河南省新乡市2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年河南省新乡市新誉佳高级中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，6}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁UB）等于( )
A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{2，5}

2．已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=( )
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3

3．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是( )
A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）

4．已知x+x﹣1=3，则x2+x﹣2等于( )
A．7 B．9 C．11 D．13

5．log23+log2+log5﹣lg100=( )
A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4

6．下列各式成立的是( )
A．=（x+y） B．=
C．= D．（）7=n7m

7．设a=lg35，b=lg34，c=lg22，则( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a

8．函数f（x）=ax3+bx++5，满足f（﹣3）=2，则f（3）的值为( )
A．﹣2 B．8 C．7 D．2

9．函数的图象大致形状是( )
A． B． C． D．

10．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0

11．若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解是( )
A．（﹣3，0）∪（1，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）

12．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是( )
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）

二、填空题（每小题5分，共20分）
13．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为__________人．

14．函数f（x）=lg（3x﹣2）+2恒过定点__________．

15．若＜1，则a的取值范围是__________．

16．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=__________．

三、解答题（共70分）
17．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|4＜x＜10}．求：
（1）A∩B
（2）∁R（A∪B）

18．（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；
（2）已知2a=5b=m，且+=2，求m的值．

19．若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．

20．已知函数．
（1）判断函数f（x）在[3，5]上的单调性，并证明；
（2）求函数的最大值和最小值．

21．已知函数f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）＜0成立的x的取值范围．

22．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），对称轴为x=1，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[﹣2，1]，不等式恒成立，求m的取值范围．

2015-2016学年河南省新乡市新誉佳高级中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，6}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁UB）等于( )
A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{2，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】根据全集U及B求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，3，5，7}，
∴∁UB={2，4，6}，
∵A={2，4，6}，
∴A∩（∁UB）={2，4，6}．
故选：A．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=( )
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【专题】集合．
【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．
【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，
∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，
验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，
故选：B．
【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．

3．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是( )
A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，
应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．

4．已知x+x﹣1=3，则x2+x﹣2等于( )
A．7 B．9 C．11 D．13
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2，即可得出．
【解答】解：∵x+x﹣1=3，
则x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．log23+log2+log5﹣lg100=( )
A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：log23+log2+log5﹣lg100=log23﹣log23﹣2log55﹣2lg10
=﹣2﹣2=﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．

6．下列各式成立的是( )
A．=（x+y） B．=
C．= D．（）7=n7m
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据指数幂的基本运算法则即可得到结论．
【解答】解：A．（x+y）=≠，
B.==≠
C.，成立
D．（）7=n7m﹣7≠n7m，
故选：C
【点评】本题主要考查指数幂的运算，根据指数幂的运算法则以及根式之间的关系是解决本题的关键．

7．设a=lg35，b=lg34，c=lg22，则( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用函数y=lgx在（0，+∞）上的单调性即可得出．
【解答】解：∵35＞34＞22，
∴a=lg35＞b=lg34＞c=lg22，
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．函数f（x）=ax3+bx++5，满足f（﹣3）=2，则f（3）的值为( )
A．﹣2 B．8 C．7 D．2
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由于函数f（x）=ax3+bx++5，由f（﹣3）=2得到a•33+b•3+=3，运用整体代换法，即可得到f（3）．
【解答】解：由于函数f（x）=ax3+bx++5，
则f（﹣3）=a•（﹣3）3+b•（﹣3）++5=2，
即有a•33+b•3+=3，
则有f（3）=a•33+b•3++5=3+5=8．
故选B．
【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，运用整体代换法是解题的关键，同时考查运算能力，属于中档题．

9．函数的图象大致形状是( )
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由函数的解析式可得可得函数在（0，+∞）上单调递增，函数值大于1；在（﹣∞，0）上单调递减，且函数的值大于﹣1且小于零．结合所给的选项，得出结论．
【解答】解：由函数=，
可得函数在（0，+∞）上单调递增，此时函数值大于1；
在（﹣∞，0）上单调递减，且此时函数的值大于﹣1且小于零．
结合所给的选项，只有B满足条件，
故选B．
【点评】本题主要考查函数的图象特征，注意利用函数的单调性和值域，属于基础题．

10．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0
【考点】函数单调性的性质；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求
【解答】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选B
【点评】本题主要考查了二次函数的单调性的应用，反比例函数的单调性的应用，主要分段函数的单调性应用 中，不要漏掉g（1）≤h（1）

11．若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解是( )
A．（﹣3，0）∪（1，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；数形结合；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】利用奇函数的对称性、单调性即可得出．
【解答】解：如图所示，f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，可得f（3）=0．
不等式f（x）＜0的解集为：
（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故选：D．

【点评】本题考查了奇函数的对称性、单调性，属于基础题．

12．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是( )
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题．
【分析】由f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x）=f（|x|），于是⇔，再结合偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，脱掉函数符号计算即可．
【解答】解：∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）=f（|x|），
∵f（2x﹣1）＜f（），
∴，
又函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴|2x﹣1|＜，即﹣＜2x﹣1＜，
∴＜x＜．
故选A．
【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，关键在于对偶函数概念的理解与灵活应用，属于中档题．

二、填空题（每小题5分，共20分）
13．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为26人．
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】数形结合．
【分析】画出表示参加体育爱好者、音乐爱好者集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可．
【解答】解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，
设参加体育爱好者、音乐爱好者的人数构成的集合分别为A，B，
则card（A∪B）=55﹣4=51．card（A）=43，card（B）=34，
由公式card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）
知51=43+34﹣card（A∩B）
故card（A∩B）=26
则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为26人．
故答案为：26．

【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

14．函数f（x）=lg（3x﹣2）+2恒过定点（1，2）．
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；对应思想．
【分析】据函数f（x）=lg（3x﹣2）+2的形式及对数函数的性质令3x﹣2=1，即可解出函数f（x）=lg（3x﹣2）+2恒过定点的坐标．
【解答】解：由题意，令3x﹣2=1，得x=1，此时y=2
函数f（x）=lg（3x﹣2）+2恒过定点（1，2）
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，解题的关键是根据对数函数的性质令真数为1，求定点的坐标来，本题考查知识的应用能力．

15．若＜1，则a的取值范围是（）．
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用．
【分析】把不等式两边化为同底数，然后利用对数函数的性质得答案．
【解答】解：由＜1=，得a．
∴a的取值范围是（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题．

16．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=﹣2．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数周期是4且为奇函数易于解决．
【解答】解：因为f（x+4）=f（x），所以4为函数f（x）的一个周期，
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，即f（7）=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，属基础题．

三、解答题（共70分）
17．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|4＜x＜10}．求：
（1）A∩B
（2）∁R（A∪B）
【考点】交集及其运算；补集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】（1）由A与B，求出两集合的交集即可；
（2）由A与B，求出两集合的并集，找出并集的补集即可．
【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜7}，B={x|4＜x＜10}，
∴A∩B={x|4＜x＜7}；
（2）∵A={x|3≤x＜7}，B={x|4＜x＜10}，
∴A∪B={x|3≤x＜10}，
则∁R（A∪B）={x|x＜3或x≥10}．
【点评】此题考查了交集及其运算，补集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

18．（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；
（2）已知2a=5b=m，且+=2，求m的值．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解即可．
（2）利用指数与对数的互化，求出a，b即求解结果．
【解答】解：（1）原式=（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2
=（）﹣1﹣（）=﹣1﹣（）+（）﹣2
=﹣（）﹣2+（）﹣2=
（2）由2a=5b=m，所以a=log2m=，b=log5m=，
由+=2，所以=2，所以1=2lgm，
所以m=
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的运算，考查计算能力．

19．若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】讨论指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的单调性，从而确定函数的最值，从而求a．
【解答】解：由题意可得：
∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴f（2）﹣f（1）=a2﹣a=a，解得a=0（舍去），或a=．
∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．
故a的值为或．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

20．已知函数．
（1）判断函数f（x）在[3，5]上的单调性，并证明；
（2）求函数的最大值和最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题．
【分析】（1）用单调性定义进行，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．
（2）由（1）的结论知在区间上是增函数，则3，5分别对应最小值和最大值．
【解答】解：（1）f（x）在[3，5]上是单调增函数
证明：设x1，x2是区间[3，5]上的两个任意实数且x1＜x2
=
∵3≤x1＜x2≤5
∴x1﹣x2＜02﹣x1＞02﹣x2＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[3，5]上是单调增函数

（2）∵f（x）在[3，5]上是单调增函数，所以x=3时，f（x）取最小值﹣4
x=5时f（x）取最大值﹣2
【点评】本题主要考查函数单调性的证明和应用，在求最值时，一定要先研究单调性，

21．已知函数f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）＜0成立的x的取值范围．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由函数解析式可得可得，由此求得函数的定义域．
（2）由f（x）的定义域关于原点对称，f（﹣x）=﹣f（x），可得函数为偶函数．
（3）由题意可得 0＜＜1，即 ，由此解得x的范围．
【解答】解：（1）由函数f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1，
可得，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．
（2）由f（x）=loga，且定义域关于原点对称，
f（﹣x）=loga=﹣loga=﹣f（x），故函数为奇函数．
（3）当a＞1时，由f（x）＜0可得 0＜＜1，即 ，
即 ，解得﹣1＜x＜0．
【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．

22．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），对称轴为x=1，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[﹣2，1]，不等式恒成立，求m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意可知﹣=1，△=（b﹣1）2﹣4a×0=0，进而求出a，b值；
（2）不等式可整理为x2+x≤m恒成立，只需求出左式的最大值即可得出m的范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=ax2+bx的对称轴为直线x=1，且方程f（x）=x有等根．
∴﹣=1，由方程有两个相等实根，得△=（b﹣1）2﹣4a×0=0，
∴b=1，a=﹣
∴f（x）=﹣x2+x；
（2）恒成立，
∴x2+x≤m恒成立，
令g（x）=x2+x，
∴g（x）max=2，
∴m≥2．
【点评】考查了二次函数性质和恒成立问题的转换，属于基础题型，应熟练掌握．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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