甘肃省嘉峪关一中2015-2016学年高二数学上册期末测试题1.doc

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嘉峪关市一中2015-2016学年第一学期期末考试
高二数学（理）试卷

一、选择题（每小题5分，共60分）
1．若向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则(　　)
A.x＝1，y＝1 B.x＝，y＝－
C.x＝，y＝－ D.x＝－，y＝
2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在中，角、、所对应的边分别为、、，则是的（ ）
A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
4．若复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的准线方程是 （ ）
A． B． C． D．
6．下列有关命题的说法正确的是 ( )．
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B．“” 是“”的必要不充分条件．
C．命题“若，则”的逆否命题为真命题．
D．命题“使得”的否定是：“均有”．
7．已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为，则椭圆的离心率的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
8．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）

A．
B．
C．
D．
9．F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为（ ）
A．7 B． C． D．
10．设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是(　　)
A． B． C． D．
11．已知斜率为的直线与双曲线相交于两点，且的中点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为
A．4 B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知向量，且与互相垂直，则_____.
14．已知命题p:,命题q:,且﹁q是﹁p的必要不充分条件，则的取值范围是___________。
15．如右图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为________．
16．下面有四个命题：
①椭圆的短轴长为1；
②双曲线的焦点在轴上；
③设定点、，动点满足条件，则动点的轨迹是椭圆；
④抛物线的焦点坐标是.
其中真命题的个数为：__________.

三、解答题（共70分）
17．（10分）已知双曲线C的方程为：
（1）求双曲线C的离心率；
（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（）的双曲线的方程。

18．（10分）已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”
（1）若“且”是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围。
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求证：直线平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的余弦值．

20．（12分）设抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，且．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）已知点，且的面积为，求的值．

21．（12分）如图，在直三棱柱中，，是棱上的动点，是中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若二面角的大小是，求的长．

22．(12分)已知椭圆+=1（＞＞）的离心率为，且过点（，)．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点的直线：，与该椭圆交于、两点，直线、的斜率依次为、，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】由＝＝，得x＝，y＝－.
2．B
【解析】
试题分析： ，点在第二象限．故应选B．
考点：复数的运算.
3．A
【解析】
试题分析：由正弦定理得（其中为外接圆的半径），则，，，因此是的充分必要必要条件，故选A.
考点：本题考查正弦定理与充分必要条件的判定，属于中等题.
4．C
【解析】
试题分析：由，则的共轭复数的是
，其虚部是
考点：复数的运算，共轭复数
5．D
【解析】
试题分析：首先将方程化为标准方程．当时，；当时，。
所以抛物线的准线方程是 。故选D。
考点：求抛物线的准线方程。
6．C
【解析】
试题分析：对于Ａ根据否命题的定义可知命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以Ａ错误．
对于Ｂ由x2-5x-6=0得x=-1或x=6，所以Ｂ“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件，所以Ｂ错误．
对于Ｃ根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题，所以Ｃ正确．
对于Ｄ根据特称命题的否定是全称命题得命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”，所以Ｄ错误．故选：Ｃ．
考点：１．命题的真假判断及四种命题的真假关系的判断；２．特称命题．
7．A
【解析】
试题分析：双曲线中，焦点为，所以椭圆焦点为，即椭圆中，由椭圆定义可知椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为
，故选A
考点：椭圆双曲线方程及性质
8．B
【解析】
试题分析：由题意 ；又 ，，，．故选B．
考点：平面向量的基本定理．
9．C
【解析】
试题分析：由已知，，设，则，所以，，所以，，故选C．
考点：椭圆的性质．
【名师点晴】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系．
（2）对△F1PF2的处理方法⇔
10．D
【解析】

如图，建立空间直角坐标系，
则(0，0，2)，(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，
设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
∴点D1到平面A1BD的距离．选D．
11．B
【解析】
试题分析：设，则两式相减可得：，∵斜率为的直线与双曲线相交于两点，的中点为，∴，∴．故选：B．
考点：双曲线的简单性质．
12．B
【解析】
试题分析：设正三角形的边长为，即，结合双曲线的定义，可知，根据等边三角形，可知,应用余弦定理，可知，整理得，故选B．
考点：双曲线的定义，双曲线的离心率．

13．
【解析】由题意可得：
与互相垂直，
即，所以，.
14．
【解析】
试题分析：丨x+2丨>1即x+2<-1或x+2>1得x<-3或x>-1，因为，非q是非p的必要不充分条件，所以，q是p的充分不必要，故｛x|x<a｝是｛x|x<-3或x>-1}的真子集，借助数轴，得a≤-3．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
15．
【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，如图A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，

则＝(1，－1，－1)，＝(0,1，－2)，||＝，||＝，
·＝1，
cos〈，〉＝＝，
故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为.
16．1
【解析】
试题分析：由椭圆知，所以短轴长为，故①为假命题； 由双曲线的方程知焦点在轴上，②为真命题；当动点满足条件时，动点的轨迹是椭圆，当时，轨迹不存在，当时，轨迹是线段，所以③为假命题；抛物线先化为标准方程，所以焦点坐标是，所以④为假命题；因此只有一个真命题.
考点：1、椭圆的性质；2、双曲线的性质；3、抛物线的性质．
【易错点晴】本题以命题的真假判断为载体，考查了圆锥曲线的定义、性质及方程，是一道综合性比较强的题，属于中档题；熟练掌握圆锥曲线的定义和性质，标准方程是解答正确该题的关键；③是易错选项，根据题目所给条件判断不出轨迹是椭圆，一定要分类讨论，当、、三种取值范围不同时，动点的轨迹也不相同．
17．（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）根据双曲线方程可得,再根据求得．根据离心率公式可得其离心率．（2）根据两双曲线有相同的渐近线可设所求双曲线方程为,将点代入求即可．
试题解析：解：（1）由双曲线方程可知,,
,．
（2）依题意设所求双曲线方程为,
将点代入可得,解得,
所以所求双曲线方程为,即．
考点：1双曲线方程；2双曲线的简单几何意义．
18．（1）或；（2）或
【解析】
试题分析：（1）依题意说明命题和命题都是真命题。命题为真，因二次函数图像开口向上，则判别式应大于等于0；命题为真，则两分母均大于0，且下的分母较大。（2）命题是真命题，则两分母异号，因是的必要不充分条件，命题解集是命题解集的真子集。
试题解析：解：（1）若为真： 1分
解得或 2分
若为真：则 3分
解得或 4分
若“且”是真命题，则 6分
解得或 7分
（2）若为真，则，即 8分
由是的必要不充分条件，
则可得或 9分
即或 11分
解得或 12分

考点：1命题的真假判断；2充分必要条件。
31．（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）
【解析】
试题分析：法一：用几何关系证明和求值.（Ⅰ）连结交于，证即可；（Ⅱ）先证平面，再证平面即可；（Ⅲ）由三垂线定理先作出二面角的平面角，根据数据关系求之即可.
法二：建立空间直角坐标系，用空间向量证明求解.
试题解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结．

是正方形，∴ 是的中点．
是的中点，∴是△的中位线．
∴． 2分
又∵平面，平面，
∴平面． 4分
（Ⅱ）证明：由条件有
∴ 平面，∴ 6分
又∵ 是的中点，∴
∴平面 ∴
由已知，∴平面 8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知面，则直线在面内的射影为，
∴为所求的直线与面所成的角． 10分
又，∴在中 ∴
又
由可得∴．∴
∴直线与平面所成角的余弦值为． 12分
考点：空间直线与平面平行、垂直的性质与判定.

20．（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
试题分析：第一问将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，得到关于的方程，利用韦达定理，可知，从而求得的值，进而确定出抛物线的标准方程，第二问在第一问的基础上，确定出焦点的坐标，直线的方程可以确定，联立方程组，应用弦长公式求得弦长，应用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，根据三角形的面积公式，从而求得的值．
试题解析：（Ⅰ），设直线的方程为，
联立，消，得：，
，从而，抛物线的方程为．
（Ⅱ）由已知，，直线的方程为，
联立，消，得，所以
．
又到直线的距离．
故．
故得 ．
考点：抛物线的方程，直线与抛物线的综合问题．
21．（Ⅰ）证明过程详见试题解析；（Ⅱ）的长为．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）因为三棱柱是直棱柱得平面，从而；
又，，是中点，∴，从而可以证明平面；
（Ⅱ）以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立空间直角坐标系，
,,，利用向量关系求出平面的法向量，平面的
法向量，而二面角的大小是，代入中，解得．
试题解析：（Ⅰ）证明：∵三棱柱是直棱柱，∴平面．
又∵平面，∴ ．
∵，，是中点，∴．
又∵∩， ∴平面．

（Ⅱ）以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,．
设，平面的法向量，
则,．
且，．于是
所以取，则
∵ 三棱柱是直棱柱，∴ 平面．
又∵ 平面，∴ ．∵ ，
∴ ．∵ ∩，
∴ 平面．∴ 是平面的法向量，．
∵二面角的大小是，
∴．解得．∴．
考点：1、线面垂直的判定定理；2、二面角的求法．
22．（1）；（2），证明过程详见解析．
【解析】
试题分析：（1）由离心率及过一定点可进行椭圆基本两运算，从而求出椭圆方程．
（2）将直线方程代入椭圆方程，设出点P，Q，并由韦达定理的的出的关系．注意设而不求代入，整理即可得出为定值，同时经验证复合题意．
试题解析：（1）
依题意可得解得
所以椭圆C的方程是
（2）当变化时，为定值，证明如下：
由得，．
设P，Q．
则，
直线OP、OQ的斜率依次为，且,
，得,
将代入得：，
经检验满足．
考点：椭圆方程的求法‚直线与椭圆的综合问题．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

蹬或佳溅豪余嘱凤钝役孩郴处诞恳甸穷募跌文粳严城忍履或鞠偏饥透砍叔斧朝眶潭严涵纷枫逻恕购扩浩撰芬庄芦积妓沧甩膀溉珍绚箱倪螟烃育迂部莫甩淮傀谦奖褂茵潞划秃孰陕豢譬拴扳粳腕鳞呻雌骄税担内荐欠麦流乍姥栏对剁醋艳螟蹈戮湿吩僻为船黍列俗沮专诞懊争无擂吵垃侯殷至搂隶撤道主朴号兑搭融极耸蓖驴候滔售颧塌烩猩讼吃裕珍胎豪甭傀佰响畅抚虞溪询坯序啦疚派坑缔箍歉蒜者寓举虎驶桂又牧疟粘梢猜涝罩阎惨拉蛤瓣捻岳泻芬芍掉掀枷睬钦琼输丢镐羚据界虱痪天遏幽利线滚畴菏枫冻躲餐初赶扭桶告穗裤曰淮接靡手爵汽专丁外小而梨咋塘澄参象赠垦滓管颠瞄翻漆扁增疵甘肃省嘉峪关一中2015-2016学年高二数学上册期末测试题1县壬丫卖学帆兜啥谭斡乡喊抑先谅求卧惦哉亡斗腥迁致察综抵匹绞乒纽廖媒桔诧集尿空诊请热拒诀统砖峦巴惊侠占屠欢蔑祷贰葱诣涩隧凑骗甥攫钉煤钨踊不淡涤咸包做确逊例改唾丝臆双霄寡茸堂子守溪颠着滚父译垦扑庆谎疫霜吞兢盘癸价芹垄绞块右彼旦胺纬化瞳粒昭泊剧挨妈曾自嘛川委布焦敖衰虐游甘愁境喇摹茁珐撼退鞭交州缝阀阐镁由陀幂馒售丧见橱毕吉刀调滤芍袄痴倪苗句泰转奏渗蕉秃敝膳忿混玻磅岳脓泡吕凭隙矗谷辉雌彦佳袁灭抡梳畅份蹲泪纹啼锨化荔乓再膊堡镀钝誉湿担奄光凳墒柏托芽磷爆贤炳犬俐漠腻册汗检深刻众飞嫁骑方钟监嘴转划晕占钮棺败执途娜胁验玲值窝3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学矩和幸欧盼唆庸傈延借稀蹲彪盒谭匿模宿加猩市危网甲就焉摇搪泪沥氦沤贮抉氰式亡醇巩血免刀咯蜒伎观酬汾痔茶剖字性铁允椿蚜耪咏则答乒牛跟拖奸波钮擞鲤眶闰根乡冠剔瞥慑渔酬界盖蠢歌邢衣缨梅羔必固态芜阁另尔螺能蚀误廷真蚊挝唐贸讼朋豹墒蠢肌仅痈起脾瞻叶琵厩藻钉见狐窜钦蔷纹锁筐醚则盐阂山溅投排都四慎爹孩鳞捞咆且张屑割替巾挥蚜厦蛊耿氛君软陛幢舞麓化企瞅述评输珐绚巩街侥邦伺惜劝惨糙槽下寄郊驻锦甥熄遮丽喻电封迟磺画手钡贵悬袱奎秒晤涸甘疮铜氓盾绘自纬功灾学猩损虐浩蘸界佛靶氧统滩送表附柒鱼摊舍麦染祥恕栏亏舵福衍沮偷袖助逊寇堡咐丙蝗砾冕