2015届高考数学第一轮考点分类检测试题29.doc
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4、(2013新课标全国高考理科T4)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且lB.且lC.与相交,且交线垂直于lD.与相交,且交线平行于l【解析】选D 因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作,则,即垂直于与确定的平面,又平面,平面,所以平面,平面,所以平面既垂直平面,又垂直平面,所以与相交,且交线垂直于平面,故交线平行于,选D.2.(2013浙江高考文科T4)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()A.若m,n,则mn B.若m,m,则C.若mn,m,则n D.若m,则m【解题指南】根据线、面平行、垂直的定义与性质判断.【解析】选C. A选项中
5、m与n还有可能相交或异面;B选项中与还有可能相交;D选项中m与还有可能平行或m.3. (2013山东高考理科4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( )A. B. C. D.【解题指南】本题考查直线与平面所成的角,注意线面角的做法:垂-连-证-求.【解析】选 B. 取正三角形ABC的中心,连结,则是PA与平面ABC所成的角. 因为底面边长为,所以,.三棱柱的体积为,解得,即,所以,即.4. (2013大纲版全国卷高考文科11)与(2013大纲版全国卷高考理科10)相同已知正四棱柱的
6、正弦值等于( )A. B. C. D.【解题指南】利用体积相等法求出三棱锥的高为即可确定与平面所成角的正弦值.【解析】选A.如图,设,则,三棱锥的高为,与平面所成的角为.因为,即,解得.所以.5.(2013浙江高考理科T10)在空间中,过点A作平面的垂线,垂足为B,记B=f(A).设,是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=ff(P),Q2=ff(P),恒有PQ1=PQ2,则()A.平面与平面垂直B.平面与平面所成的(锐)二面角为45C.平面与平面平行D.平面与平面所成的(锐)二面角为60【解题指南】充分理解题意,依据立体几何中的面面之间的位置关系判断.【解析】选A.由于P是空间任意一点,不
7、妨设P,如图所示,则Q1=ff(P)=f(P),Q2=ff(P)=f(Q1),又PQ1=PQ2,显然B,C,D不满足,故选A.二、解答题6. (2013重庆高考文科19)如图,四棱锥中,底面, ()求证:平面;()若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积【解题指南】直接利用线面垂直的判定定理证明平面,通过转化可求解三棱锥的体积.【解析】()证明:因,即为等腰三角形,又,故.因为底面,所以.从而与平面内两条相交直线都垂直,所以平面.()三棱锥的底面的面积由底面,得由,得三棱锥的高为,故所以7.(2013广东高考文科18)如图,在边长为1的等边中,分别是边上的点,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图所示
8、的三棱锥,其中 (1) 证明:/平面;(2) 证明:平面;(3) 当时,求三棱锥的体积【解题指南】本题以折叠问题为背景,考查线面平行与垂直的证明及空间几何体体积的求法,对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变量.【解析】(1)在等边中,所以,在折叠后的三棱锥中也成立,所以.因为平面,平面,所以平面;(2)在等边中,是的中点,所以,.因为在三棱锥中,所以因为,所以平面;(3)由(1)可知,结合(2)可得平面.8. (2013辽宁高考文科18)如图, 是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的点.求证:平面平面;设为的中点, 为的重心,求证: 平面.【解题指南】利用条件证明线线垂直,进而证明线面
9、垂直;借助线线平行去证明线面平行,再由面面平行的性质得到线面平行。【证明】由是圆的直径,得;由垂直于圆所在的平面,得平面;又平面,得;又所以连接并延长交于,连接由为的重心,知为的中点,由为的中点,则,又因为平面,平面所以平面又由为的中点,则,同理可证,平面因为,平面,平面,所以,据面面平行的判定定理,平面平面又平面,故平面.9. (2013大纲版全国卷高考文科19)如图,四棱锥都是边长为的等边三角形. (I)证明:(II)求点 【解析】(I)取的中点,连结,则四边形为正方形.过作平面,垂足为.连结,.由和都是等边三角形知,所以,即点为正方形对角线的交点,故,从而.因为是的中点,是的中点,所以,
10、因此.(II)取的中点,连结,则.由(I)知,,故.又,故为等腰三角形,因此.又,所以平面.因为,平面,平面,所以平面.因此到平面的距离就是到平面的距离,而,所以到平面的距离为1.10. (2013四川高考文科19) 如图,在三棱柱中,侧棱底面,分别是线段的中点,是线段上异于端点的点。(1)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;(2)设(1)中的直线交于点,求三棱锥的体积。(锥体体积公式:,其中为底面面积,为高)【解题指南】本题第(1)问求解时要首先明确证明直线与平面垂直的定理需要满足的条件,在第(2)问的求解过程中要注意等体积法的转化.【解析】(1)如图,在平面AB
11、C内,过点P作直线lBC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,所以,BCAD,则直线lAD.因为AA1平面ABC,所以AA1直线l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l平面ADD1A1.(2)过D作DEAC于E.因为AA1平面ABC,所以DEAA1,又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,所以DE平面AA1C1C.由AB=AC=2,BAC=120,有AD=1,DAC=60,所以在中,,又,所以因此三棱锥的体积是11. (2013天津高考文科T17)
12、如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点. (1)证明EF平面A1CD.(2)证明平面A1CD平面A1ABB1.(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【解题指南】(1)连接ED,通过证明四边形A1DEF为平行四边形,得出EFA1D,以证明EF平面A1CD.(2)由侧棱A1A底面ABC证明A1ACD,再由三角形ABC为等边三角形得出CDAB,以证明CD平面A1ABB1,进而证明平面A1CD平面A1ABB1.(3)根据(2)的结论,过点B作A1D的垂线,以作出直线BC与平面A1CD所成角,化归到直角三角形中求解.
13、【解析】(1)如图, 在三棱柱ABC-A1B1C1中,ACA1C1,且AC=A1C1,连接ED,在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=AC且DEAC,又因为F为A1C1的中点,可得A1F=DE,且A1FDE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EFDA1,又EF平面A1CD,DA1平面A1CD,所以EF平面A1CD.(2)由于ABC是正三角形,D为AB的中点,故CDAB,又由于侧棱A1A底面ABC,CD平面ABC,所以A1ACD,又A1AAB=A,因此CD平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内,过点B作BGA1D交直
14、线A1D于点G,连接CG.由于平面A1CD平面A1ABB1,而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG平面A1CD,由此得BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.设棱长为a,可得A1D=,由A1ADBGD,易得BG=,在RtBGC中, 所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.12.(2013浙江高考文科T20)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,ABC=120,G为线段PC上的点.(1)证明:BD面PAC.(2)若G为PC的中点,求DG与平面PAC所成的角的正切值.(3)若G满足PC平面BGD,求的值.【解题指南】(1)证明
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