2016届九年级数学下册单节检测试题13.doc

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26.3.3二次函数的 应用

农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题）
1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（　　）
A．1米 B．3米 C．5米 D．6米

2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　）
A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元

3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（　　）
A．第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第11秒

4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）

A．y=（x+3）2 B．y=（x+3）2 C．y=（x﹣3）2 D．y=（x﹣3）2

5．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．2s B．4s C．6s D．8s

6一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（　　）
A．2米 B．5米 C．6米 D．14米

7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s

8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（　　）
A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s
二．填空题（共6小题）

9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　_________　米．

10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是　_________　．

11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为　_________　元．

12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是　_________　．

13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　_________　米．

14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为　_________　件（用含x的代数式表示）．

三．解答题（共8小题）
15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．
（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？

16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．

17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．
（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？

19．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．
（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？
（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？

20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．

22．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

26.3.3二次函数的 应用
参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）
1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（　　）
A． 1米 B．3米 C．5米 D． 6米

考点： 二次函数的应用．
分析： 直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案．
解答： 解：h=﹣5t2+10t+1
=﹣5（t2﹣2t）+1
=﹣5（t﹣1）2+6，
故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键．

2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　）
A． 30万元 B．40万元 C．45万元 D． 46万元

考点： 二次函数的应用．
分析： 首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．
解答： 解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，根据题意得出：
W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，
∴最大利润为：==46（万元），
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键．

3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（　　）
A． 第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D． 第11秒

考点： 二次函数的应用．
分析： 根据题意，x=7时和x=14时y值相等，因此得到关于a，b的关系式，代入到x=﹣中求x的值．
解答： 解：当x=7时，y=49a+7b；
当x=14时，y=196a+14b．
根据题意得49a+7b=196a+14b，
∴b=﹣21a，
根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，
当x=﹣=10.5时，y最大即高度最高．
因为10最接近10.5．
故选：C．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关键．

4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）

A． y=（x+3）2 B．y=（x+3）2 C．y=（x﹣3）2 D． y=（x﹣3）2

考点： 二次函数的应用．
专题： 应用题．
分析： 利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．
解答： 解：∵高CH=1cm，BD=2cm，
而B、D关于y轴对称，
∴D点坐标为（1，1），
∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，
∴AB关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），
∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），
设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，
把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a=，
故右边抛物线的解析式为y=（x﹣3）2．
故选C．
点评： 本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．

5．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A． 2s B．4s C．6s D． 8s

考点： 二次函数的应用．
分析： 礼炮在点火升空到最高点处引爆，故求h的最大值．
解答： 解：由题意知
礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是：
，
∵＜0
∴当t=4s时，h最大为40m，
故选B．
点评： 本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．

6．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（　　）
A． 2米 B．5米 C．6米 D． 14米

考点： 二次函数的应用．
分析： 把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出小球距离地面的最大高度．
解答： 解：h=﹣5t2+20t﹣14
=﹣5（t2﹣4t）﹣14
=﹣5（t2﹣4t+4）+20﹣14
=﹣5（t﹣2）2+6，
﹣5＜0，
则抛物线的开口向下，有最大值，
当t=2时，h有最大值是6米．
故选：C．
点评： 本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，把函数式化成顶点式是解题关键．

7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A． 3s B．4s C．5s D． 6s

考点： 二次函数的应用．
专题： 计算题；应用题．
分析： 到最高点爆炸，那么所需时间为﹣．
解答： 解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t=﹣=﹣=4s．
故选B．
点评： 考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键．

8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（　　）
A． 40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D． 5 m/s

考点： 二次函数的应用．
专题： 应用题．
分析： 本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．
解答： 解：当刹车距离为5m时，即可得y=5，
代入二次函数解析式得：5=x2．
解得x=±10，（x=﹣10舍），
故开始刹车时的速度为10m/s．
故选C．
点评： 本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为5m，即是y=5，难度一般．

二．填空题（共6小题）
9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　　米．

考点： 二次函数的应用．
专题： 函数思想．
分析： 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解答： 解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1=﹣0.5x2+2，
解得：x=，
所以水面宽度增加到米，
故答案为：米．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．

10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是　y=﹣（x+6）2+4　．

考点： 二次函数的应用．
专题： 数形结合．
分析： 根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
解答： 解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，
解得：a=﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．
故答案为：y=﹣（x+6）2+4．

点评： 此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．

11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为　25　元．

考点： 二次函数的应用．
专题： 销售问题．
分析： 本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
解答： 解：设最大利润为w元，
则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
点评： 本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是　（，5）　．

考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： 分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较．
解答： 解：线段AB的解析式是y=x+1（0≤x≤4），
此时w=x（x+1）=+x，
则x=4时，w最大=8；
线段AC的解析式是y=x+1（0≤x≤2），
此时w=x（x+1）=+x，
此时x=2时，w最大=12；
线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），
此时w=x（﹣2x+10）=﹣2x2+10x，
此时x=时，w最大=12.5．
综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．
点评： 此题综合考查了二次函数的一次函数，能够熟练分析二次函数的最值．

13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　2　米．

考点： 二次函数的应用．
分析： 直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离．
解答： 解：∵函数解析式为：，
∴y最值===2．
故答案为：2．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键．

14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为　（60+x）　件（用含x的代数式表示）．

考点： 二次函数的应用．
分析： 由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，设销售量为a，代入函数的解析式，即可得到a和x的关系．
解答： 解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，
∴，
解得：，
∴w=﹣x2+3600，
设销售量为a，则a（60﹣x）=w，
即a（60﹣x）=﹣x2+3600，
解得：a=（60+x ），
故答案为：（60+x）．
点评： 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，用的知识点为：因式分解，题目设计比较新颖，同时也考查了学生的逆向思维思考问题．

三．解答题（共8小题）
15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．
（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？

考点： 二次函数的应用．
分析： （1）由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论；
（2）由每件的利润×数量=总利润建立方程求出其解即可．
解答： 解：（1）由题意，得
32﹣×4=80﹣2x．
答：每天的现售价为x元时则每天销售量为（80﹣2x）件；

（2）由题意，得
（x﹣20）（80﹣2x）=150，
解得：x1=25，x2=35．
∵x≤28，
∴x=25．
答：想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为25元．
点评： 本题考查了销售问题的数量关系每件的利润×数量=总利润的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键．

16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．

考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： （1）根据销售量=240﹣（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关系即可；
（2）根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价；
（3）设一个月内获得的利润为w元，根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．
解答： 解：（1），
∴y=﹣4x+480（x≥60）；

（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，
解得，x1=70，x2=50（不合题意舍去），
∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．

（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得
w=（x﹣40）（﹣4x+480），
=﹣4x2+640x﹣19200，
=﹣4（x﹣80）2+6400，
当x=80时，w的最大值为6400
∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．
点评： 本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，并涉及到了根据二次函数的最值公式，熟练记忆公式是解题关键．

17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

考点： 二次函数的应用．
专题： 销售问题．
分析： （1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；
（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．
解答： 解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）；

（2）W=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x=18时，W最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．

（3）由150=﹣2x2+80x﹣600，
解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
点评： 本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．

18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．
（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？

考点： 二次函数的应用．
专题： 应用题；数形结合．
分析： （1）首先求出yB函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出yA函数关系式；
（2）首先将y=120代入求出x的值，进而代入yB求出答案；
（3）得出yA﹣yB的函数关系式，进而求出最值即可．
解答： 解：（1）由题意可得出：yB=（x﹣60）2+m经过（0，1000），
则1000=（0﹣60）2+m，
解得：m=100，
∴yB=（x﹣60）2+100，
当x=40时，yB=×（40﹣60）2+100，
解得：yB=200，
yA=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，
解得：，
∴yA=﹣20x+1000；

（2）当A组材料的温度降至120℃时，
120=﹣20x+1000，
解得：x=44，
当x=44，yB=（44﹣60）2+100=164（℃），
∴B组材料的温度是164℃；

（3）当0＜x＜40时，yA﹣yB=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x﹣20）2+100，
∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．

19．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．
（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？
（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？

考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： （1）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得方程求解即可；
（2）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得函数关系式，进而求出最值．
解答： 解：（1）设每箱应涨价x元，
则每天可售出（50﹣2x）箱，每箱盈利（10+x）元，
依题意得方程：（50﹣2x）（10+x）=600，
整理，得x2﹣15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10，
∵要使顾客得到实惠，∴应取x=5，
答：每箱产品应涨价5元．

（2）设利润为y元，则y=（50﹣2x）（10+x），
整理得：y=﹣2x2+30x+500，
配方得：y=﹣2（x﹣7.5）2+612.5，
当x=7.5元，y可以取得最大值，
∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用，解答此题的关键是熟知等量关系是：盈利额=每箱盈利×日销售量．

20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

考点： 二次函数的应用．
专题： 销售问题．
分析： （1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．
解答： 解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；

（2）y=﹣5x2+800x﹣27500
=﹣5（x﹣80）2+4500
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；

（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，
解得x≥82．
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
点评： 本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．

考点： 二次函数的应用；一次函数的应用．
专题： 应用题；数形结合．
分析： （1）利用待定系数法将图中点的坐标求出一次函数解析式即可；
（2）根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式；
（3）令函数关系式Q≥600，解得x的范围，利用“获利不得高于40%”求得x的最大值，得出销售单价x的范围．
解答： 解：（1）设y=kx+b，根据题意得：

解得：k=﹣1，b=120．
所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．
（2）利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：Q=（x﹣50）（﹣x+120）=﹣x2+170x﹣6000；
Q=﹣x2+170x﹣6000=﹣（x﹣85）2+1225；
∵成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．
∴50≤x≤70，
∴当试销单价定为70元时，该商店可获最大利润，最大利润是1000元．
（3）依题意得：﹣x2+170x﹣6000≥600，
解得：60≤x≤110，
∵获利不得高于40%，
∴最高价格为50（1+40%）=70，
故60≤x≤70的整数．
点评： 本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，运用二次函数解决实际问题，比较简单．

22．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

考点： 二次函数的应用．
专题： 销售问题．
分析： （1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案；
（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．
解答： 解；（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴，
解得，
y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）
当x=10时，y最大=25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；

（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，
可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），
又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
点评： 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析