2016届高考数学第二轮专题复习检测28.doc

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第2讲　三角恒等变换与解三角形

(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．(2015·新课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝
(　　)．
A．－ B. C．－ D.
解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝
sin 30°＝.
答案　D
2．(2015·烟台二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于
(　　)．
A．5 B．25 C. D．5
解析　∵S＝acsinB＝2，
∴×1×c×sin 45°＝2.
∴c＝4.
∴b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.
∴b2＝25，b＝5.
答案　A
3．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于
(　　)．
A. B. C．－ D．－
解析　∵sin α＋2cos α＝，
∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.
化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝＝－.
答案　C
4．(2015·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角且sin Acos A＝sin Bcos B，则△ABC是
(　　)．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析　由sin Acos A＝sin Bcos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰或直角三角形．
答案　D
5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于
(　　)．
A. B. C. D.
解析　在△ABC中，利用正弦定理得
2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝.
又A为锐角，∴A＝.
答案　D
6．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为
(　　)．
A. B.
C. D.或
解析　依题意得sin β＝，cos β＝；注意到sin(α＋β)＝<sin β，因此有α＋β>(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.
答案　A
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于
(　　)．
A. B．－ C．± D.
解析　先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．
由＝，且8b＝5c，C＝2B，
所以5csin 2B＝8csin B，所以cos B＝.
所以cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝.
答案　A
二、填空题
8．(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．
解析　∵cos A＝－，0＜A＜π，
∴sin A＝，
S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3，
∴bc＝24，又b－c＝2，
∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝52－2×24×＝64，∴a＝8.
答案　8
9．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝________.
解析　在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos ∠ABC＝()2＋32－2××3cos ＝5.
∴AC＝，由正弦定理得sin ∠BAC＝＝＝＝.
答案　
10．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
解析　由余弦定理：
cos A＝＝＝，
∴sin A＝，
cos C＝＝＝，
∴sin C＝，
∴＝＝1.
答案　1
11．若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.
解析　∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.
答案　－
12．(2014·四川卷改编)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC＝________m.

解析　如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·
tan 15°＝60(2－)(m)．
所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．

答案　120(－1)
三、解答题
13．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解　(1)由题意知f(x)＝2cos的最小正周期T＝10π＝，则ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
又α，β∈，f＝－，f＝，
即cos＝－，cos β＝，
∴sin α＝，cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
14．(2015·江苏卷)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值．
解　(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，
所以BC＝.
(2)由正弦定理知，＝，
所以sin C＝·sin A＝＝.
因为AB＜BC，所以C为锐角，
则cos C＝＝＝.
因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝.
15．(2015·陕西卷)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
解　(1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝，
由于0＜A＜π，所以A＝.
(2)法一　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
而a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，
即c2－2c－3＝0，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝bcsin A＝.
法二　由正弦定理，得＝，
从而sin B＝，
又由a＞b，知A＞B，
所以cos B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin
＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
所以△ABC的面积为S＝absin C＝.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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