2016届高考数学第一轮总复习检测11.doc

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　　1．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)

　　A．(x－1)2＋y2＝1　　　　B．(x－1)2＋(y－1)2＝1

　　C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

　　解析：选B.由x＝1x＋y＝2，得x＝1，y＝1，

　　即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.

　　2．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则"F＝E＝0且D<0"是"⊙C与y轴相切于原点"的(　　)

　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

　　C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

　　解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为－D2，0，而D可以大于0.

　　3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)

　　A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5

　　C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5

　　解析：选D.由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.

　　4．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)

　　A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

　　C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

　　解析：选A.由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a，1)，又圆与直线4x－3y＝0相切，可得|4a－3|5＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

　　5．(2015·温州模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)

　　A．4 B．3

　　C．2 D.2

　　解析：选C.圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0，1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2.

　　6．如果直线l将圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为________．

　　解析：由题意，知直线l过圆心C(2，－3)，

　　当直线OC⊥l时，坐标原点到直线l的距离最大，

　　|OC|＝22＋（－3）2＝13.

　　答案：13

　　7．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________．

　　解析：设圆心坐标为M(x，y)，

　　则(x－1)2＋(y＋1)2＝|AB|22，

　　即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.

　　答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9

　　8．(2015·太原市模拟)已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________．

　　解析：点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，而圆心C的坐标是(1，1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|5＝3.

　　答案：3

　　9．在平面直角坐标系xOy中，求与x轴相交于A(1，0)和B(5，0)两点且半径为5的圆的标准方程．

　　解：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5.

　　因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：

　　（1－a）2＋（0－b）2＝5，（5－a）2＋（0－b）2＝5，解得a＝3，b＝±1.

　　所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5

　　或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.

　　法二：由于A，B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)．

　　又AC＝5，得 （3－1）2＋b2＝5.

　　解得b＝1或b＝－1.

　　因此，所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5

　　或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.

　　10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.

　　(1)求直线CD的方程；

　　(2)求圆P的方程．

　　解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．

　　则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

　　(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上，

　　得a＋b－3＝0.①

　　又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210，

　　∴(a＋1)2＋b2＝40.②

　　由①②解得a＝－3b＝6或a＝5，b＝－2.

　　∴圆心P(－3，6)或P(5，－2)．

　　∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40

　　或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

　　1．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　)

　　A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)

　　C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)

　　解析：选D.曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，

　　其为圆心为(－a，2a)，半径为2的圆，

　　要使圆C的所有的点均在第二象限内，

　　则圆心(－a，2a)必须在第二象限，从而有a>0，

　　并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径，

　　易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a|，

　　则有|－a|>2，得a>2.

　　2．已知两点A(0，－3)、B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为(　　)

　　A．6 B.112

　　C．8 D.212

　　解析：选B.如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为x4＋y－3＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，

　　∴△ABP的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.

　　3．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________．

　　解析：由题意知，圆的半径r＝12k2＋4－4k2＝124－3k2≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.

　　答案：3π4

　　4．(创新题)已知直线2ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0，1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．

　　解析：因为直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形，可知∠AOB＝90°，所以圆心O到直线的距离为12a2＋b2＝22，所以a2＝1－12b2≥0，即－2≤b≤2.设圆M的半径为r，则r＝|PM|＝a2＋（b－1）2＝12b2－2b＋2＝22(2－b)，又－2≤b≤2，所以2＋1≥|PM|≥2－1，所以圆M的面积的最小值为(3－22)π.

　　答案：(3－22)π

　　5．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.

　　(1)求圆心P的轨迹方程；

　　(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．

　　解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.

　　由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.

　　故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.

　　(2)设P(x0，y0)．由已知得|x0－y0|2＝22.

　　又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得|x0－y0|＝1，y20－x20＝1.

　　由x0－y0＝1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝－1.

　　此时，圆P的半径r＝3.

　　由x0－y0＝－1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝1，

　　此时，圆P的半径r＝3.

　　故圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.

　　6．(选做题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.

　　(1)求圆C的方程；

　　(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

　　解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，

　　则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8.

　　∵直线y＝x与圆C相切于原点O，

　　∴O点在圆C上，

　　且OC垂直于直线y＝x，

　　于是有a2＋b2＝8ba＝－1?a＝2b＝－2或a＝－2b＝2.

　　由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0，

　　∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.

　　(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，

　　则有（x－4）2＋y2＝16，（x＋2）2＋（y－2）2＝8，

　　解之得x＝45或x＝0(舍去)．

　　∴存在点Q(45，125)，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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