高三数学课时限时训练题14.doc

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(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　)
A．3　　　　　　　　　　B．－3
C．5 D．－5
解析：∵y′＝3x2＋a，∴k＝y′|x＝1＝3＋a.
又点(1,3)为切点，
∴解得b＝3.
答案：A
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案：A
3．y＝x2cosx的导数是(　　)
A．y′＝2xcosx＋x2sinx B．y′＝2xcosx－x2sinx
C．y＝2xcosx D．y′＝－x2sinx
解析：y′＝2xcosx－x2sinx.
答案：B
4．设函数y＝xsinx＋cosx的图象上的点(x，y)处的切线斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为(　　)

解析：k＝g(x)＝y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，故函数k＝g(x)为奇函数，排除A、C；又当x∈(0，)时，g(x)>0.
答案：B
5．若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　)
A．0 B．锐角
C．直角 D．钝角
解析：由已知得：
f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．
∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．
∵>1>.
而由正余弦函数性质可得cos1<sin1.
∴f′(1)<0.
即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.
∴切线倾斜角是钝角．
答案：D
6．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足(　　)
A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数
解析：由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，
即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
答案：C
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．如图，函数F(x)＝f(x)＋x2的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.
解析：F′(x)＝f′(x)＋x，
由题意可知F′(5)＝f′(5)＋2＝－1，
∴f′(5)＝－3.
又点(5,3)在F(x)上，∴f(5)＋5＝3，
∴f(5)＝－2，∴f(5)＋f′(5)＝－5.
答案：－5
8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
解析：∵y＝x3－10x＋3，∴y′＝3x2－10.
由题意，设切点P的横坐标为x0，且x0<0，
即3x－10＝2，∴x＝4，∴x0＝－2，
∴y0＝x－10x0＋3＝15.
故点P的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
9．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1()＋f2()＋…＋f2 012()＝________.
解析：f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，
f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，
f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1()＋f2()＋…＋f2012()＝f1()＋f2()＋f3()＋f4()＝0.
答案：0
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sinx；(2)y＝；
解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(2)法一：y′＝
＝＝.
法二：∵y＝＝1＋，
∴y′＝1′＋′，即y′＝.
11．已知曲线y＝x2－1与y＝1＋x3在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．
解：对于y＝x2－1，有y′＝x，k1＝y′|x＝x0＝x0；
对于y＝1＋x3，有y′＝3x2，k2＝y′|x＝x0＝3x.
又k1k2＝－1，则x＝－1，x0＝－1.
12．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1①
y1＝－x＋x1－4②
①代入②得x＋(k－)x1＋4＝0.
∵P为切点，
∴Δ＝(k－)2－16＝0得k＝或k＝.
当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝时，x1＝2，y1＝1.
∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5③
将③代入抛物线方程得x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，
即2x2＝9，∴x2＝，y2＝－4.
∴Q点的坐标为(，－4)．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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