到W=280元；

（3）∵利润=销售量×（销售单价﹣进价）
∴W=（﹣40x+560）（x﹣6）
=﹣40x2+800x﹣3360
=﹣40（x﹣10）2+640，
当售价为10元，则y=560﹣400=160，
160×6=960（元）＞720元，
则当（﹣40x+560）×6=720，
解得：x=11．
即当销售单价为11元时，每天可获得的利润最大，最大利润是600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式的运用，在解答时理清题意设出一次函数的解析式建立方程组是关键．

25．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为m．
（1）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=5：13时，求m的值；
（2）若∠ACP′=60°，试用m的代数式表示n；
（3）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）由条件可得△P′PD∽△CAD，利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；
（2）过P′H⊥AC于H，设直线AB的解析式为y=kx+n，把x=﹣8，y=0代入得：﹣8k+n=0，于是得到直线的解析式是：y=x+n，求得PC=P′H=+n，根据三角函数的定义得到=，即可得到结论；
（3）分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分别为直角进行讨论，由等腰三角形可先求得m的值，再根据相似三角形可得到关于n的方程，可求得n的值．
【解答】解：（1）∵PP′∥AC，
∴△P′PD∽△CAD，
∴==，
∴=，
解得：m=；

（2）过P′H⊥AC于H，设直线AB的解析式为y=kx+n，
把x=﹣8，y=0代入得：﹣8k+n=0，
∴k=，
∴直线的解析式是：y=x+n，
把x=m代入得y=+n，
∴PC=P′H=+n，
∵∠ACP′=60°，
∴=，
∴=，
∴n=；

（3）当点P在第一象限且△P′CA为等腰直角三角形时，分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分别为直角进行讨论．
第一种情况：
若∠AP′C=90°，P′A=P′C，
过点P′作P′H⊥x轴于点H．
∴PP′=CH=AH=P′H=AC．
∴2m=（m+8），
∴m=，P′H=，
∵△AOB∽△ACP，
∴，
∴n=4；
第二种情况：
若∠P′AC=90°，P′A=AC，则PP′=AC，
∴2m=m+8，
∴m=8，
∵△P′AC为等腰直角三角形，
∴四边形P′ACP为正方形，
∴PC=AC=16，
∵△AOB∽△ACP，
∴，即=，
∴n=8；
第三种情况：
若∠P′CA=90°，则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
∴所有满足条件的m=，n=4或m=8，n=8．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质、坐标与图形等知识点的综合应用，在（1）中由条件证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例得到关于m的方程是解题的关键；在（3）中分三种情况分别讨论是解题的关键；属于基础知识的综合考查，难度不大，注意对基础知识的熟练应用．

26．（14分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2+mx+n的图象上，当x1=1、x2=3时，y1=y2．
（1）①求m；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值．
（2）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，且b1＞b2，求实数a的取值范围．
（3）若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，求n的范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】（1）①利用抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=2，则根据抛物线对称轴方程得到﹣=2，然后解方程即可得到m的值；
②利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=m2﹣4n=0，然后解方程即可得到n的值；
（2）利用二次函数的性质，由于x1=1、x2=3时，y1=y2，点P到直线x=2的距离比点Q到直线x=2的距离要大，于是可得到a＜1或a＞3；
（3）由于对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则判断二次函数y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，根据顶点坐标公式得到≥1，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）①∵当x1=1、x2=3时，y1=y2，
∴点A与点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
即﹣=2，
∴m=﹣4；
②∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=m2﹣4n=0，
而m=﹣4，
∴n=4；
（2）∵x1=1、