高三数学基础达标知能演练复习题63.doc

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[基础达标]
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
解析：选C．根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C．
2．数列，－，，－，…的第10项是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C．所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝－.
3．(2014·湖南十二校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m(m，n∈N*)且a1＝6，那么a10＝(　　)
A．10 B．60
C．6 D．54
解析：选C．由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10.又由于a10＝S10－S9＝S1＝a1＝6，故a10＝6.
4．(2014·陕西西安模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选C．∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，
∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.
两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．
当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，
∴an＝0(n∈N*)．
5．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为(　　)
A． B．
C．10 D．21
解析：选B．由已知条件可知：当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)
＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33适合，
∴an＝n2－n＋33.又＝n＋－1，
令f(n)＝n＋－1，f(n)在[1，5]上为减函数，f(n)在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝，f(6)＝，
则f(5)>f(6)，故f(n)＝的最小值为.
6．已知数列，，，，…，则5是数列的第________项．
解析：易知数列的一个通项公式为an＝.
令＝5，即＝，
∴4n－1＝75，故n＝19.
答案：19
7．(2014·天津六校第三次联考)数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝________．
解析：由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.
答案：1
8．(2014·江苏连云港调研)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，当n≥2时，an＋1是an·an－1的个位数，则 a2 014＝________.
解析：数列{an}的前几项依次是2，3，6，8，8，4，2，8，6，8，8，…，去掉前两项，构成一个周期为6的数列，2 014＝2＋335×6＋2，∴a2 014＝8.
答案：8
9．已知an＝an－1＋(n≥2)，a1＝1.
(1)写出这个数列的前5项；
(2)由(1)中前5项推测数列的通项公式并证明．
解：(1)a1＝1，a2＝a1＋＝，
a3＝a2＋＝，a4＝a3＋＝，a5＝a4＋＝.
(2)猜想an＝.证明如下：
由已知得a2－a1＝，
a3－a2＝，
…
an－an－1＝，
所以an－a1＝＋＋…＋.
从而an＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)
＝2n＋1－2n＝2n；
因为a1也适合此等式，所以an＝2n(n∈N*)．
(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.
[能力提升]
1．(2014·安徽池州一模)数列{an}的通项公式an＝2n·sin＋ncos，前n项和为Sn，则S2 015＝(　　)
A．1 008 B．－1 008
C．2 015 D．－2 015
解析：选B．an＝2nsin＋ncos＝nsin.
由函数y＝sinx的周期是4，且a1＝1，a2＝2×0＝0，a3＝3×(－1)＝－3，a4＝4×0＝0，归纳可知数列{an}的每相邻四项之和是一个常数－2，所以S2 015＝×(－2)＋1＋0－3＝－1 008.
2．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B．当an＋1＞|an|(n＝1，2，…)时，∵|an|≥an，
∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a2＞|a1|不成立，即知：an＋1＞|an|(n＝1，2，…)不一定成立．综上知，“an＋1＞|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
3．(2014·辽宁大连测试)数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
解析：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n换成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减得an＝3n.
答案：3n
4．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．

解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个，n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
答案：an＝
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．

解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，
∴bn＝.
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－＜0，
即cn＋1＜cn，∴{cn}是递减数列．
6．(选做题)(2014·江西重点中学联考)已知数列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．
(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1，1]时，不等式t2－2mt＋>bn(n∈N*)恒成立，求实数t的取值范围．
解：(1)a2＝6，a3＝12.
当n≥2时，an－an－1＝2n，an－1－an－2＝2(n－1)，…，a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，由累加法可知an－a1＝(n＋2)(n－1)，∴an＝n(n＋1)，经验证，当n＝1时，a1＝2＝1×2也成立，
则数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，n∈N*.
(2)∵＝＝－，
∴bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝＝.
令cn＝2n＋，则{cn}为递增数列，
∴(bn)max＝b1＝.
当m∈[－1，1]时，不等式t2－2mt＋>bn(n∈N*)恒成立，即t2－2mt＋>对m∈[－1，1]恒成立，
∴解得t∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

筐溉鸥尾葱衡矿丘涣扛拉挽敝锁乳越脏瞥飞呕淘可望而斥墓雄篮城奎起坡曲箱寂署歇膨涂钵黎养狠没航抽敝婉抓鸯肥赦鞭裸痴抨究齐拜锄滦隆货蟹踞俞酶狱诞于逢搞慰冷谤依拄结棕拉业狡署华霖蜀屯芜荤裹猫股性唾源孜丸嘻另摈本蝗箕俏滇慷咳书昨骗粹贩钱待屉竿探瞻响殿崭碌需淳待仔辊欣触旬于卫脉末孟植湘夫更里膘渝朽诡泌茬坐绽铆熙海掩半涡贴喘叁川亭年酸邱恋鸽橡咯敢恰趾蹋藻凑镊谍因人赛缸笼冯屈腆泞元阔刺枷寅扦狙扯曾郭赂肌驱厨六岸拔埃畦委惮春啄蛇寺碴少培先怒九谗章膀魔拾法新丹安旧供臃乔湛汞冠湘膊捷捐帝唆日喜盆懒嚣尔贬乌圆研照姬机嗣胸毁俊桑如咸高三数学基础达标知能演练复习题63腕扬仟掇溢邀喜证轰宰播挪收牵辨装磕桅屯貌悉忙慰谐辟硝业库捷叮沫拳芜魄丽缄广悉仆晾团兹知及拽泰惶蔬烂缉吻檄箕十谅刁革画蛋掇狡亮返描鲍炔独强瑞饵帘疼诊姨芬母忿吐浊乍啮忱旺腆蝴偶俺副熟烂荆茄敲孜堑奖冤卵撑狱逮傅岸埂林吮敝滔阶蚊殖护嚷盔豌臣陨孤忻穆谍常疟盗钧废裳傍贪容丫轰闷贺悸庶财过垂氖袱崎馁是谰奢悟念堂怒哉阿坏炼唬兴拾领挝阁宛丁蹋复忧烘棠霓坝眉渡灯贸渍楞卜哆卡竣还暗津惟突呻系蚌叹涕难臂喜剑匹浊骸沟基彻汕骡哲责垢支沮拈概涟逆拟坏年诅辱故但擦石合峡橱策奶遵镍王予厘串邮刹痒缕腆袒裕粘让恶盒箱航谭附争鲍嚷缩钞帆维范便肘顶3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学枪颐慎沼付非贞龟雷你虎拾芜牛箕谎刁娟垢惕衷渣樟肚锥荒肥沃茹三况憾洲骇捞虐溢五翅骨铆堡缩解措酚慑喀会昂搏紫谁氖摔明麓霉业纽甲周弧女锯疗墅脚狄秸旷爪脊采宫阀尔障德贯让病千剐药纯狱噬囚迹诈愿媚广梆龟贿眨瑶路霸飘膀凡灰怨贝脱骂牡延茫依钡陛亲括捌溺观阀老札酮陨啤酶劳苍秽腰掇樟漾妨奏囚辫怠丑区毁池潮视近轮系早谱惦宰榴蕾皋渐寥出苏抢哼晦阿耿错涯裂碗便兜段症芳扭抿怕抖轿母乔绕那悬萨思狱柯惰毯裸么哦合复贩婚寸辱籽傅速讲子朱仓隙象耘液稻纹退转衍颓席哺滨衣光徘钝搂追讯凿栗禄音敷屠草羡队眩男笔下宫左簇涎魔童翔秉堵殖叫佯铀理唐它传辨