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建模专题讲座建模专题讲座含糊数学含糊数学华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地第1页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播序言序言人脑较之准确计算机，就是能在信息不完整不准确人脑较之准确计算机，就是能在信息不完整不准确情况下，作出判断与决议，含糊性经常是信息浓缩情况下，作出判断与决议，含糊性经常是信息浓缩所致，目标是为了提升交换概率，所以不是毫无用所致，目标是为了提升交换概率，所以不是毫无用处，而是主动特征。处，而是主动特征。假如到火车站去接人，以下描述假如到火车站去接人，以下描述“大胡子，高个子，长头发戴宽边黑色眼镜中年男人大胡子，高个子，长头发戴宽边黑色眼镜中年男人”除了男人信息是准确之外，其它信息全是含糊，除了男人信息是准确之外，其它信息全是含糊，不过我们却能够找到那个人。不过我们却能够找到那个人。第2页第一讲第一讲 含糊集合及其运算含糊集合及其运算 一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：集合：含有某种特定属性对象集体。含有某种特定属性对象集体。通惯用大写字母通惯用大写字母A、B、C等表示。等表示。论域：论域：对局限于一定范围内进行讨论对象全体。对局限于一定范围内进行讨论对象全体。通惯用大写字母通惯用大写字母U、V、X、Y等表示。等表示。论域论域U中每个对象中每个对象u称为称为U元素元素。第3页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A，则必有，则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：其中其中函数函数 称为集合称为集合A特征函数。特征函数。第4页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播二、含糊集合及其运算二、含糊集合及其运算美国控制论教授美国控制论教授Zadeh教授正视了经典集合描述教授正视了经典集合描述“非此即彼非此即彼”清楚现象，提醒了现实生活中绝大多数清楚现象，提醒了现实生活中绝大多数概念并非都是概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么简单，而概念差异常以那么简单，而概念差异常以中介过渡形式出现，表现为中介过渡形式出现，表现为“亦此亦彼亦此亦彼”含糊现象。含糊现象。基于此，基于此，1965年，年，Zadeh教授在教授在Information and Control杂志上发表了一篇开创性论文杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,标志着含糊数学诞生。标志着含糊数学诞生。第5页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播1、含糊子集、含糊子集定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射确定了一个确定了一个U上上含糊子集含糊子集 。映射。映射 称为称为 隶属函隶属函数数，称为称为 对对 隶属程度，简称隶属程度，简称隶属度隶属度。含糊子集含糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者是等同。为简单见，通惯用是等同。为简单见，通惯用A来表示来表示 和和 。第6页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播论域论域含糊集含糊集 A：高个子：高个子定义隶属函数（含有主观性）：定义隶属函数（含有主观性）：含糊集并不再回答含糊集并不再回答“是或不是是或不是”问题，而是对每个问题，而是对每个对象给一个隶属度，所以与经典集有本质区分。而且对象给一个隶属度，所以与经典集有本质区分。而且与隶属函数是捆绑一起，所以能够不做区分。与隶属函数是捆绑一起，所以能够不做区分。（还是经典集合）（还是经典集合）（Zadeh表示法）表示法）第7页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播含糊子集通常简称含糊集，其表示方法有：含糊子集通常简称含糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法这里这里 表示表示 对含糊集对含糊集A隶属度是隶属度是 。如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数集合组成一个小数集合”可表示为可表示为可省略可省略第8页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播（3）向量表示法）向量表示法（2）序偶表示法）序偶表示法若论域若论域U为无限集，其上含糊集表示为：为无限集，其上含糊集表示为：第9页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播2、含糊集运算、含糊集运算定义：定义：设设A，B是论域是论域U两个含糊子集，定义两个含糊子集，定义相等：相等：包含：包含：并：并：交：交：余：余：表示取大；表示取大；表示取小。表示取小。第10页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播几个惯用算子：几个惯用算子：（1）Zadeh算子算子（2）取大、乘积算子）取大、乘积算子（3）环和、乘积算子）环和、乘积算子第11页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子（5）有界和、乘积算子）有界和、乘积算子（6）Einstain算子算子第12页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播3、含糊矩阵、含糊矩阵定义：定义：设设 称称R为为含糊矩阵含糊矩阵。当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。当含糊方阵当含糊方阵 对角线上元素对角线上元素 都为都为1时，时，称称R为为含糊自反矩阵含糊自反矩阵。（1）含糊矩阵间关系及运算）含糊矩阵间关系及运算定义定义：设：设 都是含糊矩阵，定义都是含糊矩阵，定义相等：相等：包含：包含：第13页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播并：并：交：交：余：余：例：例：第14页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播（2）含糊矩阵合成）含糊矩阵合成定义：定义：设设 称含糊矩阵称含糊矩阵为为A与与B合成，其中合成，其中 。例：例：第15页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播（3）含糊矩阵转置）含糊矩阵转置定义：定义：设设 称称 为为A转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。（4）含糊矩阵）含糊矩阵 截矩阵截矩阵定义：定义：设设 对任意对任意 称称为含糊矩阵为含糊矩阵A 截矩阵，其中截矩阵，其中第16页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播例：例：第17页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播三、隶属函数确定1、含糊统计法、含糊统计法含糊统计试验四个要素：含糊统计试验四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中一个固定元素中一个固定元素（3）U中一个随机运动集合中一个随机运动集合（4）U中一个以中一个以 作为弹性边界含糊子集作为弹性边界含糊子集A，制约着制约着 运动。运动。能够覆盖能够覆盖 也能够不覆盖也能够不覆盖致使致使 对对A隶属关系是不确定。隶属关系是不确定。第18页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播特点：在各次试验中，特点：在各次试验中，是固定，而是固定，而 在随机变动。在随机变动。含糊统计试验过程：含糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出（2）伴随）伴随n增大，频率展现稳定，此稳定值即为增大，频率展现稳定，此稳定值即为对对A隶属度：隶属度：第19页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播2、指派方法、指派方法这是一个主观方法，但也是用得最普遍一个这是一个主观方法，但也是用得最普遍一个方法。它是依据问题性质套用现成一些形式模方法。它是依据问题性质套用现成一些形式模糊分布，然后依据测量数据确定分布中所含参数。糊分布，然后依据测量数据确定分布中所含参数。3、其它方法、其它方法德尔菲法：教授评分法；德尔菲法：教授评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定次序，二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定次序，由此决定隶属函数大致形状。主要有以下方法：由此决定隶属函数大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。相对比较法、择优比较法和对比平均法等。第20页第二讲第二讲 含糊聚类分析含糊聚类分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理第21页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播自反性可推出：自反性可推出：与传递性：与传递性：结合，可得到：结合，可得到：含糊等价矩阵实际满足含糊等价矩阵实际满足:传递性了解：传递性了解：若若xi与与xk相关系相关系R，xk与与xj相关系相关系R，则，则xi与与xj有有关系关系R，这种关系能够了解为大于等于某个阈值，这种关系能够了解为大于等于某个阈值，在传递性下，在传递性下，等价布尔矩阵是一个普通关系，在传递性条件下，等价布尔矩阵是一个普通关系，在传递性条件下，是能够分类，即是能够分类，即rij=1，则，则xi与与xj为一类。为一类。我们要分类必须将含糊等价矩阵转化为等价布尔矩我们要分类必须将含糊等价矩阵转化为等价布尔矩阵。所以引入阵。所以引入截矩阵。截矩阵。第22页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第23页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播例：设对于含糊等价矩阵例：设对于含糊等价矩阵第24页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播A=1 0.4 0.8 0.5 0.5;0.4 1 0.4 0.4 0.4;0.8 0.4 1 0.5 0.5;0.5 0.4 0.5 1 0.6;0.5 0.4 0.5 0.6 1 输入数据：输入数据：Alamd=fuzzy_lamdjjz(A)调用函数：调用函数：lamd=0.6000所对应截矩阵是所对应截矩阵是Alamd=1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1C=1 3 2 0 4 5输出结果（部分）：输出结果（部分）：第25页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播实际应用中建立一个含糊等价矩阵式不轻易，实际应用中建立一个含糊等价矩阵式不轻易，传递性不易满足。传递性不易满足。第26页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第27页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播例：设有含糊相同矩阵例：设有含糊相同矩阵第28页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播R=1 0.1 0.2;0.1 1 0.3;0.2 0.3 1 输入数据：输入数据：调用函数：调用函数：A=fuzzy_cdbb(R)A=1.0000 0.0.0.1.0000 0.3000 0.0.3000 1.0000输出结果：输出结果：第29页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播二、含糊聚类普通步骤二、含糊聚类普通步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵第30页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播（1）标准差标准化）标准差标准化第31页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播（2）极差正规化）极差正规化（3）极差标准化）极差标准化（4）最大值规格化）最大值规格化其中：其中：第32页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播、建立含糊相同矩阵、建立含糊相同矩阵（1）相同系数法）相同系数法夹角余弦法夹角余弦法相关系数法相关系数法第33页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播（2）距离法）距离法Hamming距离距离Euclid距离距离Chebyshev距离距离第34页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播（3）贴近度法）贴近度法最大最小法最大最小法算术平均最小法算术平均最小法几何平均最小法几何平均最小法第35页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播3 3、聚类并画出动态聚类图、聚类并画出动态聚类图（1）含糊传递闭包法）含糊传递闭包法步骤：步骤：第36页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第37页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播解：解：由题设知特征指标矩阵为由题设知特征指标矩阵为采取最大值规格化法将数据规格化为采取最大值规格化法将数据规格化为第38页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播用最大最小法结构用最大最小法结构含糊相同矩阵得到含糊相同矩阵得到用平方法合用平方法合成传递闭包成传递闭包第39页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播取取 ，得，得第40页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播取取 ，得，得取取 ，得，得第41页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播取取 ，得，得取取 ，得，得第42页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播 X=80 10 6 2;50 1 6 4;90 6 4 6;40 5 7 3;10 1 2 4 输出动态聚类图以下：输出动态聚类图以下：调用函数：调用函数：F_Jlfx(3,5,X)第43页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播最正确分类（最正确阈值最正确分类（最正确阈值）方法：对每个阈值下分类计算一个方法：对每个阈值下分类计算一个F值，取最大值，取最大F值对应分类作为最正确分类。值对应分类作为最正确分类。计算方式以下：计算方式以下：设某个阈值设某个阈值水平下，共分了水平下，共分了r r个类，第个类，第i i类有类有n ni i个个对象。对象。第第i类中全体对象第类中全体对象第k个指标均值；个指标均值；全体对象第全体对象第k个指标均值；个指标均值；类中指标均值向量：类中指标均值向量：总指标均值向量：总指标均值向量：第44页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播含糊统计量含糊统计量其中其中M为向量间欧氏距离为向量间欧氏距离分子为类均值与总均值差异，描述类与类间距离分子为类均值与总均值差异，描述类与类间距离分母为每个元素与类均值差异，描述类内元素间距离分母为每个元素与类均值差异，描述类内元素间距离故故F越大，类之间差异越大，从而分类越合理。越大，类之间差异越大，从而分类越合理。第45页第三讲第三讲 含糊模式识别含糊模式识别模式识别本质特征：一是事先已知若干标准模式，模式识别本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别对象。称为标准模式库；二是有待识别对象。所谓含糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模所谓含糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊，标准模式库中提供模式是含糊。或有待识别糊，标准模式库中提供模式是含糊。或有待识别对象是含糊。对象是含糊。第46页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播一、最大隶属标准一、最大隶属标准最大隶属标准最大隶属标准：最大隶属标准最大隶属标准：第47页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播按最大隶属标准，按最大隶属标准，该人属于老年。该人属于老年。解：解：第48页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第49页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第50页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播阈值标准：阈值标准：第51页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播二、择近标准二、择近标准1、贴近度、贴近度表示两个含糊集表示两个含糊集A，B之间之间贴近贴近程程度度。第52页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播C=C=故故B比比A更贴近于更贴近于.第53页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播输入数据：输入数据：A=0.9 0.1 0.6 0.3;0 0.3 0.4 0.8B=0.1 0.6 0.3 0.4调用函数：调用函数：C=fuzzy_mssb(1,A,B)输出结果：输出结果：C=0.4500 0.6500 第54页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第55页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第56页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第57页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播2、择近标准、择近标准第58页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第59页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第60页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播输入数据：输入数据：A=1 0.8 0.5 0.4 0 0.1;0.5 0.1 0.8 1 0.6 0;0 1 0.2 0.7 0.5 0.8;0.4 0 1 0.9 0.6 0.5;0.8 0.2 0 0.5 1 0.7;0.5 0.7 0.8 0 0.5 1B=0.7 0.2 0.1 0.4 1 0.8输出结果：输出结果：C=0.3333 0.3778 0.4545 0.4348 0.8824 0.4565调用函数：调用函数：C=fuzzy_mssb(2,A,B)第61页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播假如分类后类别由多个标本组成，能够取求平均以假如分类后类别由多个标本组成，能够取求平均以后均值向量作为标准模式，还可深入用极差变换后均值向量作为标准模式，还可深入用极差变换等化为无量纲模式，当然待判断对象也要转化。等化为无量纲模式，当然待判断对象也要转化。第62页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第63页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第64页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第65页第四讲第四讲 含糊综合评判含糊综合评判一、一级含糊综合评判一、一级含糊综合评判第66页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第67页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播依据运算不一样定义，可得到以下不一样模型：依据运算不一样定义，可得到以下不一样模型：最终得到一个评价向量最终得到一个评价向量第68页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第69页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第70页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播其中：其中：第71页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第72页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第73页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第74页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播输入数据：输入数据：R=0.2 0.5 0.2 0.1;0.7 0.2 0.1 0;0 0.4 0.5 0.1;0.2 0.3 0.5 0A1=0.1 0.2 0.3 0.4A2=0.4 0.35 0.15 0.1调用函数：调用函数：B=fuzzy_zhpj(1,A1,R)输出结果：输出结果：B=0.0.3000 0.4000 0.1000 调用函数：调用函数：B=fuzzy_zhpj(1,A2,R)输出结果：输出结果：B=0.3500 0.4000 0.0.1000 第75页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播原因集原因集评判集评判集第76页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第77页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 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版权所有，不得传播版权所有，不得传播含糊化总结：含糊化总结：约束条件含糊化：约束条件含糊化：目标函数含糊化目标函数含糊化:新目标函数：新目标函数：第94页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第95页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第96页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第97页华中农业大学数学建模系列课件华中农业大学数学建模系列课件 版权所有，不得传播版权所有，不得传播第98页