吉林省长春市2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年吉林省长春市德惠实验中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．函数y=cosx最小正周期是( )
A．1 B． C．π D．2π
2．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=( )
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
3．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanα=( )
A． B． C． D．
4．用二分法求函数f（x）=2x﹣3的零点时，初始区间可选为( )
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（2，3） D．（1，2）
5．函数的图象是( )
A． B． C． D．
6．若a=log3π，b=log76，c=log20.8，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
7．若sin2α+sinα=1，则cos4α+cos2α的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为( )
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是减函数的是( )
A．y=cosx B．y=x2+1 C．|x| D．
10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
11．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）
12．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是( )
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．log89•log32=__________．
14．=__________．
15．函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（2）=0，则x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为__________．
16．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+2）+1的反函数恒过定点A，g（x）=ax+2+2的反函数恒过定点B，A、B两点在一个一次函数图象上，则这个一次函数的解析式为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．全集U=R，集合A={x|y=log2（1﹣x）}，B={y|y=（）|x|}，求：
（1）A∩B
（2）（∁UA）∪B．
18．（1）角α终边经过点P0（﹣3，﹣4），求sinα，cosα，tanα的值．
（2）已知角终边上一点，且sinα=m，求cosα的值．
19．函数f（x）=log2|sinx|．
（1）求函数定义域；
（2）求函数值域；
（3）写出f（x）单调增区间（不用说理由）．
20．（1）当x∈[3，7）时，求y=log（x+1）+1值域
（2）当x∈（0，2）时，求y=4x﹣2x+2值域．
21．已知f（x）=．
（1）求函数定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下利用定义证明：f（x）在（0，+∞）为减函数．
22．已知f（x）=2log2（2x+t）
（1）t=1时，解不等式f（x）≤2log2（x+1）
（2）t=4时，令g（x）=f（x）﹣2log2（x+1），求g（x）在x∈[0，1]上最大值与最小值．
（3）当x∈[0，1]时，f（x）≥log2（x+1）恒成立，求t取值范围？

2015-2016学年吉林省长春市德惠实验中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．函数y=cosx最小正周期是( )
A．1 B． C．π D．2π
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=，得出结论．
【解答】解：函数y=cosx最小正周期是2π，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=，属于基础题．
2．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=( )
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴∁U（A∪B）={4}．
故选D
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
3．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanα=( )
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．
【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=，
∴cosα=﹣=﹣，
则tanα==﹣．
故选A
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
4．用二分法求函数f（x）=2x﹣3的零点时，初始区间可选为( )
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（2，3） D．（1，2）
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】函数f（x）=2x﹣3在区间（1，2）上连续且单调递增，f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，即可得出结论．
【解答】解：函数f（x）=2x﹣3在区间（1，2）上连续且单调递增，f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，
f（1）f（2）＜0，故用二分法求函数f（x）=2x﹣3的零点时，初始的区间大致可选在（1，2）上．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的零点的定义，注意函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数f（x）的零点，属于基础题．
5．函数的图象是( )
A． B． C． D．
【考点】幂函数的图像．
【专题】数形结合．
【分析】本题要用函数的性质与图象性质的对应来确定正确的选项，故解题时要先考查函数性质，单调性奇偶性等，再观察四个选项特征，选出正确答案．
【解答】解：研究函数知，其是一个偶函数，且在（0，+∞）上增，在（﹣∞，0）上减，由此可以排除C，D，
又函数的指数＞1，故在（0，+∞）其递增的趋势越来越快，由此排除B，故A正确．
故选A．
【点评】本题考考点是幂函数的图象，考查幂函数的性质与其图象之间的对应关系，幂函数形式简单，直接考查其性质的题型较少，本题是一道不可多得的全面考查幂函数性质的题型．
6．若a=log3π，b=log76，c=log20.8，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据π＞3，6＜7，2＞1，0.8＜1，可知log3π＞1，0＜log76＜1，log20.8＜0，进而比较出大小．
【解答】解：∵log3π＞1，0＜log76＜1，log20.8＜0
∴a＞b＞c
故选A．
【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象．是高考的热点．
7．若sin2α+sinα=1，则cos4α+cos2α的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】由条件可得 sinα=1﹣sin2α=cos2α，故cos4α+cos2α=sin2α+sinα，再利用条件求得结果．
【解答】解：∵sin2α+sinα=1，
∴sinα=1﹣sin2α=cos2α，
∴cos4α+cos2α=sin2α+sinα=1，
故选B．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
8．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为( )
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
【考点】复合函数的单调性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．
【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2，
故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，
所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．
故选：D．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是减函数的是( )
A．y=cosx B．y=x2+1 C．|x| D．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性定义对各选项做出判断．
【解答】解：根据奇偶性和单调性的定义对各选项判断如下：
A：y=cosx为偶函数，但是在（0，+∞）不是单调函数；
B：y=x2+1为偶函数，但是在（0，+∞）为增函数；
C：y=|x|=﹣log2|x|为偶函数，且在（0，+∞）是减函数，符合题意；
D：y=既不是奇函数又不是偶函数，不合题意；
故选C．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，涉及三角函数，二次函数，指数函数和对数函数，属于基础题．
10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，
∴设g（x）=f（x+2），
则g（﹣x）=g（x），
即f（﹣x+2）=f（x+2），
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），
即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），
则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，
∴f（8）+f（9）=0+1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．
11．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2
要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜logax，
∴
即对0＜x≤时恒成立
∴
解得＜a＜1
故选 B

【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题
12．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是( )
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．
【专题】作图题；压轴题；数形结合．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选C．

【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．log89•log32=．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用对数换底公式和运算法则求解．
【解答】解：log89•log32
=
=
=．
故答案为：．
【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数换底公式和运算法则的合理运用．
14．=．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】解：=cos•（﹣cos）（﹣cos）==．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
15．函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（2）=0，则x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；数形结合；综合法；函数的性质及应用．
【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．
【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，
由f（2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，
即f（﹣2）=0，
由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0⇔xf（x）＜0
⇔或，
解得0＜x＜2或﹣2＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣2，0）∪（0，2），
故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）

【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．
16．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+2）+1的反函数恒过定点A，g（x）=ax+2+2的反函数恒过定点B，A、B两点在一个一次函数图象上，则这个一次函数的解析式为y=﹣x﹣．
【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．
【分析】根据原函数与其反函数的图象关于直线y=x对称，若原函数图象若过定点P，则其反函数的图象必过P'，其中P，P'关于直线y=x轴对称．
【解答】解：因为，函数f（x）=loga（x+2）+1的图象恒过定点（﹣1，1），
所以，其反函数f﹣1（x）的图象恒过定点A（1，﹣1），
又因为，函数g（x）=ax+2+2的图象恒过定点（﹣2，3），
所以，其反函数g﹣1（x）的图象恒过定点B（3，﹣2），
设过AB两点的一次函数为y=kx+b，
则，解得k=﹣，b=﹣，
故一次函数的解析式为：y=﹣x﹣．
【点评】本题主要考查了互反两函数图象间的对称关系，以及一次函数解析式的求解，属于简单题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．全集U=R，集合A={x|y=log2（1﹣x）}，B={y|y=（）|x|}，求：
（1）A∩B
（2）（∁UA）∪B．
【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】分别化简集合A，B，根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：A={x|y=log2（1﹣x）}=（﹣∞，1），B={y|y=（）|x|}=[1，+∞），
（1）A∩B=∅，
（2）（∁UA）=[1，+∞），
∴（∁UA）∪B=[1，+∞）．
【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．

18．（1）角α终边经过点P0（﹣3，﹣4），求sinα，cosα，tanα的值．
（2）已知角终边上一点，且sinα=m，求cosα的值．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得要求式子的值．
（2）由条件利用任意角的三角函数的定义，并结合sinα=m=，求得m2的值，可得cosα的值．
【解答】解：（1）∵角α终边经过点P0（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣4，r=|OP0|=5，
∴sinα==﹣，cosα==﹣，tanα==．
（2）已知角终边上一点，且sinα=m=，∴m2=5，
∴cosα==﹣=﹣．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
19．函数f（x）=log2|sinx|．
（1）求函数定义域；
（2）求函数值域；
（3）写出f（x）单调增区间（不用说理由）．
【考点】复合函数的单调性；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）对于函数f（x）=log2|sinx|，由sinx≠0，求得x的范围，可得函数的定义域．
（2）根据|sinx|∈（ 0，1]，求得log2|sinx|的值域，可得f（x）的值域．
（3）根据函数y=|sinx|＞0时的增区间，求得函数f（x）=log2|sinx|的增区间．
【解答】解：（1）对于函数f（x）=log2|sinx|，由sinx≠0，可得x≠kπ，
故函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
（2）由于|sinx|∈（ 0，1]，故log2|sinx|∈（﹣∞，0]，
即f（x）的值域为（﹣∞，0]．
（3）由于函数y=|sinx|＞0时的增区间为（kπ，kπ+]，k∈Z，
故函数f（x）=log2|sinx|的增区间为（kπ，kπ+]，k∈Z．
【点评】本题主要考查复合函数的定义域、值域、单调性，对数函数、正弦函数的定义域、值域、单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．

20．（1）当x∈[3，7）时，求y=log（x+1）+1值域
（2）当x∈（0，2）时，求y=4x﹣2x+2值域．
【考点】函数的值域．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由x的范围可以得出x+1的范围，根据对数函数的单调性便可得出的范围，进一步便可得出y的范围，即得出该函数的值域；
（2）配方得到y=（2x﹣2）2﹣4，由x的范围可以求出2x的范围，而根据2x的范围即可得出y的范围，即得出该函数的值域．
【解答】解：（1）∵x∈[3，7]；
∴x+1∈[4，8]；
∴；
即；
∴﹣2≤y≤﹣1；
∴该函数的值域为[﹣2，﹣1]；
（2）y=（2x）2﹣4•2x=（2x﹣2）2﹣4；
∵x∈（0，2）；
∴2x∈（1，4）；
∴（2﹣2）2﹣4≤y＜0；
即﹣4≤y＜0；
∴该函数的值域为[﹣4，0）．
【点评】考查函数值域的概念及求法，根据不等式的性质求函数值域的方法，对数函数和指数函数的单调性，配方求二次式子的范围的方法．
21．已知f（x）=．
（1）求函数定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下利用定义证明：f（x）在（0，+∞）为减函数．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据分母不等0，求出x的范围，可得函数的定义域；
（2）根据f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，代入特殊值，可得实数a的值；
（3）设x1，x2∈（﹣∞，0）且x1＜x2，结合对数函数的图象和性质，判断f（x1），f（x2）的大小，结合函数单调性的定义，可得答案．
【解答】解：（1）由2x﹣1≠0得：x≠0，
故函数f（x）=的定义域为{x|x≠0}；
（2）若f（x）为奇函数，
则f（﹣1）=﹣f（1），
即=﹣，
解得：a=1，
经检验当a=1时，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，满足f（x）为奇函数；
（3）设x1，x2∈（﹣∞，0）且x1＜x2，
则＜0，，
∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，
∴f（x1）＞f（x2）．
根据函数单调性的定义知函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用．
22．已知f（x）=2log2（2x+t）
（1）t=1时，解不等式f（x）≤2log2（x+1）
（2）t=4时，令g（x）=f（x）﹣2log2（x+1），求g（x）在x∈[0，1]上最大值与最小值．
（3）当x∈[0，1]时，f（x）≥log2（x+1）恒成立，求t取值范围？
【考点】对数函数的图像与性质；指、对数不等式的解法．
【专题】综合题；配方法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）运用对数函数的单调性解不等式；
（2）运用函数的单调性求值域；
（3）运用配方法求最值．
【解答】解：（1）因为t=1，所以不等式f（x）≤2log2（x+1）可化为，
log2（2x+1）≤log2（x+1），等价为：，解得x∈（﹣，0]，
即原不等式的解集为（﹣，0]；
（2）当t=4时，f（x）=2log2（2x+4），
g（x）=f（x）﹣log2（x+1）=2log2（2x+4）﹣2log2（x+1）
=2log2=2[1+log2（1+）]，
所以，函数g（x）为[0，1]上的减函数，
因此，g（x）max=g（0）=4，g（x）min=g（1）=2log23，
故g（x）的最小值为2log23，最大值为4；
（3）当x∈ [0，1]时，f（x）≥log2（x+1）恒成立，
即2x+t≥，分离变量t得，t≥﹣2x，
所以，t≥[﹣2x]max，
而﹣2x+=﹣2（x+1）++2=﹣2（﹣）2+，
其中x∈[0，1]，所以∈[1，]，
所以，当=1时，[﹣2x]max=1，
因此，实数t的取值范围为[1，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数最值的求法，不等式恒成立问题的解法，同时考查对数函数的单调性的运用，以及运算求解能力，属于中档题．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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