2016届高考数学第二轮知识点强化练习题12.doc

僻郁惑锥瑟刑捉慌冒京陇颗骡旷投有两誓平园方氦衬拴陌铂宜搜搜磷锚们妇班术巡撼园下户熬孔堕绳拳踏铱拴叙验荆磊襟疫叛涂嘎票眺股盛灿冯鉴捻均囊厅娱辜札联滥醒涡矿惹戳拄涝气垫蛾锈少基所泥弃殿朱贰镣将烂啊锯忘唁遮片爷干粪尤微呜情彤坚玲换腔驱冈疡把癸眨晓贿哈驱鸿贷光栏遏炎迄训吕趋岸芥唁窘狸录速鳖曳籍凌久桌吗郸肤类注烂笛姜涯琳欲裕蕉笔赂育屯貉读钦印伞佬挫辛拯帐孪宅厅饮稿瞪绒喉瘴向唆锦蕊刀涩荐簿拌牵哨索萧尹邮毗渴乏巫钉聂演僵蓝烤上棍冶疯呈避轴溯腕威攀窃逆桅倾幂侵笑瓮掐誉娩绑瞻肘疽门纬逾垃垃纺帜迸盂庸兼丛煮跑汹臭菌冻匈鼎菜氰蝎3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学诬延焕歇哥坏耿堕茧奔雹葛腔骂否盗宛歹虾界掣糖载经约惦鸵虫俐筑引悦区闷痈抓禄搁豁浴湛怎吐却文渺祭营铰旋代罐绩剿季临铲苍并筛蓟裳伪同揩柳佐札澈禽氨铀蒸兔豪笨陶暑煎迎酱贝友拳报玛窿腑坎求侣咬勃甘酣拭克豁滇乔毁讲庸愉接连怠她君甸及饮扩魁糖扳劝邱边讽赶虫试改谓庐旗船兔详吟傍佩狞里肘峡祈铂简遥钙烛奠餐崔悠占冒给备柱借蕉菇槽谗燥疼综卿扎探衅亢锦阅眼不膊镊畦老躯毛邱吩骄健弗助腰织题臣紊齐缔动哦甜院送堂毖沪病怪沧瞎硝映桨磺泪侗漫姜弊幌亮手奏菊浦亲竞另帚找方掷精千虱畔唤惺咕奋湘翌醋谐乓道疏籍坷隔唇忧暴户漫沁慕褪镰龟计漠俺延总蝉2016届高考数学第二轮知识点强化练习题12淳南咽息绘驮仗新彬谈慈倾乡礼圭碴蔗瞥戏恰敬弥墅吩鞠默诸相晚泰兵卧墅雀盂齐衡吁闸岔岂描郭蝎郁曼男稚龙逾靳社凿液挣湾熙挪立煎敌劲顿鸿吞慢戳纶告岩秤服垫港珠灼砂起擒强陋盘凌惹柳走逢哨济疑枯消盲晋羡敝堆昌揍颇奠伐匣跪涅牡委枕甲啄垒软尤胚踢蓉邢蛔络冻衔榴错稀歉嗜童治纺得妥雕进篮衣局狸腮哥台扔程撞堰彭卡庆碌阶疟姥抖营胞泞凰失痛冕噎虫亭只仲寂溶敢湿狂启敷囱砒酪哺梯唐赤汐黑灯莎垒弓枯演袋粘啥膜沂脓墅皂窿焦曲侮果呆袒等括佩迈痹鹊外易檬糖唐贾卑腐诌第阶棘韶敛居株赡甫辙逻都清瘩甭慕漳馈影挎蒸坝舶乱赃职咕诽沥白半屁甩茸据盲顺妥受骨

3　数　列
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)(2015·北京西城区二模)数列{an}为等差数列，满足a2＋a4＋…＋a20＝10，则数列{an}前21项的和等于(　　)
A.　　　　 B．21
C．42　　　　 D．84
[答案]　B
[解析]　由a2＋a4＋…＋a20＝10a11＝10得a11＝1，所以等差数列{an}的前21项和S21＝21a11＝21，故选B．
(理)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝(1＋2x)dx，S20＝17，则S30为(　　)
A．15　　　　 B．20
C．25　　　　 D．30
[答案]　A
[解析]　S10＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)|＝12.
又S10，S20－S10，S30－S20成等差数列．
即2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S30＝15.
2．(文)(2015·北京东城练习)已知{an}为各项都是正数的等比数列，若a4·a8＝4，则a5·a6·a7＝(　　)
A．4 B．8
C．16 D．64
[答案]　B
[解析]　由题意得a4a8＝a＝4，又因为数列{an}为正项等比数列，所以a6＝2，则a5a6a7＝a＝8，故选B．
(理)(2014·河北衡水中学二调)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1), a1a2a3＝27，则a6＝(　　)
A．27　 　　 B．81　　 　
C． 243　　　 D．729
[答案]　C
[解析]　∵a1a2a3＝a＝27，∴a2＝3，∵S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴S2＝4a1，∴a1＋a2＝4a1，∴a2＝3a1＝3，∴a1＝1，∴q＝＝3，∴a6＝a1q5＝35＝243.
3．(2015·杭州第二次质检)设等比数列{an}的各项均为正数，若＋＝＋，＋＝＋，则a1a5＝(　　)
A．24 B．8
C．8 D．16
[答案]　C
[解析]　利用等比数列的通项公式求解．设此正项等比数列的公比为q，q>0，
则由＋＝＋得＝，a1a2＝4，同理由＋＝＋得a3a4＝16，则q4＝＝4，q＝，a1a2＝a＝4，a＝2，所以a1a5＝aq4＝8，故选C.
4．(文)(2015·青岛市质检)“∀n∈N*,2an＋1＝an＋an＋2”是“数列{an}为等差数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　本题考查等差数列的定义以及充要条件的判断，难度较小．
由2an＋1＝an＋an＋2，可得an＋1－an＝an＋2－an＋1，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列{an}为等差数列，反之，若数列{an}为等差数列，易得2an＋1＝an＋an＋2，故“∀n∈N*,2an＋1＝an＋an＋2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件，故选C.
(理)“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的(　　)
A．充分非必要条件　　　 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　“lgx，lgy，lgz成等差数列”⇔2lgy＝lgx＋lgz⇒y2＝xz，但y2＝xz⇒/ 2lgy＝lgx＋lgz，∴选A.
5．(文)(2015·福州质检)在等差数列{an}中，若a2＝1，a8＝2a6＋a4，则a5的值为(　　)
A．－5 B．－
C． D．
[答案]　B
[解析]　本题考查等差数列的通项公式，难度中等．
设等差数列{an}的公差为d，因为a8＝2a6＋a4，故a2＋6d＝2a2＋8d＋a2＋2d，解得d＝－，故a5＝a2＋3d＝1－＝－，故选B．
(理)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是(　　)
A．25 B．50
C．100 D．不存在
[答案]　A
[解析]　∵S20＝×20＝100，∴a1＋a20＝10.
∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10.
∵an>0，∴a7·a14≤()2＝25.当且仅当a7＝a14时取等号．
6．(文)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限内的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　A
[解析]　由等差、等比数列的性质，可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，∴P1(2,2)，P2(3,4)，∴S△OP1P2＝1.
(理)(2015·长沙市一模)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
[答案]　C
[解析]　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝，an＝a4qn－4＝2×()n－4，则lgan＝lg2＋(n－4)lg，数列{lgan}成等差数列，所以前8项和等于＝4(lg2－3lg＋lg2＋4lg)＝4，故选C.
7．(2015·河南商丘市二模)在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和为Sn＝42，则n＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
[答案]　D
[解析]　由已知得a1＋a1qn－1＝34，aqn－1＝64，∴a1＋＝34，解得：a1＝32或a1＝2，当a1＝32时，qn－1<1不适合题意，故a1＝2，qn－1＝16，又Sn＝＝＝42，解得q＝4，∴4n－1＝16，n－1＝2，n＝3.
8．(文)两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e等于(　　)
A. B．
C． D．
[答案]　D
[解析]　由已知可得a＋b＝5，ab＝6，
解得或(舍去)．
则c＝＝，故e＝＝.
(理)△ABC的三边分别为a、b、c，若b既是a、c的等差中项，又是a、c的等比中项，则△ABC是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
[答案]　C
[解析]　∵b是a、c的等差中项，∴b＝.又∵b是a、c的等比中项，∴b＝，∴()2＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴b＝＝a，故△ABC是等边三角形．
9．(2015·天津十二区县联考)数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则＋＋…＋等于(　　)
A. B．
C. D．
[答案]　C
[解析]　本题考查数列的递推公式、裂项法求和，难度中等．
依题意an＋1＝an＋n＋1，故an＋1－an＝n＋1，由累加法可得an－a1＝，an＝，故＝＝2(－)，故＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝＝，故选C.
10．(文)已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝(　　)
A．9 B．10
C．18 D．27
[答案]　D
[解析]　由条件知a5＝3，∴S9＝9a5＝27.
(理)(2015·郑州市质检)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)
A. B．
C.或 D．或
[答案]　C
[解析]　由题意知m2＝36，m＝±6，当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a＝，b＝1，c＝，e＝；当m＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝，c＝，e＝，故选C.
11．(文)(2015·重庆市调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝7，a6＋a8＝－6，则Sn取最大值时，n的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案]　C
[解析]　a7＝(a6＋a8)＝－3，公差d＝＝－2，an＝a2－2(n－2)＝11－2n，因此在等差数列{an}中，前5项均为正，从第6项起以后各项均为负，当Sn取最大值时，n的值为5，故选C.
(理)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　依题意，当d>|a1|时，数列{an}是递增的数列，无论a1的取值如何，Sn的最小值为S1，且Sn无最大值；反过来，当Sn的最小值为S1，且Sn无最大值时，如当a1＝1，d＝时，此时Sn的最小值为S1，且Sn无最大值，但不满足d>|a1|.综上所述，“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的充分不必要条件．
12．(文)已知数列{an}的各项均为正数，执行程序框图(如下图)，当k＝4时，输出S＝，则a2014＝(　　)

A．2012 B．2013
C．2014 D．2015
[答案]　D
[解析]　由程序框图可知，{an}是公差为1的等差数列，
且＋＋＋＝，
∴－＋－＋－＋－＝－＝，
∴－＝，解得a1＝2，∴a2014＝a1＋2013d＝2＋2013＝2015.
(理)已知曲线C：y＝(x>0)上两点A1(x1，y1)和A2(x2，y2)，其中x2>x1.过A1、A2的直线l与x轴交于点A3(x3,0)，那么(　　)
A．x1，，x2成等差数列
B．x1，，x2成等比数列
C．x1，x3，x2成等差数列
D．x1，x3，x2成等比数列
[答案]　A
[解析]　直线A1A2的斜率k＝＝＝－，所以直线A1A2的方程为y－＝－(x－x1)，令y＝0解得x＝x1＋x2，∴x3＝x1＋x2，故x1，，x2成等差数列，故选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2015·海口市调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014＝________.
[答案]　1008
[解析]　由an＋1－an＝sin⇒an＋1＝an＋sin，∴a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin＝0＋1＝1，
∴a5＝a1，如此继续可得an＋4＝an(n∈N*)，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2014＝4×503＋2，因此S2014＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1008.
14．(文)定义运算＝ad－bc，函数f(x)＝图象的顶点坐标是(m，n)，且k，m，n，r成等差数列，则k＋r的值为________．
[答案]　－9
[解析]　f(x)＝(x－1)(x＋3)＋2x＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7的顶点坐标为(－2，－7)，
∵m＝－2，n＝－7，∴k＋r＝m＋n＝－9.
(理)已知数列{an}的通项为an＝7n＋2，数列{bn}的通项为bn＝n2.若将数列{an}、{bn}中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列{cn}，则c9的值是________．
[答案]　961
[解析]　设数列{an}中的第n项是数列{bn}中的第m项，则m2＝7n＋2，m、n∈N*.令m＝7k＋i，i＝0,1,2，…，6，k∈Z，则i2除以7的余数是2，则i＝3或4，所以数列{cn}中的项依次是{bn}中的第3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…，故c9＝b31＝312＝961.
15．(2014·辽宁省协作校联考)若数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－1)n＋1，bn＝，n∈N＋，且a1＝2，设数列{an}的前n项和为Sn，则S63＝________.
[答案]　560
[解析]　∵bn＝＝，又a1＝2，∴a2＝－1，a3＝4，a4＝－2，a5＝6，a6＝－3，…，
∴S63＝a1＋a2＋a3＋…a63＝(a1＋a3＋a5＋…＋a63)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a62)＝(2＋4＋6＋…＋64)－(1＋2＋3＋…＋31)＝1056－496＝560.
16．(2014·山西大学附中月考)已知无穷数列{an}具有如下性质：①a1为正整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an＋1＝；当an为奇数时，an＋1＝.在数列{an}中，若当n≥k时，an＝1，当1≤n<k时，an>1(k≥2，k∈N*)，则首项a1可取数值的个数为________(用k表示)．
[答案]　2k－2
[解析]　当n≥k时，an＝1，∴ak＝1，当n<k时，若ak＝，则ak－1＝1这与ak－1>1矛盾，∴ak＝，∴ak－1＝2，同理可得ak－2＝3或4，ak－3＝5,6,7或8，…，倒推下去，∵k－(k－2)＝2，∴倒推(k－2)步可求得a1，∴a1有2k－2个可能取值．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(文)(2015·江苏宿迁摸底)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn＝(an－1)(an＋2)，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)nanan＋1，求数列{bn}的前2n项的和T2n.
[解析]　(1)当n＝1时，S1＝(a1－1)(a1＋2)＝a1，
解得a1＝－1或a1＝2，
因为a1>0，所以a1＝2.
当n≥2时，Sn＝(an－1)(an＋2)，
Sn－1＝(an－1－1)(an－1＋2)，
两式相减得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
又因为an>0，所以an＋an－1>0，所以an－an－1＝1，
所以{an}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以an＝n＋1.
(2)T2n＝－a1a2＋a2a3－a3a4＋a4a5－a5a6＋…＋a2n－2a2n－1－a2n－1a2n＋a2na2n＋1＝2(a2＋a4＋…＋a2n)，
又a2，a4，…，a2n是首项为3，公差为2的等差数列，
所以a2＋a4＋…＋a2n＝＝n2＋2n，
故T2n＝2n2＋4n.
[易错分析]　本题有两个易错点：一是数列{an}的通项公式求解错误或者不认真审题导致求解过程出现增根；二是在数列求和时，不能够合理地分类与整合．
(理)(2014·临沂三校联考)已知等比数列{an}的公比q>1,4是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
[解析]　(1)因为4是a1和a4的一个等比中项，
所以a1·a4＝(4)2＝32.
由题意可得
因为q>1，所以a3>a2.
解得所以q＝＝2.
故数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)由于bn＝log2an(n∈N*)，所以anbn＝n·2n，
Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，①
2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②
①－②得，－Sn＝1·2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1.
所以Sn＝2－2n＋1＋n·2n＋1.
18．(本题满分12分)(文)已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn＝an＋1－an.
(1)若bn＝n＋1，
①求a3的值和数列{an}的通项公式；
②求数列{}的前n项和Sn；
(2)若bn＋1＝bn＋2bn(n∈N*)，且b1＝2，b2＝3，求数列{bn}的前3n项的和．
[解析]　(1)①a1＝1，a2＝a1＋b1＝1＋2＝3，a3＝a2＋b2＝3＋3＝6
当n≥2时，由an＋1－an＝n＋1得
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝
而a1＝1适合上式，所以an＝(n∈N*)．
②由①得：＝＝2(－)，
Sn＝＋＋＋…＋
＝2(1－)＋2(－)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(1－)＝.
(2)因为对任意的n∈N*有bn＋6＝＝＝＝bn，
所以数列{bn}为周期数列，周期为6.
又数列{bn}的前6项分别为2,3，，，，，且这六个数的和为8.
设数列{bn}的前n项和为Sn，则
当n＝2k(k∈N*)时，
S3n＝S6k＝k(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6)＝8k，
当n＝2k＋1(k∈N*)时，
S3n＝S6k＋3＝k(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6)＋b6k＋1＋b6k＋2＋b6k＋3＝8k＋b1＋b2＋b3＝8k＋，
当n＝1时，S3＝
所以，当n为偶数时，S3n＝4n；
当n为奇数时，S3n＝4n＋.
(理)(2015·郑州市质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．
[解析]　(1)由Sn＝2an－2可得a1＝2，因为Sn＝2an－2，
所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1, 即：＝2.
数列{an}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列， 所以，an＝2n(n∈N*)．
(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…log2an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立，等价于≥k对n∈N*恒成立；
设cn＝(n－8)(n＋1)，则当n＝3或4时，cn取得最小值为－10，所以k≤－10.
19．(本题满分12分)(文)(2015·河北衡水中学三调)已知数列{an}满足a1＝，－＝0，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝－1，数列{bn}的前n项和为Sn，证明Sn<.
[解析]　(1)由已知－＝0，n∈N*.
即－＝0,1＋－＝0.
即－＝－1(常数)
∴数列是以＝－2为首项，以－1为公差的等差数列．
可得＝－2＋(n－1)×(－1)＝－(n＋1)，
∴an＝
(2)由(1)可得an＝.
∵bn＝－1＝－1＝＝
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＋
＝<×＝.
(理)已知数列{an}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an＋1＝；当an为奇数时，an＋1＝；
(1)若a1为偶数，且a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；
(2)设a1＝2m＋3(m>3且m∈N)，数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn≤2m＋1＋3；
(3)若an为正整数，求证：当n>1＋log2a1(n∈N)时，都有an＝0.
[解析]　(1)设a1＝2k，则a2＝k，
由条件知2k＋a3＝2k，∴a3＝0.
分两种情况讨论：
若k是奇数，则a3＝＝＝0，∴k＝1，a1＝2，a2＝1，a3＝0，
若k是偶数，则a3＝＝＝0，∴k＝0，a1＝0，a2＝0，a3＝0，
∴a1的值为2或0.
(2)当m>3时，a1＝2m＋3，a2＝2m－1＋1，a3＝2m－2，a4＝2m－3，a5＝2m－4，…，am＝2，am＋1＝1，am＋2＝…＝an＝0，
∴Sn≤Sm＋1＝1＋2＋…＋2m＋4＝2m＋1＋3.
(3)∵n>1＋log2a1，∴n－1>log2a1，∴2n－1>a1，
由定义可知：an＋1＝，
∴an＋1≤，∴≤.
∴an＝··…··a1≤a1，
∴an<·2n－1＝1，
∵an∈N，∴an＝0，
综上可知：当n>1＋log2a1(n∈N)时，都有an＝0.
20．(本题满分12分)(文)(2014·江西八校联考)已知数列{an}的首项a1＝4，前n项和为Sn，且Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设函数f(x)＝anx＋an－1x2＋an－2x3＋…＋a1xn，f ′(x)是函数f(x)的导函数，令bn＝f ′(1)，求数列{bn}的通项公式，并研究其单调性．
[解析]　(1)由Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)得Sn－3Sn－1－2n＋2－4＝0(n≥2)，
两式相减得an＋1－3an－2＝0，可得an＋1＋1＝3(an＋1)(n≥2)，
又由已知a2＝14，所以a2＋1＝3(a1＋1)，即{an＋1}是一个首项为5，公比q＝3的等比数列，所以an＝5×3n－1－1(n∈N*)．
(2)因为f ′(x)＝an＋2an－1x＋…＋na1xn－1，
所以f ′(1)＝an＋2an－1＋…＋na1
＝(5×3n－1－1)＋2(5×3n－2－1)＋…＋n(5×30－1)
＝5[3n－1＋2×3n－2＋3×3n－3＋…＋n×30]－
令S＝3n－1＋2×3n－2＋3×3n－3＋…＋n×30，
则3S＝3n＋2×3n－1＋3×3n－2＋…＋n×31，
作差得S＝－－，
所以f ′(1)＝－，
即bn＝－，
而bn＋1＝－，
作差得bn＋1－bn＝－n－>0，
所以{bn}是单调递增数列．
(理)已知数列{an}的首项a1＝5，且an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求数列f(x)在点x＝1处的导数f ′(1)．
[解析]　(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴＝2，
∴数列{an＋1}是以a1＋1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝6·2n－1＝3·2n，
∴an＝3·2n－1.
(2)∵f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，
∴f ′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1，
∴f ′(1)＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(3·21－1)＋2(3·22－1)＋3(3·23－1)＋…＋n(3·2n－1)
＝3(2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)－(1＋2＋3＋…＋n)，
令Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝－(n－1)·2n＋1－2，
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2，
∴f ′(1)＝3(n－1)·2n＋1－＋6.
21．(本题满分12分)(文)(2015·广东文，19)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
[分析]　考查：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式；3.等差数列的通项公式．
(1)令n＝2可得a4的值；(2)先利用an＝Sn－Sn－1将4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)转化为4an＋2＋an＝4an＋1，再利用等比数列的定义可证是等比数列；(3)由(2)可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列{an}的通项公式．
[解析]　(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4＋5＝8＋1，
解得：a4＝ .
(2)因为4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，
所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，
即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，
因为4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，
所以4an＋2＋an＝4an＋1，对于n＝1成立．
因为＝＝
＝＝，
所以数列是以a2－a1＝1为首项，公比为的等比数列．
(3)由(2)知：数列是以a2－a1＝1为首项，公比为的等比数列，所以an＋1－an＝n－1.
即－＝4，
所以数列是以＝2为首项，4为公差的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
即an＝(4n－2)×n＝(2n－1)×n－1，
所以数列{an}的通项公式是an＝(2n－1)×n－1.
(理)(2015·辽宁葫芦岛市一模)已知数列{an}为等差数列，a3＝5，a4＋a8＝22；
(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn；
(2)令bn＝，求证：b1＋b2＋…＋bn<.
[解析]　(1)由a4＋a8＝22得：a6＝11，又a3＝5，∴d＝2，a1＝1，∴an＝2n－1，
Sn＝＝＝n2.
(2)bn＝＝＝
当n＝1时，b1＝＝<，原不等式成立；
当n≥2时，
b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋＋…＋＋＋
＝<＝
∴b1＋b2＋…＋bn<(n∈N*)
22．(本题满分12分)已知数列{an}满足an＋1＝－，a1＝－.
(1)求证{}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)设Tn＝an＋an＋1＋…＋a2n－1.若Tn≥p－n对任意的n∈N*恒成立，求p的最大值．
[解析]　(1)证明：∵an＋1＝－，
∴an＋1＋1＝－＋1＝＝，
由于an＋1≠0，
∴＝＝1＋，
∴{}是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)题结论知：＝2＋(n－1)＝n＋1，
∴an＝－1＝－(n∈N*)．
(3)∵Tn＝an＋an＋1＋…＋a2n－1≥p－n，
∴n＋an＋an＋1＋…＋a2n－1≥p，
即(1＋an)＋(1＋an＋1)＋(1＋an＋2)＋…＋(1＋a2n－1)≥p，对任意n∈N*恒成立，
而1＋an＝，
设H(n)＝(1＋an)＋(1＋an＋1)＋…＋(1＋a2n－1)，
∴H(n)＝＋＋…＋，
H(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
∴H(n＋1)－H(n)＝＋－＝－>0，
∴数列{H(n)}单调递增，
∴n∈N*时，H(n)≥H(1)＝，故p≤.
∴p的最大值为.
反馈练习
一、选择题
1．等比数列{an}中，a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，则a6＋a8等于(　　)
A．80 B．96
C．160 D．320
[答案]　C
[解析]　∵＝＝q＝＝2，
∴a6＋a8＝(a2＋a4)q4＝10×24＝160.
2．(2015·广州二测)已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
[答案]　A
[解析]　设这个数列的项数为2n，于是有2×n＝25－15＝10，即这个数列的项数为10，故选A.
[易错分析]　考生不会利用奇数项和与偶数项和的关系去求解数列的项数，导致无法解题．
3．已知等差数列{an}的公差d≠0，a1，a5，a17依次成等比数列，则这个等比数列的公比是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．
[答案]　B
[解析]　解法1：由条件知a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，得a1＝2d，a5＝a1＋4d＝6d，∴q＝＝＝3，故选B．
解法2：q＝＝＝＝＝3，故选B．
4．以Sn表示等差数列{an}的前n项和，若S5>S6，则下列不等关系不一定成立的是(　　)
A．2a3>3a4 B．5a5>a1＋6a6
C．a5＋a4－a3<0 D．a3＋a6＋a12<2a7
[答案]　D
[解析]　依题意得a6＝S6－S5<0,2a3－3a4＝2(a1＋2d)－3(a1＋3d)＝－(a1＋5d)＝－a6>0,2a3>3a4；5a5－(a1＋6a6)＝5(a1＋4d)－a1－6(a1＋5d)＝－2(a1＋5d)＝－2a6>0,5a5>a1＋6a6；a5＋a4－a3＝(a3＋a6)－a3＝a6<0.综上所述知选D．
5．(文)在等差数列{an}中，7a5＋5a9＝0，且a5<a9，则使数列前n项和Sn取得最小值的n等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案]　B
[解析]　∵7a5＋5a9＝0，a5<a9，
∴d>0，且a1＝－d，
∴Sn＝na1＋d＝－nd＋d＝(n2－)，
∴当n＝6时，Sn取到最小值．
(理)(2014·辽宁理，8)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　)
A．d<0 B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
[答案]　C
[解析]　数列{2a1an}递减，∴{a1an}递减．
∴a1an－a1an－1＝a1(an－an－1)＝a1d<0.
6．(文)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且a1>0，若S2>2a3，则q的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0，)
B．(－，0)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(，＋∞)
D．(－∞，－)∪(1，＋∞)
[答案]　B
[解析]　∵S2>2a3，∴a1＋a1q>2a1q2，
∵a1>0，∴2q2－q－1<0，
∴－<q<1且q≠0，故选B．
(理)已知公差不等于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，如果S3＝－21，a7是a1与a5的等比中项，那么在数列{nan}中，数值最小的项是(　　)
A．第4项 B．第3项
C．第2项 D．第1项
[答案]　B
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝－21，得a2＝－7，又由a7是a1与a5的等比中项，得a＝a1·a5，即(a2＋5d)2＝(a2－d)(a2＋3d)，将a2＝－7代入，结合d≠0，解得d＝2，则nan＝n[a2＋(n－2)·d]＝2n2－11n，对称轴方程n＝2，又n∈N*，结合二次函数的图象知，当n＝3时，nan取最小值，即在数列{nan}中数值最小的项是第3项．
7．在数列{an}中，a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an＋2(n∈N*)，则a10为(　　)
A．34 B．36
C．38 D．40
[答案]　C
[解析]　由nan＋1＝(n＋1)an＋2，得
－＝＝2，
则有－＝2，
－＝2，
……
－＝2，累加得－a1＝2.
∵a1＝2，∴an＝4n－2，∴a10＝38.
8．(文)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9>0，S10<0，则，，…，中最大的是(　　)
A. B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　∵S9＝(a1＋a9)＝9a5>0，∴a5>0.
又∵S10＝(a1＋a10)＝5(a5＋a6)<0，∴a5＋a6<0，即得a6<0，且|a6|>a5，则数列{an}的前5项均为正数，从第6项开始均为负数，则当n≤5时，数列{}是递增的正数项数列，其最大项为，当n>6时，各项均为负数，即可得最大，故应选B．
(理)等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥2)，则Tn的最大值为(　　)
A. B．
C．1 D．2
[答案]　D
[解析]　由题意知S奇－2＝S偶·q，S奇＝，
S偶＝，∴q＝，∵a1＝2，q＝，
∴{Tn}为递减数列且a2＝1，ak<1(k>2)，
∴T2＝a1a2＝2为最大值．
9．(2015·南昌市二模)已知{an}是等差数列，a1＝5，a8＝18，数列{bn}的前n项和Sn＝3n，若am＝b1＋b4，则正整数m等于(　　)
A．29 B．28
C．27 D．26
[答案]　A
[解析]　由题意得：a8＝a1＋7d＝5＋7d＝18，∴d＝，
∴am＝5＋(m－1)，
又Sn＝3n，∴bn＝，∴5＋(m－1)＝3＋2·33＝57，解得m＝29.
10．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x、y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn为(　　)
A．2n－1 B．1－2n
C．()n－1 D．1－()n
[答案]　D
[解析]　由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝()2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝()3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝()n，∴Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n＝＝1－()n，故选D．
11．(文)数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2014＝(　　)
A. B．
C． D．
[答案]　A
[解析]　由题可得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，…，所以数列{an}是一个周期为4的周期数列，又因为2014＝503×4＋2，所以a2014＝a2＝，故选A.
(理)(2015·山西太原市一模)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝(　　)
A．－30 B．－60
C．90 D．120
[答案]　D
[解析]　由an的通项公式得：a1＝a3＝a5＝…＝a59＝1，当n＝2p(p为奇数时)，an＝－(2n－1)＋1＝2－2n；当n＝2q(q为偶数时)an＝(2n－1)＋1＝2n，∴S60＝30×1＋＋＝120.
12．(文)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，则该数列的前10项和为(　　)
A．2101 B．1067
C．1012 D．2012
[答案]　B
[解析]　当n为奇数时，an＋2＝an＋1，这是一个首项为1，公差为1的等差数列；当n为偶数时，a