高三数学课时复习基础过关训练题36.doc

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第七章　推理与证明第2课时　直接证明与间接证明

1. 用反证法证明“如果a>b，那么>”假设内容应是____________．
答案：≤
解析：假设结论不成立，即≤.
2. 设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的________条件．
答案：充分不必要
解析：x>0|x|>0，而|x|>0x>0或x<0，故“x>0”是“|x|>0”的充分不必要条件．
3. 在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝________．
答案：2n
解析：因为数列{an}为等比数列，则an＝2qn－1.因为数列{an＋1}也是等比数列，则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)a＋2an＋1＝an·an＋2＋an＋an＋2an＋an＋2＝2an＋1an(1＋q2－2q)＝0q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n.
4. 已知函数f(x)满足：f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则＋＋＋＝________．
答案：16
解析：根据f(a＋b)＝f(a)·f(b)得f(2n)＝f2(n)，又f(1)＝2，则＝2，故＋＋＋＝＋＋＋＝16.
5. 对实数a和b，定义运算“”：ab＝设函数f(x)＝(x2－2)(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．
答案：(－∞，－2]∪
解析：画出函数图象即可知实数c的取值范围是(－∞，－2]∪(－1，－)．
6. 已知两个非零向量a与b，定义ab＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，则ab＝________．
答案：6
解析：a＝(－3，4)，b＝(0，2)，a·b＝|a||b|·cosθ＝5×2×cosθ＝8，cosθ＝，所以sinθ＝，ab＝5×2×＝6.

7. 函数f(x)的定义域为A，若x1、x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
① 函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
② 若f(x)为单函数，x1、x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③ 若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，b在A中至多有一个元素与之对应；
④ 函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．
其中为真命题的是________．(填序号)
答案：②③④
解析：①错，x1＝±x2；②③④正确．
8. 如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是____________．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
解析：∵ a＋b＞a＋b(－)2(＋)＞0a≥0，b≥0且a≠b.
9. 已知a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于.
证明：∵ abc＝1，∴ a、b、c三者同为正或一正两负．
又a＋b＋c＝0，∴ a、b、c三者中只能是一正两负．
不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则b＋c＝－a，
又bc＝，∴ b、c为方程x2＋ax＋＝0的两个负根．
∴ Δ＝a2－≥0.
∴ a≥＞＝.∴ a＞.
10. 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1、a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.
(1) 若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
(2) 参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
(1) 解：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：a＋a＋…＋a≥.
(2) 证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，从而证得：a＋a＋…＋a≥.
11. 数列{an}中，a1＝，an＋1＝a－an＋1.
(1) 求证：＝－；
(2) 设Sn＝＋＋＋…＋，n>2，证明：Sn<2.
证明：(1) (证法1)要证＝－，只要证＝－＝，只要证an＋1－1＝an(an－1)，只要证an＋1＝a－an＋1，根据已知条件，得证．
(证法2)∵ an＋1＝a－an＋1＝an(an－1)＋1，
∴ an＋1－1＝an(an－1)，
∴ ＝＝－.
∴ ＝－.
(2) 由(1)知，＝－，
∴ Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝2－.　
∵ an＋1－an＝a－2an＋1＝(an－1)2≥0，且a1＝>1，
∴ an＋1>an>1，∴ 2－<2，即Sn<2.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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