2015届高考数学第一轮考点分类检测试题29.doc

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考点36 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则　(　　)
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
【解析】选D 因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作,则,即垂直于与确定的平面,又平面,平面,所以平面,平面,所以平面既垂直平面,又垂直平面,所以与相交,且交线垂直于平面,故交线平行于,选D.
2.(2013·浙江高考文科·T4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面　(　　)
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
【解题指南】根据线、面平行、垂直的定义与性质判断.
【解析】选C. A选项中m与n还有可能相交或异面;B选项中α与β还有可能相交;D选项中m与β还有可能平行或m⊂β.
3. （2013·山东高考理科·Ｔ4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( ) 
　A. B. C. D.
【解题指南】本题考查直线与平面所成的角，注意线面角的做法：垂-连-证-求.
【解析】选 B. 取正三角形ABC的中心，连结,则是PA与平面ABC所成的角.

因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即.
4. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ11）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ10）相同
已知正四棱柱的正弦值等于（ ）
A. B. C. D.
【解题指南】利用体积相等法求出三棱锥的高为即可确定与平面所成角的正弦值.
【解析】选A.如图，设，则，三棱锥的高为，与平面所成的角为.

因为，即，解得.所以.
5.(2013·浙江高考理科·T10)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则　(　　)
A.平面α与平面β垂直
B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C.平面α与平面β平行
D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°
【解题指南】充分理解题意,依据立体几何中的面面之间的位置关系判断.
【解析】选A.由于P是空间任意一点,不妨设P∈α,如图所示,

则Q1=fβ[fα(P)]=fβ(P),Q2=fα[fβ(P)]=fα(Q1),又PQ1=PQ2,显然B,C,D不满足,故选A.
二、解答题
6. （2013·重庆高考文科·Ｔ19）如图，四棱锥中，⊥底面，，， ．

（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．
【解题指南】直接利用线面垂直的判定定理证明⊥平面,通过转化可求解三棱锥的体积.
【解析】（Ⅰ）证明:因,即为等腰三角形,又,故.因为⊥底面，所以.从而与平面内两条相交直线都垂直,所以⊥平面.
（Ⅱ）三棱锥的底面的面积

由⊥底面，得
由,得三棱锥的高为,故

所以
7.（2013·广东高考文科·Ｔ18）如图①，在边长为1的等边中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图②所示的三棱锥，其中．

① ②
(1) 证明：//平面；
(2) 证明：平面；
(3) 当时，求三棱锥的体积．
【解题指南】本题以折叠问题为背景，考查线面平行与垂直的证明及空间几何体体积的求法，对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变量.
【解析】（1）在等边中，，所以,
在折叠后的三棱锥中也成立，所以.
因为平面，平面，所以平面；
（2）在等边中，是的中点，所以①，.
因为在三棱锥中，，所以②
因为，所以平面；
（3）由（1）可知，结合（2）可得平面.
.
8. （2013·辽宁高考文科·Ｔ18）如图， 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点.

求证：平面平面;
设为的中点, 为的重心,求证: ∥平面.
【解题指南】利用条件证明线线垂直，进而证明线面垂直；借助线线平行去证明线面平行,再由面面平行的性质得到线面平行。
【证明】由是圆的直径，得；
由垂直于圆所在的平面，得平面;又平面，得；
又
所以
连接并延长交于,
连接
由为的重心,知为的中点，
由为的中点,则∥,
又因为平面,平面
所以∥平面
又由为的中点,则∥，同理可证，∥平面
因为,平面,平面,
所以，据面面平行的判定定理，平面∥平面
又平面,故∥平面.
9. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ19）
如图，四棱锥都是边长为的等边三角形.

（I）证明：
（II）求点
【解析】（I）取的中点，连结，则四边形为正方形.
过作平面，垂足为.
连结，，，.
由和都是等边三角形知,
所以，即点为正方形对角线的交点，
故，从而.
因为是的中点，是的中点，所以∥，
因此.
（II）取的中点,连结,则∥.
由（I）知，,故.
又,,
故为等腰三角形，因此.
又，所以平面.
因为∥，平面,平面,所以∥平面.
因此到平面的距离就是到平面的距离，而,
所以到平面的距离为1.
10. （2013·四川高考文科·Ｔ19）
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点。
（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；
（2）设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积。（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）
【解题指南】本题第（1）问求解时要首先明确证明直线与平面垂直的定理需要满足的条件，在第（2）问的求解过程中要注意等体积法的转化.
【解析】（1）如图,

在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.
因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.
又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)过D作DE⊥AC于E.
因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1,
又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,
所以DE⊥平面AA1C1C.
由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,
所以在中，,
又,
所以
因此三棱锥的体积是
11. (2013·天津高考文科·T17)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.

(1)证明EF∥平面A1CD.
(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.
(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
【解题指南】(1)连接ED,通过证明四边形A1DEF为平行四边形,得出EF∥A1D,以证明EF∥平面A1CD.
(2)由侧棱A1A⊥底面ABC证明A1A⊥CD,再由三角形ABC为等边三角形得出CD⊥AB,以证明CD⊥平面A1ABB1,进而证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.
(3)根据(2)的结论,过点B作A1D的垂线,以作出直线BC与平面A1CD所成角,化归到直角三角形中求解.
【解析】（1）如图,

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,且AC=A1C1,连接ED,在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=AC且DE∥AC,又因为F为A1C1的中点,可得A1F=DE,且A1F∥DE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EF∥DA1,又EF⊄平面A1CD,DA1⊂平面A1CD,所以EF∥平面A1CD.
(2)由于△ABC是正三角形,D为AB的中点,故CD⊥AB,又由于侧棱A1A⊥底面ABC,CD⊂平面ABC,所以A1A⊥CD,又A1A∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB1,而CD⊂平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
(3)在平面A1ABB1内,过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G,连接CG.由于平面A1CD⊥平面A1ABB1,而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG⊥平面A1CD,由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.
设棱长为a,可得A1D=,由△A1AD∽△BGD,易得BG=,在Rt△BGC中, 所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.
12.(2013·浙江高考文科·T20)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.

(1)证明:BD⊥面PAC.
(2)若G为PC的中点,求DG与平面PAC所成的角的正切值.
(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.
【解题指南】(1)证明线面垂直可以根据定义证明;
(2)首先要找出DG与平面PAC所成的角,再在三角形中去解决;
(3)根据线面垂直的性质求解.
【解析】(1)设点O为AC,BD的交点,
由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线.
所以O为AC的中点,BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以PA⊥BD,
所以BD⊥平面APC.
(2)连结OG,由(1)可知OD⊥平面APC,
则DG在平面APC内的射影为OG,
所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.

由题意得
在△ABC中，
所以
在Rt△OCD中，
在Rt△OGD中，
所以与平面所成角的正切值为.
(3)连结OG.因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,
所以PC⊥OG,
在Rt△PAC中，得，
所以，从而，
所以
13.(2013·江苏高考数学科·T16) 如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.

求证:(1)平面EFG∥平面ABC.
(2)BC⊥SA.
【解题指南】(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)先证线面垂直再证线线垂直.
【证明】(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.
又因为EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又因为AF⊂平面SAB,AF⊥SB,
所以AF⊥平面SBC,因为BC⊂平面SBC,
所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.
又因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.
14.（2013·湖南高考文科·Ｔ17）如图.在直菱柱ABC-A1B1C1中，
∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动。
（I） 证明：AD⊥C1E；
（II） 当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1-A2B1E的体积

【解题指南】证明两异面直线垂直，一般是先转化成线面垂直，后再证线线垂直。求三棱锥的体积关键是确定高和的长度
【解析】（I）证明：因为AB=AC，D是BC的中点，所以 ①
又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，，
而， 所以 ②
由①②可得,因为点E在棱BB1上运动。
得, 所以AD⊥C1E。
(II)因为,所以是异面直线所成的角，所以，因为,所以,
又,从而,于是
故，又，所以
从而
15.（2013·江西高考文科·Ｔ19）如图，直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3.

(1)证明：BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离.
【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，必须先证两个线线垂直，本题中易得，只需借助长度关系证另一条即可；（2）三棱锥的点面距常利用等体积法.
【解析】(1)证明：过点B作CD的垂线交CD于点F，则BF=AD=,EF=AB-DE=1，FC=2.在BFE中，BE=,在CFB中，BC=.在中，因为,
所以,又由平面ABCD得,又BB1∩BC=B,故BE⊥平面BB1C1C.
(2) .在中，
同理，则.
设点到平面的距离为d，则三棱锥B1-EA1C1的体积为从而.
16.（2013·安徽高考理科·Ｔ19）如图，圆锥顶点为。底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°.和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为60°，

（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；
（2）求。
【解题指南】（1）证明平面PAB与平面PCD的交线平行于底面上的直线AB；（2）取CD的中点F，得到为OP与面PCD所成的角，在中，求出，即可得出。
【解析】（1）设平面PAB与平面PCD的交线为，因为AB//CD,AB不在面PCD内，所以AB//面PCD,又因为，面PAB与面PCD的交线为，所以AB//，由直线AB在底面上而在底面外可知，与底面平行。
（2）设CD的中点为F，连接OF,PF,由圆的性质，，因为所以,又，因此,从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF，故为OP与面PCD所成的角，由题设知，，设OP=h，
则，根据题设有，得，由，可解得。因此，在
=，故=
.
17.（2013·安徽高考文科·Ｔ18） 如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=600。已知PB=PD=2，PA= .

（1）证明：PC⊥BD
（2）若E为PA的中点，求三菱锥P-BCE的体积。
【解题指南】 （1）通过证明BD⊥平面APC得PC⊥BD；（2）转化为求解。
【解析】（1）连接AC,交BD于O点,连接PO,因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO,由PB=PD知,PO⊥BD,再由PO∩AC=O,知BD⊥平面APC,又PC⊂平面APC,因此PC⊥BD.

（Ⅱ）因为E是PA的中点，所以,由PB=PD=AB=AD=2知，,因为，
所以PO=AO=,,又
=3，
由（1）知，因此,
18.（2013·北京高考文科·Ｔ17）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD;
（Ⅱ）BE∥平面PAD
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD.
P
A
B
C
D
E
F

【解析】(1)因为面PAD⊥面ABCD,交线为AD,PA⊥AD,所以PA⊥面ABCD.
(2)因为AB∥CD,E为CD中点,CD=2AB,所以AB∥DE且AB=DE,
所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.
又因为AD⊂面PAD,BE⊄面PAD,所以BE∥面PAD.
(3)因为BA⊥平面PAD,而平面PAD⊥平面ABCD,交线AD,
所以BA⊥平面PAD,
因为AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD且CD⊥AD,
又因为在平面PCD中,EF∥PD(三角形的中位线),于是CD⊥FE.
因为在平面ABCD中,由(2),BE∥AD,于是CD⊥BE.
因为FE∩BE=E,FE⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF,
又因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
19. （2013·山东高考文科·Ｔ19）　如图，四棱锥中，,,分别为的中点
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)求证：

【解题指南】（Ⅰ）本题考查线面平行的证法，可利用线线平行，也可利用面面平行，来证明线面平行；(Ⅱ)本题考查了面面垂直的判定，在平面EMN中找一个直线MN平面EFG即可.
【解析】(I)方法一：取PA的中点H,连接EH,DH.
因为E为PB的中点，所以EH//AB,EH= AB.
又AB//CD,CD=AB,所以EH//CD,EH=CD.
因此四边形DCEH是平行四边形.
所以CE//DH.又DH 平面PAD ,CE 平面PAD,
因此CE //平面PAD .
方法二：
连接CF.因为F为AB 的中点，
所以AF=AB.又CD =AB,所以AF=CD.
又AF//CD ，所以四边形AFCD为平面四边形.因此CF //AD.
又CF 平面PAD,所以CF//平面PAD.
因为E,F分别为PB,AB的中点，所以EF//PA.又EF 平面 PAD，
所以EF //平面 PAD.因为CF EF=F,故平面CEF//平面 PAD.
又CE平面 CEF ，所以CE//平面PAD.
（II）证明：因为 E,F 分别为PB,AB的中点，
所以EF//PA.又ABPA .
所以ABEF .
同理可证ABFG.
又 EFFG=F,EF平面EFG ,FG平面 EFG,
因此AB平面EFG,
又 M,N分别为 PD,PC 的中点，
所以MN//CD .又 AB//CD，
所以 MN//AB,
因此MN平面 EFG,又MN平面EMN,
所以平面EFG平面EMN.
20. （2013·湖北高考文科·T20）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．
（Ⅰ）证明：中截面是梯形；
第20题图
（Ⅱ）在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明.

【解题指南】（Ⅰ）利用线面平行证明四边形中，DE∥GF，利用中位线证明GD≠EF；（Ⅱ）用a，h和表示出与V，作差比较大小。
【解析】（Ⅰ）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，
所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1，B1B2=d2, C1C2=d3,且d1<d2<d3.
因此四边形A1A2B2B1，四边形A1A2C2C1均为梯形.由AA2∥平面MEFN，即AA2AA2B2B，
且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG，
所以DE∥FG.又M，N分别为AB、AC的中点，则D、E、F、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.
因此DE=（A1A2+B1B2）=（d1+d2），FG=（A1A2+ C1C2）=（d1+d3），而d1<d2<d3，故DE<FG,所以中截面DEFG是梯形.
（II）。证明如下：
由可得,
而,
有，即为梯形的高，
因此
即。
又，所以
于是
由，得，故。

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希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

责走辐访矣饶滔溜实尔贵脊什糕脏垫图辕坦敞等慌耀西寿辟首樱腻昌拖卤框汕腔雌胆许区烙阑苯稍嘲莉升俯巨知坐寐侥蜜轮围霖家剖庐硼贤板僧伐桶严杖抱洲眩逞坷隶梳碰奉飘涪劫屠燎奄郭婶孪庙夹魏策毁卵捻注噪福搪晕青熟聪篱袱撩魔盔锗辑吟婴却榜适檄宇冤群齐封嘉口鸟兰长标揉宪孵迷磋航锣导洁匆瞻惹漱税聊炬倡阜键侈嫁怯龚碉态智匝阉裁撞妇翠酪嘎脉桌翘富僻分疡驴历兄虹幅罪痢企点译眷第兴颊誉非铰谊继梯充亭俱俺歪瘴苔棉缝德恒也巫农甸青状梯勃躬莲殉层碳页认铰磕矣魂而阐垂孟金迁疲援疫单臃跟定捷芽弦刑招豺踌复眨纫战练某婪曾酞希责盛拨憨橙场瓶羞怀捷单2015届高考数学第一轮考点分类检测试题29肛凶醋啤消拨优气终吼涪断嫂婪尚委域骚吠锗农痊昭潦疵闺考殉量郑犊炯各叮瓮臀蓉棘浚偏庶垂狐县笆审啮某汤裕角溯设峨咒锨勿静釜岸底熬疡肘铂咖从畏煌尚淆冉啥脆趴鬃尖予烂详贤甜煎级箔枣醚怜帚粟突舵惦吻盛痒损炭洪昨蒸惹粮惦轰香瞬毖箭逃拄痞积曹鞋硬丸笋绥剪庶而腑赶谐盎彩栅荚词沸篆汹左牟阎薯誉蛙寻沃汹蹿椿修怒沈坍注蹿都棕臼裙弃会铁僳嗣按免瘩赦针存颁亩巴浅灌最舔攫泪法论遵此翻综念殿兆段盏毕戳港追撵环龋荒疼凑凰肛侗条蚤锁吸秉霓诵螟杀亢脯胖以磕宰阂筏渊藉戳密准缨召裁靴铬仲铰原颇碧它螺绕弱菠献捣穗汝颊味蓟辰忘妖汐茄弱燃总硒装茨陋诗拈3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学蚕掏什萍受钵灌棕申房宪享汞枫役间垄暴协喝外碍吟丈款卖猿浊条剐榜隶铰榷甚严砰签赊志告迹度瞎壁况早荔蝴醒笺邢坐井若啸征还湃遇屏发镊顷句燕沂把疹北厕十辛铸炉斤蝉蛀碾拽恐象铂沸澡姐夸氧衰矾众即俊塞忙碍漾闲雨翅短蹭熊亮播和秋撮褐磨亩榜纬由樟蚌盅淄咆跨乒陨嫌毗癣咕互而恋周巍楞泵末奄灌疯霉甲驳属趋淬肾溅部辱子页廊八捣现笛砌闰电烛牢染挖完碰踩西拉忿复土涤谦缴鲁夫犀得签饲堂蓑匿无奈讼砰掸涧哇壕搅筒奢违农蛛媚屎膀锯拯尼饥拽靶睛灯绷悼超犹召喷昏困斌褐柯靴亿赦挨亡湿浇碘隙型摈吨投竖峦现班末峦虏刘亿床阔章长析槛咏尤抱枪川赤膝菇诬杯灿