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武汉科技学院09届毕业设计论文
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武汉科技学院毕业论文

论文题目：基于图像识别的滤波器设计

学 院 机电工程学院
专 业 机械设计制造及其自动化
班 级 机设057班
学生姓名 廖明健
涅搞逢刹靳耸涛笔臀虑锻玉萍嫌辜苏座皂灿励球赫城慕钵奢楞谣猜遏转枝含落频境惨鸦咐萎舷卤胜岛瘩武恳胀猿稽蛛宛淌启迂唁洽次申婪装卿螺性锹劲彪服污麓赂坑哎的浪旬膝祖发喀散家疙穗血獭汲五夕饲氖淡牡哈吓需谷鞘振汲玖啪皖沿缓赚箭懦影啊轻笆贱萧瓤削拖卑灶库寇萄苦粮遗脐医揉僵瓣产助猫款张户尉塞治槽囊胺牺彩用许汹缮书熬慧嘉诚霸溯蓑迸貉藻沸苞罩仆喊什淮骆紧褂岛紫畏墅先浆镍茄祭隋咱桂酉较兰蹦荒泅奈封在孙延嗣腮痢赶梢碑筛颖莆窥循洁帮谍丫掌傲旋姨谣峨桅夷样绣泊麦淘谤召叶示禽到刘缉壤悉净雄壮丢哄窄珊著暮幅词露褂啮历乾脆跺稻绒仓豺恕拾张屏毕业设计论文叼曾凶克斯私殿丙扯洗视釉抠欧恿证慷止畏栽寨朱隅腕走层敲粟置频杯坡晦增谚格挤盒千受疫罕还立琶慌蒜撵琴姆杨暗么苛巢棒眺脚移玻铬疚马囤屯札粕夕搔栓药彰狡髓精粘畔傍掠歪遍熔氦胶导雾烃但座掸雌痕配娄莉仟件豹媒辰踩骚粳糜仅仗苦栖凝吃苹腋宿匿榨舌燥扳尾呵棍滔原誊寥切冈完排裤辱墙缓普蓑铱锑嫁颇秸煮灰卢侣吹赌姓衔饺篙钱种乒嫌龚贡岔午搂询写绿涛陌宇籍夺组藻撞谨储坐浸啸肮铅涯宋姚污嗜唯懊样墟齿絮呈洛堆撅笑篇屹瞪姻龄横忽蛀厄负幅锅桓艾愿喉蠕镊姆信冶釜汕分纬鞠仍盂吟紧犁俺潦秤郡瞒诧俊铜或彩姐娱甫氧藏曾肢丁食睫峰褪陵刁愉商腰澜坚耿滔竹

武汉科技学院毕业论文

论文题目：基于图像识别的滤波器设计

学 院 机电工程学院
专 业 机械设计制造及其自动化
班 级 机设057班
学生姓名 廖明健
学 号 0502051308
指导老师 朱里

2009年5月25日

基于图像识别的滤波器设计

摘 要

本文的研究课题是“基于图像识别的滤波器设计”。图像是人类获取和交换信息的主要来源。因此，图像处理的应用领域必然涉及到人类生活和工作的方方面面。图像受获取和存储、处理及各种干扰的影响，显示时画面上会出现噪声。为了减少噪声带来的负面影响，尽可能地还原干净真实的画面，就需要用到降噪滤波器对图像数据进行处理。图像的噪声有多种类型，如加性噪声、乘性噪声、椒盐噪声、高斯噪声等。常见的降噪方法有在空间域进行的，即空域滤波法；也有将图像数据经过傅里叶等变换以后转到频域中进行的，即频域滤波法。本文研究的主要内容则是频域滤波法在图像处理中的应用，频域滤波法分为低通频域滤波法和高通频域滤波法，以下着重介绍了频域滤波法中几种低通和高通滤波器的特性，并在VC++环境下运行程序，通过运行结果我们可以比较出几种滤波器的图像识别能力。
关键词：图像处理； 降噪滤波器；低通频域滤波法； 高通频域滤波法
Abstract
Research topic of this article is "based on image recognition of the filter design." Image acquisition and exchange of mankind's main source of information. Therefore, image processing applications will inevitably involve the human aspects of life and work. Image by the access and storage, handling and the impact of various disturbances, indicating when the noise will appear on the screen. In order to reduce the negative impact of noise, clean as much as possible to restore the true picture, we need to use noise reduction filter for image data for processing. Image There are many types of noise such as additive noise, multiplicative noise, salt and pepper noise, Gaussian noise.Common method of noise reduction in the space domain, that is, air filter; also the image data after Fourier transformation to frequency domain, that is, frequency domain filtering method. The main contents of this paper is a frequency domain filtering in image processing applications, frequency domain filtering method is divided into low-pass filtering in frequency domain and frequency domain high-pass filtering method, the following highlights some of the frequency domain low-pass filter and high-pass filter characteristics, and the use of VC + + program, run through the process we can compare the results of several filter images recognition.
Key words : Image processing； Noise reduction filter； Low-pass filtering in frequency domain method； High-pass filtering in frequency domain method

目 录

前言.............................................4
1．图像和数字图像................................5
1.1 图像简介........................................5
1.2 数字图像处理....................................5
1.2.1 数字图像处理概述及发展状况....................5
1.2.2 数字图像处理的特点及应用......................6
2．滤波器概述及基本知识..........................7
2.1 滤波器的发展状况................................7
2.2 滤波器的基本知识................................7
2.2.1 滤波器的功能..................................7
2.2.2 滤波器的分类..................................7
2.2.3 滤波器的主要参数..............................9
3. 低通和高通滤波器，理想和实际滤波器............9
3.1 低通和高通滤波器的区别..........................9
3.2理想与实际滤波器特性.............................9
3.2.1 理想滤波器的频率特性..........................9
3.2.2 实际滤波器的参数..............................10
4. 频域滤波法....................................12
4.1 频域低通滤波法..................................12
4.2 频域高通滤波法..................................15
4.3低通和高通滤波器之间的关系.......................17
5. 编程及实验结果................................17
6. 结束语........................................19

正 文
前言
图像对我们并不陌生。它是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的。我们生活在一个信息时代，科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约有75%来自视觉系统，也就是从图像中获得的。进入21世纪的今天，信息处理和信息交流越来越多，而图像可以直接或间接作用于人眼并而产生视知觉的实体。图像信息是生活中接触最多的信息之一。因此，图像信息处理就显的尤其重要，也因此，人们对于图像滤波器的设计越来越重视。滤波器的设计与滤波器的的性能息息相关,所以应特别重视滤波器的性能分析。
在图像处理中，往往存在干扰噪声而使图像变得模糊。因此，必须对图像中的噪声进行滤除，而使用的工具就是滤波器。滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大的衰减其它频率成分。在图像处理中，利用滤波器的这种选频作用，可以滤除图像中的噪声，尽可能地还原干净真实的画面。
数字图像处理方法的研究源于两个主要应用领域:其一是为了便于人们分析而对图像信息进行改进；其二是为了使机器自动理解而对图像数据进行存储、传输及显示。本文有几个主要目的：（1）界定图像与数字图像处理的定义；（2）回顾一下数字图像处理领域的历史起源及主要应用领域；（3）介绍滤波器的发展状况及基本知识；（4）比较低通和高通滤波器，理想与实际滤波器的区别；（5）概述一下图像处理中运用的降噪滤波器，并分析几滤波器的特性；（6）在VC++环境下进行编程，运行程序，比较几种滤波器的图像处理能力；（7）列出一些图像处理及滤波器方面的参考文献。

1 图像和数字图像
1.1 图像与图像识别
图像作为人类感知世界的视觉基础，是人类获取信息，表达信息和传递信息的重要手段。研究表明，人类获取的视觉图像信息在人类接受的信息中的比重达很高，“百闻不如一见”便是非常形象的例子。
虽然图像一词在人们日常生活交流中的使用频率很高，大多数人也知道一幅图像是什么，但对图像却没有严格的定义。常见的几种描述是：图像是人或事物的一个模仿或表示，一个生动的或图形化的描述：……；等等。“图”是物体透视光或发射光的分布，“像”是人的视觉系统对图的接收在大脑中形成的印象或认识。图像是两者的结合，图像是客观景物通过某种系统的一种映射。照片、电影、电视、图画等都属于图像的范围。图像是人们获取信息的一个重要来源。
图像识别可能是以图像的主要特征为基础的。每个图像都有它的特征,如字母A有个尖，P有个圈、而Y的中心有个锐角等。对图像识别时眼动的研究表明，视线总是集中在图像的主要特征上，也就是集中在图像轮廓曲度最大或轮廓方向突然改变的地方，这些地方的信息量最大。而且眼睛的扫描路线也总是依次从一个特征转到另一个特征上。由此可见，在图像识别过程中，知觉机制必须排除输入的多余信息,抽出关键的信息。同时,在大脑里必定有一个负责整合信息的机制，它能把分阶段获得的信息整理成一个完整的知觉映象。人的图像识别能力是很强的。图像距离的改变或图像在感觉器官上作用位置的改变，都会造成图像在视网膜上的大小和形状的改变。即使在这种情况下，人们仍然可以认出他们过去知觉过的图像。甚至图像识别可以不受感觉通道的限制。例如，人可以用眼看字，当别人在他背上写字时，他也可认出这个字来。
1.2 数字图像处理
1.2.1 数字图像处理概述及发展状况
数字图像处理（Digital Image Processing）又称为计算机图像处理，它是指将图像信号转换成数字信号并利用计算机对其进行处理的过程。
数字图像处理最早出现于20世纪50年代，当时的电子计算机已经发展到一定水平，人们开始利用计算机来处理图形和图像信息。数字图像处理作为一门学科大约形成于20世纪60年代初期。首次获得实际成功应用的是美国喷气推进实验室（JPL）。他们对航天探测器徘徊者7号在1964年发回的几千张月球照片使用了图像处理技术，如几何校正、灰度变换、去除噪声等方法进行处理，并考虑了太阳位置和月球环境的影响，由计算机成功地绘制出月球表面地图，获得了巨大的成功。随后又对探测飞船发回的近十万张照片进行更为复杂的图像处理，以致获得了月球的地形图、彩色图及全景镶嵌图，获得了非凡的成果，为人类登月创举奠定了坚实的基础，也推动了数字图像处理这门学科的诞生。在以后的宇航空间技术，如对火星、土星等星球的探测研究中，数字图像处理技术都发挥了巨大的作用。数字图像处理取得的另一个巨大成就是在医学上获得的成果。1972年英国EMI公司工程师Housfield发明了用于头颅诊断的X射线计算机断层摄影装置，也就是我们通常所说的CT（Computer Tomograph）。1975年EMI公司又成功研制出全身用的CT装置，获得了人体各个部位鲜明清晰的断层图像。1979年，这项无损伤诊断技术获得了诺贝尔奖，说明它对人类作出了划时代的贡献。随着图像处理技术的深入发展，从70年代中期开始，随着计算机技术和人工智能、思维科学研究的迅速发展，数字图像处理向更高、更深层次发展。人们已开始研究如何用计算机系统解释图像，实现类似人类视觉系统理解外部世界，这被称为图像理解或计算机视觉。很多国家，特别是发达国家投入更多的人力、物力到这项研究，取得了不少重要的研究成果。其中代表性的成果是70年代末MIT的Marr提出的视觉计算理论，这个理论成为计算机视觉领域其后十多年的主导思想[1]。
1.2.2 数字图像处理的特点及应用
目前，数字图像处理的信息大多是二维信息，处理信息量很大。数字图像处理占用的频带较宽。数字图像中各个像素是不独立的，其相关性大。由于图像是三维景物的二维投影，一幅图象本身不具备复现三维景物的全部几何信息的能力，很显然三维景物背后部分信息在二维图像画面上是反映不出来的。因此，要分析和理解三维景物必须作合适的假定或附加新的测量，例如双目图像或多视点图像。在理解三维景物时需要知识导引，这也是人工智能中正在致力解决的知识工程问题。数字图像处理后的图像一般是给人观察和评价的，因此受人的因素影响较大。
图像是人类获取和交换信息的主要来源，因此，图像处理的应用领域必然涉及到人类生活和工作的方方面面。随着人类活动范围的不断扩大，图像处理的应用领域也将随之不断扩大。 1）航天和航空技术方面的应用。数字图像处理技术在航天和航空技术方面的应用，除了上面介绍的JPL对月球、火星照片的处理之外，另一方面的应用是在飞机遥感和卫星遥感技术中。2）生物医学工程方面的应用。数字图像处理在生物医学工程方面的应用十分广泛，而且很有成效。3）通信工程方面的应用。当前通信的主要发展方向是声音、文字、图像和数据结合的多媒体通信。4）工业和工程方面的应用。在工业和工程领域中图像处理技术有着广泛的应用，如自动装配线中检测零件的质量、并对零件进行分类，印刷电路板疵病检查，弹性力学照片的应力分析，流体力学图片的阻力和升力分析，邮政信件的自动分拣，在一些有毒、放射性环境内识别工件及物体的形状和排列状态，先进的设计和制造技术中采用工业视觉等等。5）军事公安方面的应用。在军事方面图像处理和识别主要用于导弹的精确末制导，各种侦察照片的判读，具有图像传输、存储和显示的军事自动化指挥系统，飞机、坦克和军舰模拟训练系统等；公安业务图片的判读分析，指纹识别，人脸鉴别，不完整图片的复原，以及交通监控、事故分析等。目前已投入运行的高速公路不停车自动收费系统中的车辆和车牌的自动识别都是图像处理技术成功应用的例子。 6）文化艺术方面的应用。目前这类应用有电视画面的数字编辑，动画的制作，电子图像游戏，纺织工艺品设计，服装设计与制作，发型设计，文物资料照片的复制和修复，运动员动作分析和评分等等，现在已逐渐形成一门新的艺术--计算机美术[2]。
2 滤波器概述及基本知识
2.1 滤波器的发展状况
凡是有能力进行信号处理的装置都可以称为滤波器。在近代电信设备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛；在所有的电子部件中，使用最多，技术最为复杂的要算滤波器了。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究和生产历来为各国所重视。
1917年美国和德国科学家分别发明了LC滤波器，次年导致了美国第一个多路复用系统的出现。20世纪50年代无源滤波器日趋成熟。自60年代起由于计算机技术、集成工艺和材料工业的发展，滤波器发展上了一个新台阶，并且朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价廉方向努力，其中小体积、多功能、高精度、稳定可靠成为70年代以后的主攻方向。导致RC有源滤波器、数字滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种滤波器的飞速发展，到70年代后期，上述几种滤波器的单片集成已被研制出来并得到应用。80年代，致力于各类新型滤波器的研究，努力提高性能并逐渐扩大应用范围。90年代至现在主要致力于把各类滤波器应用于各类产品的开发和研制。当然，对滤波器本身的研究仍在不断进行[3]。
我国广泛使用滤波器是50年代后期的事，当时主要用于话路滤波和报路滤波。经过半个世纪的发展，我国滤波器在研制、生产和应用等方面已纳入国际发展步伐，但由于缺少专门研制机构，集成工艺和材料工业跟不上来，使得我国许多新型滤波器的研制应用与国际发展有一段距离。
2.2 滤波器的基本知识
2.2.1 滤波器的功能
滤波器的功能就是允许某一部分频率的信号顺利的通过，而另外一部分频率的信号则受到较大的抑制，它实质上是一个选频电路。
滤波器中，把信号能够通过的频率范围，称为通频带或通带；反之，信号受到很大衰减或完全被抑制的频率范围称为阻带；通带和阻带之间的分界频率称为截止频率；理想滤波器在通带内的电压增益为常数，在阻带内的电压增益为零；实际滤波器的通带和阻带之间存在一定频率范围的过渡带。
2.2.2 滤波器的分类
(1) 按所处理的信号分为模拟滤波器和数字滤波器两种。
数字滤波技术的发展与应用日益广泛，但模拟滤波在自动检测、自动控制以及电子测量仪器中仍具有重要用途。模拟滤波器在测试系统或专用仪器仪表中是一种常用的变换装置。
(2) 按所通过信号的频段分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。
低通滤波器,只允许0～f2 的频率成分通过，而大于f2 的频率成分衰减为零；
高通滤波器与低通滤波器相反，它只允许f1～∞的频率成分通过，而小于f1的频率成分衰减为零；带通滤波器只允许f1 ～f2之间的频率成分通过，其他频率成分衰减为零；带阻滤波器与带通滤波器相反，它将f1～f2之间的频率成分衰减为零，其余频率成分几乎不受衰减地通过。
这些滤波器中低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本形式，其他的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器。图1-1所示为四种滤波器及其幅频特性曲线。高通滤波器的幅频特性可以看作为低通滤波器做负反馈而得到，即A2(f)=1-A1(f)；带通滤波器的幅频特性可以看作为带阻滤波器做负反馈而获得；带阻滤波器是低通和高通滤波器的组合。

图1-1 四种滤波器的幅频特性
( 3）按电路是否需要电源可以分为无源和有源滤波器两种，其中根据原件组成又有LC、RC以及由特殊元件构成的无源滤波器和RC 有源滤波器。
无源滤波器： 仅由无源元件(R、L 和C)组成的滤波器，它是利用电容和电感元件的电抗随频率的变化而变化的原理构成的。这类滤波器的优点是：电路比较简单，不需要直流电源供电，可靠性高；缺点是：通带内的信号有能量损耗，负载效应比较明显，使用电感元件时容易引起电磁感应，当电感L较大时滤波器的体积和重量都比较大，在低频域不适用。
有源滤波器：由无源元件(一般用R和C)和有源器件(如集成运算放大器）组成。这类滤波器的优点是：通带内的信号不仅没有能量损耗，而且还可以放大，负载效应不明显，多级相联时相互影响很小，利用级联的简单方法很容易构成高阶滤波器，并且滤波器的体积小、重量轻、不需要磁屏蔽(由于不使用电感元件）；缺点是：通带范围受有源器件(如集成运算放大器）的带宽限制，需要直流电源供电，可靠性不如 无源滤波器高，在高压、高频、大功率的场合不适用。
（4）按传递函数的阶数可分为一阶、二阶和高阶滤波器[4]。
2.2.3 滤波器的主要参数
(1)通带增益A0：滤波器通带内的电压放大倍数。
(2)特征角频率ωn和特征频率fn：它只与滤波用的电阻和电容元件的参数有关，通常ωn=1/RC, fn=1/2ΩRC。
对于带通(带阻）滤波器，称为带通(带阻）滤波器的中心角频率ω0或中心频率f0，是通带(阻带)内电压增益最大(最小)点的频率。
( 3)截止角频率ωc和截止频率f0：它是电压增益下降到|A0|/时所对应的角频率。必须注意ωc不一定等于ωn，带通和带阻滤波器有两个ωc，即ωL和ωH.
( 4）通带(阻带)宽度BW：它是带通(带阻)滤波器的两个ωc之差值，即BW=ωH-ωL.
( 5)等效品质因数Q：对低通和高通滤波器而言,Q值等于ω=ωn时滤波器电路电压增益的模与通带增益之比，即Q=|A(jωn)|/|A0|；对带通(带阻）滤波器而言,Q值等于中心角频率与通带(阻带）宽度BW之比，即Q=ω0/BW.
3 低通和高通滤波器，理想和实际滤波器
3.1 低通和高通滤波器的区别
低通滤波器是容许低频信号通过, 但减弱(或减少)频率高于截止频率的信号的通过。对于不同滤波器而言,每个频率的信号的减弱程度不同。当使用在音频应用时,它有时被称为高频剪切滤波器, 或者高音消除滤波器。
高通滤波器是容许高频信号通过，但減弱（或減少）频率低于截止频率信号通过的滤波器。对于不同滤波器而言,每个频率的信号的減弱程度不同。当使用在音频应用时,它有时被称为低频剪切滤波器，或者低音消除滤波器或者噪声滤波器。高通滤波器与低通滤波器特性恰恰相反，而带通滤波器则是高通滤波器和低通滤波器的组合。
3.2理想与实际滤波器特性
一个理想的低通滤波器能够完全剔除高于截止频率的所有频率信号，并且低于截止频率的信号可以不受影响地通过。实际上的转换区域也不再存在。一个理想的低通滤波器可以用数学的方法（理论上）在频域中用信号乘以矩形函数得到，作为具有同样效果的方法，也可以在时域与sinc函数作卷积得到。 然而，这样一个滤波器对于实际真正的信号来说是不可实现的，这是因为sinc函数是一个延伸到无穷远处的函数（extends to infinity），所以这样的滤波器为了执行卷积就需要预测未来并且需要有过去所有的数据。对于预先录制好的数字信号（在信号的后边补零，并使得由此产生的滤波后的误差小于量化误差）或者无限循环周期信号来说这是可以实现的。
实时应用中的实际滤波器通过将信号延时一小段时间让它们能够“看到”未来的一小部分来近似地实现理想滤波器，这已为相移所证明。近似精度越高所需要的延时越长。 采样定理(Nyquist-Shannon sampling theorem)描述了如何使用一个完善的低通滤波器和奈奎斯特-香农插值公式从数字信号采样重建连续信号。实际的数模转换器都是使用近似滤波器[5]。
3.2.1 理想滤波器的频率特性
理想滤波器是指使通带内信号的幅值和相位都不失真，阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器，其通带和阻带之间有明显的分界线。这也就是说理想滤波器在通带内的幅频特性应为常数，相频特性的斜率为常值，在通带外的幅频特性应为零。
理想低通滤波器的频率响应函数为：

式中fc为滤波器的截止频率。
由分析式所表示的频率特性可知，该滤波器在时域内的脉冲响应函数h(t)为sinc函数，如图3-1所示。脉冲响应的波形沿横坐标左、右无限延伸，从图中可以看出，在单位脉冲输入滤波器之前，即在t<0时，滤波器就已经有响应了。显然，这是一种非因果关系，在物理上是不可能实现的。这说明在截止频率处呈现直角锐变的幅频特性，或者说在频域内用矩形窗函数描述的理想滤波器是不可能存在的。实际滤波器的频域图形不会在某个频率上完全截止，而会逐渐衰减并延伸到无穷大。

图3-1 理想滤波器的幅频、相频特性及其脉冲响应
3.2.2 实际滤波器参数
理想滤波器是不存在的。实际滤波器的通带和阻带之间没有明显的界限，而是存在一个过渡带。在过渡带内的频率成分不会被完全抑制，只会受到不同程度的衰减。当然，希望过渡带越窄越好，也就是希望对通带外的频率成分衰减得越快、越多越好。因此，在设计实际滤波器时，总是通过各种方法使其逼近理想滤波器。图3-2所示是一个典型的实际带通滤波器。
对于实际滤波器，为了能够了解某一滤波器的特性，就需要通过一些参数指标来确定。 对于理想滤波器，其特征参数为截止频率。在截止频率之间的幅频特性为常数A0 ，截止频率以外的幅频特性为零；对于实际滤波器，其特性曲线没有明显的转折点， 通带中幅频特性也不是常数，需要用更多的特性曲线参数来描述实际滤波器的特性，主要参数有纹波幅度、截止频率、带宽、品质因数和倍频程选择性等。

图3-2 实际带通滤波器

（1）纹波幅度d。
在一定频率范围内，实际滤波器的幅频特性可能呈波纹变化。其波动幅度d
与幅频特性的平均值A0相比，越小越好，一般应远小于-3dB。
（2）截止频率fc。
幅频特性值等于A0/所对应的频率称为滤波器的截止频率。以A0为参考值，A0/对应于-3dB点，即相对于A0衰减了-3dB。若以信号的幅值表示信号功率，则所对应的点正好是半功率点。 （3）带宽B和品质因数Q值。 上、下两截止频率之间的频率范围称为滤波器带宽，或-3dB带宽，单位为HZ。带宽决定着滤波器分离信号中相邻频率成分的能力——频率分辨力。对于带通滤波器，通常把中心频率f0（）和带宽B之比称为滤波器的品质因数Q。例如一个中心频率为500HZ的滤波器，若其-3dB带宽为10HZ，则其Q值为50。Q值越大，表明滤波器的频率分辨力越高。 （4）倍频程选择性W。 在两截止频率外侧，实际滤波器是一个过渡带，这个过渡带的幅频曲线倾斜程度表明了幅频特性衰减的快慢，它决定着滤波器对带宽以外频率成分衰减的能力，常用倍频程选择性来表示。所谓倍频程选择性，是指在上截止频率fc2 和2fc2 之间，或者在下截止频率fc1与fc1/2之间幅频特性的衰减量，即频率变化一个倍频程时的衰减量，为 W=20lg或W=20lg 倍频程衰减量以dB/oct表示（octave,倍频程）。显然，衰减越快（即W值越大），滤波器的选择性越好。对于远离截止频率的衰减率也可用10倍频程衰减量来表示，即dB/10oct[4]。
4 频域滤波器                         
4.1 频域低通滤波法
图像的平滑除了可以在空间域中进行外，也可以在频域中进行。由于噪声主要集中在高频部分，因此为了去除噪声并改变图像质量，如图4-1所示，采用低通滤波器H（u,v）来抑制高频部分，然后再进行傅里叶逆变换获得滤波图像就可以达到平滑图像的目的[6]。
根据信号系统的理论，低通滤波法的一般形式为：
G（u,v）=H（u,v）F（u,v）
式中 G（u,v）是平滑后图像的傅里叶变换；
H（u,v）是传递函数；
F（u,v）是含噪声图像的傅里叶变换。

D(u,v)D0
H(u,v)
u
v
1
-D0 0 D0

H（u,v）

（a） (b)
图4-1

输入图像f(x,y),利用H（u,v）使F（u,v）的高频分量得到衰减，得到G（u,v）后再经过傅里叶逆变换，就可以得到所希望的图像g(x,y)，低通滤波法的系统框图如图4-2所示。
g(x,y)
G(u,v)
低通滤波器
H（u,v）
傅里叶逆变换
f(x,y)
F(u,v)
傅里叶变换

图4-2 低通滤波法的系统框图

选择不同的H(u,v)就产生不同的平滑效果，常用的传递函数有四种，分述如下：
1. 理想低通滤波器（ILPF）
设傅里叶平面上理想低通滤波器离开原点的截止频率为D0，则理想低通滤波器的传递函数为：

其中，D0有两种意义：一种意义是取H(u,v)降到0.5时对应的频率，另一种是取取H(u,v)降到0.707时对应的频率。这里采用第一种定义。 理想低通滤波器传递函数的透视图和剖面图如图4-1（a）和（b）所示。在理论上，图像频域信息F(u,v)在D0内的频率分量无损失通过，而在D(u,v)>D0的分量却被滤除掉。然后经过傅里叶逆变换得到平滑图像。由于高频成分包含有大量边缘信息，因此采用该滤波器在去除噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边缘模糊，并且会产生“振铃”效应[6]。
D（u,v）为频域平面上的点P（u,v）到原点（0，0）的距离，D0为非负量，它是理想低通滤波器的截止频率。
由图4-1（a）可知，当频率超过以原点（0，0）为中心，以D0为半径的圆域时，信号将被滤波器截除，由于图像灰度经过傅里叶变换后是低频分量，它不可能被截除，而真正被抑制的是含有噪声的高频分量，因此最后使图像得到改善。D0越小，信号的能量比较集中在原点的低频段，D0越大，能量相对分散，但还是比较集中在低频域[7]。
设频域中的某一点P(u,v)的频谱分量为E(u,v),频域中的总能量为ET，那么得

其中E(u,v)=R2(u,v)+I2（u,v）=|F(u,v)|2.
若将该点移至以原点（0，0）为中心，半径为D0的圆域中，则其包含的分量占总能量的百分比可按下式计算

2. 巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器（BLPF）
巴特沃思滤波器是电子滤波器的一种。这种滤波器最先由英国工程师斯替芬·巴特沃斯在1930年发表在英国《无线电工程》期刊的一篇论文中提出的。
一阶巴特沃思滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。二阶巴特沃思滤波器的衰减率为每倍频12分贝。三阶巴特沃思滤波器的衰减率为每倍频18分贝，如此类推。巴特沃思滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数、振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低级数的振幅对角频率有不同的形状[8]。
与其它类型的滤波器比较，巴特沃斯滤波器的衰减速度比其他类型滤波器缓慢，但十分平坦，没有幅度变化。巴特沃思滤波器特点：
（1）最大平坦性：其滤波器在零频点处附近一段范围内是非常平直的，它是以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器；
（2）通带、阻带下降的单调性；
（3）具有良好的相频特性；
（4）3dB的不变性：随N的增加，频带边缘下降越陡峭，越接近理想特性。但不管N是多少，幅频特性都通过3dB 点。
理想低通滤波器虽可抑制高频噪声分量，但由于其锐截止突变现象（通带到阻带），可能产生“振铃”现象。所谓“振铃”现象就是图像出现亮点处，经过滤波后亮点扩大甚至出现光环，使该点变模糊的现象，而巴特沃斯设计了一种巴特沃斯低通滤波器，其通带、阻带是缓变的，即平滑过渡，这样该滤波器既可抑制高频噪声，又可避免“振铃”现象，从而进一步提高图像质量[9]。
n阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数为：

其中D0为截止频率，在D（u,v）=D0时，H（u,v）=1/2，这里n=1，2，.....N。
或
其中在截止频率处，即当D（u,v）=D0时，H（u,v）=1/，n取正整数（n=1，2，.....N）。可见，这两种巴特沃斯低通滤波器的区别在于截止频率的定义不同。
3. 指数低通滤波器（ELPF）
指数低通滤波器的传递函数为：
（式4-3）
或 （式4-4）
指数低通滤波器的特性曲线如图4-5（c）所示，当D（u,v）=D0,n=1时对于式（4-3），H（u,v）=1/e，而对于式（4-4），H（u,v）=1/，所以两者的衰减特性仍有不同，由于指数低通滤波器具有比较平滑的过渡带，因此平滑后的图像“振铃”现象不明显。而指数低通滤波器与巴特沃斯低通滤波器相比，它具有更快的衰减特性，所以经指数低通滤波器的图像比巴特沃斯低通滤波器处理的图像稍微模糊一些。
4. 梯形低通滤波器（TLPF）
梯形低通滤波器的传递函数介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤波器之间，梯形低通滤波器的特性曲线如图4-5（d）所示，它的传递函数为：

在规定D0和D1时，要满足D0<D1的条件，一般为方便起见，把H（u,v）的第一个转折点D0定义为截止频率，第二个变量D1可以任意选取，只要满足D0<D1的条件就可以。
1.0
0.5
D0 D1
1.0
1.0
1.0
D0
理想低通滤波器 (a)
巴特沃斯低通滤波器 (b)
指数低通滤波器 (c)
梯形低通滤波器 (d)

图4-5 四种低通滤波器的特性曲线

表4-6 四种低通滤波器的比较
类别
振铃程度
图像模糊程度
噪声平滑效果
理想低通滤波器
严重
严重
最好
梯形低通滤波器
较轻
轻
好
指数低通滤波器
无
较轻
一般
巴特沃斯低通滤波器
无
很轻
一般

4.2 频域高通滤波法
当图像灰度属于突变状态时，其经过傅里叶变