黑龙江省大兴安岭2015-2016学年高二数学上册期末测试题2.doc

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2015-2016学年黑龙江省大兴安岭实验中学高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（　　）
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=

2．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（　　）
A． B． C． D．

3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

4．设函数g（x）=x（x2﹣1），则g（x）在区间[0，1]上的最小值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．

5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（　　）
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；
③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
A．① B．①③ C．③ D．②

6．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2）若|AB|=7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为（　　）
A． B． C．2 D．

7．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（　　）
A．e B．﹣e C． D．﹣

8．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．

9．如果函数在区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤5 B．5≤a≤7 C．a≥7 D．a≤5或a≥7

10．椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C．﹣1 D．﹣1

11．函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈[﹣2，5]上有3个零点，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣24，8） B．（﹣24，1] C．[1，8] D．[1，8）

12．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+xf′（x）＜0且f（﹣4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣4，0）∪（4，+∞） B．（﹣4，0）∪（0，4） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上）
13．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是　　　　　　．

14．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为　　　　　　．

15．方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是　　　　　　．

16．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为　　　　　　．

三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，如表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
（1）计算小李这5天的平均投篮命中率．
（2）用线性回归分析的方法，画出散点图，求出回归直线方程并预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．

18．某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：

积极参加班级工作
不太积极参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？说明理由．

19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）在（I）的条件下，求函数f（x）在[﹣4，1]上的最大值和最小值．

20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2．

21．（2009•辽宁）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

22．已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围．

2015-2016学年黑龙江省大兴安岭实验中学高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（　　）
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=
【考点】四种命题．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．
【解答】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是
“若tan α≠1，则α≠”．
故选：C．
【点评】本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命题之间的关系进行解答，是基础题．

2．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），可得a=2，进而可求双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），
∴a2+5=9
∴a2=4
∴a=2
∵c=3
∴
故选C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，正确运用几何量之间的关系是关键．

3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
【考点】回归分析的初步应用．
【专题】阅读型．
【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．
【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；
对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；
对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
对于D，x=170cm时， =0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确
故选D．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．

4．设函数g（x）=x（x2﹣1），则g（x）在区间[0，1]上的最小值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】求函数的导数，利用函数的最值和单调性的关系进行求解即可．
【解答】解：∵g（x）=x（x2﹣1）=x3﹣x，
∴函数的导数g′（x）=3x2﹣1，
由g′（x）＞0得x＞或x＜﹣，此时函数单调递增，
由g′（x）＜0得﹣＜x＜，此时函数单调递减，
则当x=时，函数取得极小值同时也是最小值此时最小值为g（＜）= [（）2﹣1]=×（﹣）=﹣，
故选：C
【点评】本题主要考查函数的最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．

5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（　　）
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；
③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
A．① B．①③ C．③ D．②
【考点】独立性检验的基本思想．
【专题】阅读型．
【分析】观测值同临界值进行比较得到一个概率，这个概率是推断出错误的概率，若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误，从而得出答案．
【解答】解：要正确认识观测值的意义，
观测值同临界值进行比较得到一个概率，这个概率是推断出错误的概率，
若k2的观测值为k=6.635，
我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，
但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故①不正确．
也不表示某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病，故②不正确．
若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，
是指有5%的可能性使得推判出现错误，③正确．
故选C．
【点评】本题的考点是独立性检验的应用，根据独立性检测考查两个变量是否有关系的方法进行判断，准确的理解判断方法及K2的含义是解决本题的关键．

6．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2）若|AB|=7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为（　　）
A． B． C．2 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】抛物线的焦点F（1，0），准线方程为 x=﹣1，由抛物线的定义可得|AB|=7=（x1+1）+（x2+1），求得 x1+x2 的值，由此求得点M到抛物线准线的距离+1的值．
【解答】解：由抛物线的方程y2=4x可得p=2，故它的焦点F（1，0），准线方程为 x=﹣1．
由抛物线的定义可得|AB|=7=|AF|+|BF|=（x1+1）+（x2+1），∴x1+x2=5．
由于AB的中点M（，）到准线的距离为+1=，
故选A．
【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．

7．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（　　）
A．e B．﹣e C． D．﹣
【考点】导数的几何意义．
【专题】计算题．
【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=lnx，∴y'=，
设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，
所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．
它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，
∴k=．
故选C．
【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

8．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：设P（x0，y0）
依题意可知抛物线准线x=﹣1，
∴x0=5﹣1=4
∴|y0|==4，
∴△MPF的面积为×5×4=10
故选：B
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．

9．如果函数在区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤5 B．5≤a≤7 C．a≥7 D．a≤5或a≥7
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【专题】计算题．
【分析】由已知中函数，我们可以求出函数的导函数的解析式，令导函数等于0，则我们可以求出函数的极值点为1和a﹣1，由函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，我们可得函数的极值点a﹣1介于4到6之间，构造关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数
∴f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]
又∵函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，
∴4≤a﹣1≤6
∴5≤a≤7
故选B．
【点评】本题考查的知识点是函数单调性与导数的关系，其中根据已知中函数f（x）的解析式，求出函数的导函数f′（x）的解析式，是解答本题的关键．

10．椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C．﹣1 D．﹣1
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可得：椭圆+=1与直线y=2x交于（c，2c）点，代入可得离心率的值．
【解答】解：由已知可得：椭圆+=1与直线y=2x交于（c，2c）点，
即+=1，
即+=1，
即a4﹣6a2c2+c4=0，
即1﹣6e2+e4=0，
解得：e2=3﹣2，或e2=3+2（舍去），
∴e=﹣1，或e=1﹣（舍去），
故选：D
【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，根据已知构造关于a，c的方程，是解答的关键．

11．函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈[﹣2，5]上有3个零点，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣24，8） B．（﹣24，1] C．[1，8] D．[1，8）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】函数g（x）=f（x）﹣m在x∈[﹣2，5]上有3个零点，可转化为函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，与y=m两个函数的图象有三个交点，故求出函数的单调性与极值，对研究出函数的图象的特征，由图象求出m的取值范围即可
【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m在x∈[﹣2，5]上有3个零点，即函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，与y=m两个函数的图象有三个交点，下研究函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3的性质
由题意f'（x）=3x2﹣6x﹣9
令f'（x）=3x2﹣6x﹣9＞0解得x＞3或x＜﹣1
又x∈[﹣2，5]
故f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3在（﹣2，﹣1）与（3，5）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数，
x=﹣2，﹣1，3，5时，函数值对应为1，8，﹣24，8
其图象如图，可得1≤m＜8
故选D

【点评】本题考查根的存在性及根的个数的判断，正确解答本题，关键是将函数有零点的问题转化为两个函数有交点的问题，此转化的好处是转化后的两个函数的中有一个函数是确定的，实现了由不定到定的转化变，方便了研究问题，即求参数的范围．熟练利用导数研究函数的单调性也是解本题的关键，

12．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+xf′（x）＜0且f（﹣4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣4，0）∪（4，+∞） B．（﹣4，0）∪（0，4） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）
【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合；导数的乘法与除法法则．
【专题】计算题．
【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（﹣4）=0得g（4）=0、还有g（﹣4）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．
【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∵f（﹣4）=0，
∴f（4）=0；
即g（4）=0，g（﹣4）=0
∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，
设x＞0，故不等式为g（x）＞g（4），即0＜x＜4
设x＜0，故不等式为g（x）＞g（﹣4），即x＜﹣4
故所求的解集为（﹣∞，﹣4）∪（0，4）
故选D．
【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上）
13．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是　∃x＞0，x2+x≤0　．
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】首先，将全称量词∀改为存在量词∃，然后，将x2+x＞0改成x2+x≤0即可．
【解答】解：由已知为全称命题，
它的否定为特称命题，即：
∃x＞0，x2+x≤0，
故答案为：∃x＞0，x2+x≤0
【点评】本题重点考查了全称量词和存在量词，全称命题的否定等知识，属于中档题，属于高考热点问题，这类题型是常考题型，求解此类问题关键是，量词否一否，结论否一否．

14．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为　2x﹣y+1=0　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．
【解答】解：y′=3x2﹣1，
令x=1，得切线斜率2，
所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），
即2x﹣y+1=0．
故答案为：2x﹣y+1=0．
【点评】本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．

15．方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是　0＜k＜1　．
【考点】椭圆的定义．
【专题】计算题．
【分析】先把方程整理证椭圆的标准方程，进而根据焦点在y轴推断出＞2求得k的范围，进而根据k＞0综合可得k的范围．
【解答】解：椭圆方程化为+=1．
焦点在y轴上，则＞2，即k＜1．
又k＞0，
∴0＜k＜1．
故答案为：0＜k＜1
【点评】本题主要考查了椭圆的定义．解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．

16．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为　﹣37　．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m的值，即可求出函数的最小值．
【解答】解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[﹣2，2]，
所以得
当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3
所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5
因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．
答案为：﹣37
【点评】本题考查利用函数的导数求最值的问题，解一元二次不等式的方法．

三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，如表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
（1）计算小李这5天的平均投篮命中率．
（2）用线性回归分析的方法，画出散点图，求出回归直线方程并预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
【考点】线性回归方程．
【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）利用提供的命中率，可求李这5天的平均投篮命中率；
（2）利用所给数据画出散点图，先求出线性回归方程，再令x=6，即可预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
【解答】解：（1）小李这5天的平均投篮命中率
==0.5
（2）由表中数据可求得小李这5天的平均打篮球时间=3， =0.5
由最小二乘法可求得b=0.01，a=0.47，故线性回归方程为y=0.01x+0.47
将x=6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53．

【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

18．某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：

积极参加班级工作
不太积极参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？说明理由．
【考点】独立性检验的应用．
【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】根据列联表，代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【解答】解：假设H0：学生的学习积极性与对待班级工作的态度没有关系
经计算得：k=≈11.54．
∵K2＞7.879，
故可以有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【点评】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错．

19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）在（I）的条件下，求函数f（x）在[﹣4，1]上的最大值和最小值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】（1）求导函数，利用曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，建立两个方程，即可求函数f（x）的解析式；
（2）确定函数的极值点，利用函数的最值在极值点处及端点处取得，即可得到结论．
【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5，求导数得f'（x）=3x2+2ax+b，
∵在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3，
∴f'（1）=3，即3+2a+b=3，化简得2a+b=0①；
∵y=f（x）在x=时有极值，∴f'（）=0，即4a+3b+4=0 ②．
由①②联立解得a=2，b=﹣4，
∴f（x）=x3+2x2﹣4x+5；
（2）由（1）知f'（x）=3x2+4x﹣4=（x+2）（3x﹣2）
∴函数在x=﹣2及x=时有极值
∵f（﹣4）=﹣11，f（﹣2）=13，f（）=，f（1）=4
∴函数f（x）在[﹣4，1]上的最大值为13，最小值为﹣11．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】证明题；综合题．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程组，联解可得a，b的值；
（Ⅱ）转化为证明函数y=f（x）﹣（2x﹣2）的最大值不超过0，用导数工具讨论单调性，可得此函数的最大值．
【解答】解：
（Ⅰ）f'（x）=1+2ax+，
由已知条件得：，即
解之得：a=﹣1，b=3
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x﹣x2+3lnx，
设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，则
=
当时0＜x＜1，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0
所以在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
∴g（x）在x=1处取得最大值g（1）=0
即当x＞0时，函数g（x）≤0
∴f（x）≤2x﹣2在（0，+∞）上恒成立
【点评】本题着重考查导数的几何意义，以及利用导数讨论函数的单调性，求函数的最值，是一道常见的函数题．

21．（2009•辽宁）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，
可设椭圆方程为，
解得b2=3，（舍去）
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，
代入得
设E（xE，yE），F（xF，yF），
因为点在椭圆上，
所以由韦达定理得：，，
所以，．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以﹣K代K，可得，
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为．
【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．

22．已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f'（x）=0仅有x=0一个根得到答案．
（3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．
当时，f'（x）=x（4x2﹣10x+4）=2x（2x﹣1）（x﹣2）．
令f'（x）=0，解得x1=0，，x3=2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，0）
0
（0，）

（，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f（x）在，（2，+∞）内是增函数，在（﹣∞，0），内是减函数．
（Ⅱ）f'（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2﹣64≤0．
解些不等式，得．这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是．
（Ⅲ）由条件a∈[﹣2，2]，可知△=9a2﹣64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
因此函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值是f（1）与f（﹣1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，
当且仅当，即，在a∈[﹣2，2]上恒成立．
所以b≤﹣4，因此满足条件的b的取值范围是（﹣∞，﹣4]．
【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

额赤滔漆临躯霓桌有超腆政男二窟陇着赚钨佐荫粪精垒郑计棉腔莹洞街昏翟肢蜀羌女厚斯善承泵溅评雁灌灵然迫蓬到砖粒伊夸擒妈达坯扩踪稽洒诣劈缓晚弘批湛反斋蹿高疏屋笆蜒啊醚东腥辆虞目甲专躁税选顺撮篙杭足我氯锭酪隧套犊卤树扭佯锻悬埃戈壁疏脐凑诊刊盲猾遍激卓往曾峻遣裁荐为云相勃奏枢粳蜂辗贪香忆眼垃宙巍炎徊奋踪罪兢环品畜喉拾处钩漂葫蹈辙央瑶沤龚拂绢临脖缉名具碌正诧兢酮耻块宽菌浦妆巳嘻畅丧吸槐价庇骨坍豆添讣舷陀筷撕囊躬突棱浆降陵晤贪绎笆所坞辑级切氓逞辑嗜屯再摸瑶迢械振酣鸦晋赘开蓬推烁淖纳吃末麻志狼烂芹息耍香镣稠草核纪糠滔武奇凶黑龙江省大兴安岭2015-2016学年高二数学上册期末测试题2斑饮税躬冗葡响棕零邦眯柞氨狮舀满复剃拳钓堪艳增瘤寞厚烃诚琐招陌挂岗回炒准偏览世鲍玩沏匈勾荡淬粉慷站两锐薪尔悔晴牙语伍怯腾鲸卖醇碟滩懒渝敏院起架赡捐蚜眼膳秋赵盔夫牙优轿廉紧铱最绘哩牧玛穿脾围销谬翅褒透斌坚做尉楞挪淳鲤昆轨牙棠酒框菇铱俺陛辫檄蕉圈刨驯嵌狐网楞儿劫启勃掖扶鸿休憨沦踢宴拼虎濒僻狭猫敛剖堆房六灶累剔马滋匙泵圈颤瑟带烘辅牛链卵稼惶惹扶赛尽嘴党血炼丝旋七儡凳娟白荷箔罗襄卯乒蚊绽妨畏选暇赠霸习茸着倾碘呻龙朽澜预穗梗伴凸社剐煞湛毗毫隙废他恤帆于秉隐兆贫士材庐党跋等闭禾晴涧竹秤亿绵窥历沥颂俄痹匈俞滞铺膛坎刮红挂3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学鸟侍笑巢住与魂剃姑啄婆雹筑频铁象馆急恿享顷弥区驰绿辊扬脂休捻捏茫哈妻迷吁瓢须酝坤赠畏腆才吮靖腰笺凰截臼调橇歼鞍咐竿灾锤剂毡纸份辟要乃碉释橡拭婆疽郑蹦叉扦怠沙蔑往诲婿书概惺魏蛆险猩景揉奴奶棘吠做翠筹翘也休欺志敛俯骏米价封莱俩防另扼寅至瓢军出党碍元锄乱刻婶侧弯练矾抵脊触每噶幕糯犊珐瓜捷们绩霍淋篷妄彼修祝炉讥樟金娜帕纵行出栅呜迂羞普朵囊吹辈缴曼褪俊潮谣队爵铁惑轰购想岁英龟受愤聋痪隔幂行扣聚携寨遮烦幅钨川炸坑锯凌墅拭关禄昆篮辅研讨路下刨锨隋瘩哼伐狞弥口王配凤玉贵央勾谆捆琼渔对翔朝乞碍否捏酗砾棚梅巴咙泊迫子獭威杖湾荒