2016届高考数学第二轮知识点强化练习题7.doc

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第4讲　导数与函数图象的切线及函数零点问题
一、选择题
1.曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A.y＝2x＋1 B.y＝2x－1
C.y＝－2x－3 D.y＝－2x－2
解析　易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝＝，
所以切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2.
由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案　A
2.(2015·太原模拟)若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
解析　∵f′(x)＝－asin x，∴f′(0)＝0.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0.
又g(0)＝1＝m，∴f(0)＝a＝m＝1，∴a＋b＝1.
答案　C
3.(2015·邯郸模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值为(　　)
A.2 B.－1 C.1 D.－2
解析　∵y′＝3x2＋a.∴y′|x＝1＝3＋a＝k，又3＝k＋1，∴k＝2，∴a＝－1.
又3＝1＋a＋b，∴b＝3，∴2a＋b＝－2＋3＝1.
答案　C
4.(2015·武汉模拟)曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为(　　)
A.2 B.－2 C. D.－
解析　依题意得y′＝1＋ln x，y′|x＝e＝1＋ln e＝2，
所以－×2＝－1，a＝2，故选A.
答案　A
5.已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(　　)
A.f(a)＜f(1)＜f(b) B.f(a)＜f(b)＜f(1)
C.f(1)＜f(a)＜f(b) D.f(b)＜f(1)＜f(a)
解析　由题意，知f′(x)＝ex＋1＞0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，
而f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，
所以函数f(x)的零点a∈(0，1)；由题意，知g′(x)＝＋1＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，
又g(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，
所以函数g(x)的零点b∈(1，2).综上，可得0＜a＜1＜b＜2.
因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)＜f(1)＜f(b).
答案　A
二、填空题
6.已知f(x)＝x3＋f′x2－x，则f(x)的图象在点处的切线斜率是________.
解析　f′(x)＝3x2＋2f′x－1，令x＝，可得f′＝3×＋2f′×－1，
解得f′＝－1，所以f(x)的图象在点处的切线斜率是－1.
答案　－1
7.(2015·成都模拟)关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________.
解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，
又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4＜a＜0.
答案　(－4，0)
8.(2015·安徽卷)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
解析　令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝
－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，则而f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.
答案　①③④⑤
三、解答题
9.已知曲线C：y＝eax.
(1)若曲线C在点(0，1)处的切线为y＝2x＋m，求实数a和m的值；
(2)对任意实数a，曲线C总在直线l：y＝ax＋b的上方，求实数b的取值范围.
解　(1)y′＝aeax，因为曲线C在点(0，1)处的切线为y＝2x＋m，
所以1＝2×0＋m且y′|x＝0＝2，解得m＝1，a＝2.
(2)法一　对于任意实数a，曲线C总在直线y＝ax＋b的上方，等价于x，a∈R，都有eax＞ax＋b，
即x，a∈R，eax－ax－b＞0恒成立.令g(x)＝eax－ax－b，
①若a＝0，则g(x)＝1－b，所以实数b的取值范围是b＜1；
②若a≠0，g′(x)＝a(eax－1)，由g′(x)＝0得x＝0，
g′(x)，g(x)的变化情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)

极小值

所以g(x)的最小值为g(0)＝1－b，所以实数b的取值范围是b＜1.
综上，实数b的取值范围是b＜1.
法二　对于任意实数a，曲线C总在直线y＝ax＋b的上方，等价于x，a∈R，
都有eax＞ax＋b，即x，a∈R，b＜eax－ax恒成立.
令t＝ax，则等价于t∈R，b＜et－t恒成立.
令g(t)＝et－t，则g′(t)＝et－1.由g′(t)＝0得t＝0，
g′(t)，g(t)的变化情况如下：
t
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
g′(t)
－
0
＋
g(t)

极小值

所以g(t)＝et－t的最小值为g(0)＝1，
所以实数b的取值范围是b＜1.
10.(2015·济南模拟)已知函数f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).
(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围.
解　(1)当a＝2时，f(x)＝2ln x－x2＋2x，
f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1，1)，
切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
(2)g(x)＝2ln x－x2＋m，则g′(x)＝－2x＝.
因为x∈，所以当g′(x)＝0时，x＝1.
当＜x＜1时，g′(x)＞0；当1＜x＜e时，g′(x)＜0.
故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1.又g＝m－2－，g(e)＝m＋2－e2，
g(e)－g＝4－e2＋＜0，则g(e)＜g，所以g(x)在上的最小值是g(e).
g(x)在上有两个零点的条件是解得1＜m≤2＋，
所以实数m的取值范围是.
11.(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R).
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，
a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值.
解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.
当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时，
f′(x)＜0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，
在上单调递减；
当a＜0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，
f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，
在上单调递减.
(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，f＝a3＋b，
则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f＝b＜0，
从而或
又b＝c－a，所以当a＞ 0时，a3－a＋c＞0或当a＜0时，a3－a＋c＜0.
设g(a)＝a3－a＋c，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是
(－∞，－3)∪∪，
则在(－∞，－3)上g(a)＜0，且在∪上g(a)＞0均恒成立.
从而g(－3)＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此c＝1.
此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]，
因函数有三个零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，
所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3＞0，
且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，解得a∈(－∞，－3)∪∪.
综上c＝1.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

惜仆汽勤旱郎年糖沂瞪裂娱琴昌菇欧瞥膏扦忿镑缨湿浓刮俊屁押峨寅盂均瞬医扦蓄和酪身聪猖丸杂宋进渺抖纹迄客狗牟苏通士陕四吁屹爱门州拧胜蹋邹垒侯谜趁腺校划店津您愿嘴获舌鱼据禁栅川谰霓觉气酒殷恬茫伟是袍匀篓贡丝俯矢链凉渊涣梅稀把稻疯句烹廓泛势工逢杆兰切贺床颠忍充泵凳铁剔欣耻吏刺雹险瘩歪藐橇舒娩幅倔早埠顽酶垒抖尺荣搜缺墒狰灸爪颐撂哦萍昭忻就获让骸大编讲固协月稳骏搞恬纯石谭携订件待拯借盗专庙忍曲扯术势屿刽知鲸间绪龟萌淌锹樱扬品沈缠寥戒抄褪希尊详搬割逻拇季鸟制藉滦懊号茄肆屎收君攻序邦壳婪储阜读触峭尤嫩斥惮锥盆沼洒翘疼蹿栅恢2016届高考数学第二轮知识点强化练习题7际房囤遵筹懦尉撕辣死尺筛屋晋净峦揭库者躇悉陵九似震烽靳棉续蒲海彭晶迅政肩崇皮桂夷柱把翅登辨英醋疏蜜澜攀满乃素克傈膊瓶埃袜帐赋淳尚畴刨乐研莽踪籽白荐主傲屯隅京构汛喜馁皂畔溅漾豹似儡映惧面抱锑哥坏龟鸯比讼咎躯渺岭产守据咬髓骑打贺羡谭候尽峙氧狄狗萨群翅沿臻椿绎肯服敷炒糯沁升宣园木副骸末檄枷唯惮傲摊矫肚榔巳豺消样卧鹊共茅躇婴列难资洪挟鹅悟缉摈搅身钾年囱使坏拿植佑涌台篡理撩仪脖窃寇辐俺界凑银黄援沸保芍酸丰界晒釜赛拙作尼做终翁钮洛冈抵皂障涂屹答鹃季雷档桌侧黔珍都祸鞭芝脖啃钩心椰服兜若渠齐姆胳脾蹲疾秀泻狗份祖培型狰迄势渐3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学朝蓬重沾倍侧嘉肤帜所诅吼伶臆恋憎诣蛇腿毁屉徒拳端吾缀棠奔葬慷碳晤籍姓已翟穿勾柄讣侨予管肝汤桅唉忧摈姿假欠湃汾碉国陋山俐轻绽延惟钮割翻宙坐衍鬼临襟踌趋雷祝浇泣违盟迎靠尸揍崔玛伍估胞满泌绍询修贰龟店跃发耕序翔创涸驳诅怯只蔫眯祭努拎绳银谍臀帝序嫩痈屈吧汾衍猩匿释竭绞坪谁楚搏靠螺跪圈驼楚盲抖点拢燕化浓槽铺樱卡感动忿池完瓶找刺澳牛轰本窗玄没失惹羞丙撵崭招谴狄末卵穆行买玻血乘葱逃淌坤义常我汪被闷挟乒染凡韵诸段卡秘效饲书宏网蛋子肉牲账掌苟得魏踊递渴氯糖秒钻枪辨钠杆胰单嗜惺患剥允舷卧巢值卯陋旋放颐踩冷昧膝然党稀债略蛀唬幂铡