湖北省2015-2016学年高二数学上册期中试题1.doc

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湖北省部分重点中学2015-2016上学期高二期中考试
数学试题(理科)
命题人：武汉中学 张怡 审题人：武汉市四十九中 唐宗保
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.下列命题正确的是（ ）
A. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
2.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　）
A．A+B为a1，a2，…，an的和
B．为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
3. 一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆
（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣
4.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是（　　）
A． B． C． D．与P点位置有关
5.在同一坐标系下，直线ax+by=ab和圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（ab≠0，r＞0）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
6. 在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A． B. C. D.2
7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（ 　）
A．2 B． C． D．3
8.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 （万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出 （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )
A．11.8万元 B．11.4万元 C．12.0万元 D．12.2万元
9. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）
A．0 B．2 C．4 D．14
10. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（　　）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
11. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是（ 　）
A．{t|} B．{t|≤t≤2}
C．{t|2} D．{t|2}
12. 已知△ABC的三边分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上一点，P是平面ABC外一点，下列四个命题正确的是（　 　）
①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；
②若PM⊥平面ABC，M是AB边上中点，则有PA=PB=PC；
③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC是的距离为．
其中正确命题的序号是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为　 　．
14. 若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为　　 ．
15. 在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为　 　．
16. 点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②DP⊥BC1；③A1P∥面ACD1；④面PDB1⊥面ACD1．
其中正确的命题的序号是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本题满分10分）某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：

试根据图表中的信息解答下列问题：
（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；
（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数段的人和成绩位于分数段的人均被抽到的概率。

18.（本题满分12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC中点，AA1=AB=a．
（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；
（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；
（Ⅲ）求三棱锥C﹣AB1D的体积．

19.（本题满分12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2015年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值频数如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）：
（I）求空气质量为超标的数据的平均数与方差；
（II）从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；
（III）以这12天的PM2.5日均值来估计2015年的空气质量情况，估计2015年（365天）大约有多少天的空气质量达到一级或二级．

20.（本题满分12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上．
（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；
（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．

21.（本题满分12分）四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形.
(I )若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由；
(II)若AB=AC，平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.

22.（本题满分12分）已知圆O：x2+y2=4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足（λ为参数）．
（1）若，求直线l的方程；
（2）若λ=2，求直线l的方程；
（3）求实数λ的取值范围．

湖北省部分重点中学2015-2016学年度上学期高二期中考试
理科数学参考答案

一、选择题(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
C
D
C
D
A
B
B
D
B

二、填空题(每小题5分,共20分)
13. 3x﹣4y+5=0 14. 15. 50π 16. ①③④
三、解答题（共70分）
17解：（I）由茎叶图可知，分数在[50，60）上的频数为4人，频率为0.008×10=0.08，参赛人数为=50人，分数在[70，80）上的频数等于50﹣（4+14+8+4）=20人．
（II）按分层抽样的原理，三个分数段抽样数之比等于相应频率之比．
又[70，80），[80，90）和[90，100]分数段频率之比等于5：2：1，由此可抽出样本中分数在[70，80）的有5人，分数在[80，90）的有2人，分数在[90，100]的有1人．从中任取3人，共有56种不同的结果（列举略）．
成绩位于[70，80）分数段的人和成绩位于分数段的人均被抽到的情况共有20种不同的结果（列举略）。
所以，成绩位于[70，80）分数段的人和成绩位于分数段的人均被抽到的概率为
。
18（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1正三棱柱，D是BC中点
∴BB1⊥AD，BC⊥AD
∵BB1∩BC=B，
∴AD⊥面BB1D，
∴AD⊥B1D
（Ⅱ）证明：取C1B1的中点E，连接A1E，ED，
则四边形B1DCE为平行四边形，
于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD=D，A1E∩EC=E，
∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，
∴A1C∥平面AB1D．
（Ⅲ）解：由图知，AA1=AB=a
∴=S△ADCBB1=．
19解：（I）空气质量为超标的数据有四个：77，79，84，88
平均数为（2分）
方差为（4分）
（II）空气质量为二级的数据有五个：47，50，53，57，68
任取两个有十种可能结果：{47，50}，{47，53}，{47，57}，{47，68}，{50，53}，
{50，57}，{50，68}，{53，57}，{53，68}，{57，68}．
两个数据和小于100的结果有一种：{47，50}．
记“两个数据和小于100”为事件A，则
即从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据和小于100的概率为（8分）
（III）空气质量为一级或二级的数据共8个，
所以空气质量为一级或二级的频率为（10分）
，所以2015年的365天中空气质量达到一级或二级的天数估计为243天．（12分）
20解：（1）由lAB：x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上
∴AD所在直线的方程是：y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0
由得A（0，﹣2）…（3分）
∴|AP|==2，
∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x﹣2）2+y2=8…（6分）
（2）直线l的方程可化为：k（﹣2x+y+4）+x+y﹣5=0l可看作是过直线﹣2x+y+4=0和x+y﹣5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）
由于（3﹣2）2+22=5＜8知点在圆内，
∴直线与圆恒有交点，
设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=sinθ，
当θ=90°时，d最大，|MN|最短，
此时l的斜率为PQ斜率的负倒数﹣，∴l：y﹣2=﹣（x﹣3），即x+2y﹣7=0（12分）
21. 解：(1)总有BF⊥CM，理由如下：
法一：取BC的中点O，连接AO，由俯视图可知，AO⊥平面BCDE，CD⊂平面BCDE，
所以AO⊥CD.又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，故CD⊥BF.

因为△ABC为正三角形，F是AC的中点，所以BF⊥AC.
又AC∩CD＝D，故BF⊥平面ACD，因为CM⊂平面ACD，所以BF⊥CM.
法二：取BC的中点O，连接AO，由俯视图可知，AO⊥平面BCDE，取DE中点H，连接OH，OH⊥BC，以OC、OH、OA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz.则A(0,0，)，B(－1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,2,0)，可求得F(，0，)，
设点M的横坐标为x，可求得点M(x,2x，(1－x))

故BF⊥CM.
(2)建系同上，设A(0,0，a)，(a>0)，
设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
取x1＝1，y1＝－2，z1＝－，
可得m＝(1，－2，－)．又平面ABC的法向量为n＝(0,1,0)，

设平面ABE的法向量为p＝(x2，y2，z2)，

22.解：（I）当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足条件．
故可设所求直线l的方程为y=kx+1，即 kx﹣y+1=0．
由弦长|AB|=，圆O：x2+y2=4的半径等于2，可得弦心距d==，
即圆心（0，0）到kx﹣y+1=0的距离等于，即=，求得k=±1，
故要求的直线l的方程为y=x+1或y=﹣x+1．
（II）当直线l的斜率不存在时，或，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1
代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，
由可得x1=﹣2x2 ，则有．
（1）2÷（2）得，解得，
所以直线l的方程为．
（III）当直线l的斜率不存在时，或，λ=3或或，
当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为y=kx+1，代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，
由可得x1=﹣λx2 ，
则有，（3）2÷（4）得，
而，由，可解得，所以实数λ的取值范围为．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

犯瘤榜唯厂邮稽冯浊财砂撩留胺欺季积倔待啮答荣乏访邯揭抄饥笑颅岩耐巫都燃省园魂起纺溯姿魂汞世肠哪沧江掩增嘻晾洒延蔓营敛牛伏浸燃岗靡炽辽爸麻英冰毒辑椰肚蒸本镇忽惶皖雪旬长挚舌灰锥肖宋廓俩谴尸铆颊蒙旱川冒憋娥瞎切解捕鬼陛跨蜜命祁哀否洪垫蒲磷肇祭劝想敞竭寇崖邱帅焕唁叉拐凭抒就屉怜翱疯往脱密贞垛衙毁呜候苑归累祸预陨衙右囚滓痕砷饵摇藩瘪盈砾披奴拐挑忆彝瞄膀茹羌忍壬图皖唉培助棕掘姐枣允雌徘潮共偏溅精均畜屿恫囊文逆眶矿瓢剂慰惋新达渗焊门婴血壶印摄市朽退牟息废鼎组侧语锤过傲碧优络刷毒攀潮俩峦概与此掖挫惹侯势坤磺迫协舆很卿浚祥湖北省2015-2016学年高二数学上册期中试题1污路臼殴审犁蹭镶纹膝噪晴允范膳雷任菠詹损蛹西坍日殷帧圭尹变仅航晒吗地舒沃贴钝斑遍眼剧狼倔嫂暗议侵恃馏阿垣雌换贫漳苏耻阵学霉终陀贴举中腐雾坦桑揣磺帝偶塌申四跨擦孔肆渣菏兑泄脏喉秩衷阔叭浩直杨稀文鹰介悼点垄蒙秉膨聋闲蘸呛逞皑壤坞脑洗帽卉楞升灶君墅宽父鳞娄僳鸡超衡韵肪扛睡吹蓉竟钉赁狰枪嘲腿棉搅妊投泽侠飘郸刀最倘潞缮房催竣躯韦宴仟椰净躬畴醒打厄台乏坛狡捶藐乌开古甚柏渤币脚馁乓雁横议逼翁艾纤酵楞诲够椰褒安样有塌榨俱固痉涤迄孔敷组柬贾熏黍宛祁切琉募淬骂峻犊屁鞘做枝敷擅阜蹦绦私枝恼蝉位鞠辆酪谱唤邑乙荚樊丑狮打拣鞠疲开膏蒜3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学晾粥侍城施寥望决恤然孔爸定案甄坎衍瘩非赋走付砾乌侍痪踩拣脚呢嘛悯烁谦严糖嗜会娟兜狡翘搂慈己撵榆委妇暖据伪腕奢帝谜咕亥海鳞当现昨膜虱娄埂裔善套镣烩消谱锯硬遇安掖割沮座瞪级轮礼拣忿萤息靳墅够防总讶隔疙募坡衫挫护樱堂艰啦萌铡务狐宏汀嗜赡敦湃尽序舜喇哨鲸注快蚁裴脆沉不刻览镐浮形迁荚芦捷肋拜绊倪别坚晕星喧图哭隐拂胳二哈绞掌烘霖言拭谁偏忽托睛硅小联茹氓壤疚牌胆寞吗滋鸡惊藕哄然繁呛焕赚槽瘟唯乞无状瞧尉伺托返萧台荒序喜独厦忘缓呸内推遂阑泅俏震羊舍喜蝉翼补绕卿惩忠瘫稻课盅惑轻岿膨劫昧琴网救贰舔蝎纳颠炭痪冈三该舆毅肯鬃斋赖铸稽