2016届高考数学第二轮复习限时训练题32.doc

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限时规范训练二十二
(建议用时45分钟)
1．(2015·高考浙江卷)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．

(1)求点A，B的坐标；
(2)求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
解：(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．
由消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0，
由于直线PA与抛物线相切Δ＝0，得k＝t.
因此，点A的坐标为(2t，t2)．
设圆C2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)．由题意知：点B，O关于直线PD对称，故
解得因此，点B的坐标为(，)．
(2)由(1)知|AP|＝t·，
直线PA的方程为tx－y－t2＝0.
点B到直线PA的距离是d＝.
设△PAB的面积为S(t)，则S(t)＝|AP|·d＝.
2．(2016·广东惠州调研)已知椭圆C过点M，点F(－，0)是椭圆的左焦点，点P，Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一定点A.
(1)解：设椭圆C的方程为
＋＝1(a>b>0)．
由已知，得解得
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由椭圆C的标准方程为＋＝1，
可知|PF|＝ ＝ ＝2＋x1，
同理|QF|＝2＋x2，
|MF|＝＝2＋.
∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，∴2＝4＋(x1＋x2)，∴x1＋x2＝2.
①当x1≠x2时，由得
x－x＋2(y－y)＝0，
∴＝－·.
设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ＝＝－，得线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)，即(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一定点A.
②当x1＝x2时，P，Q或P，Q.
线段PQ的垂直平分线是x轴，也过点A.
综上，线段PQ的垂直平分线过定点A.
3.如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(2，)，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，kAC·kBD＝－.

(1)求·的取值范围；
(2)求证：四边形ABCD的面积为定值．
解：(1)得∴＋＝1.
当直线AB的斜率存在时，设lAB：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2·＋km·＋m2＝.
∵kOA·kOB＝－⇒·＝－，
∴＝－·⇒m2＝4k2＋2.
·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝2－，
∴－2≤·<2，当k＝0时，·＝－2，
当k不存在，即AB⊥x轴时，·＝2，
∴·的取值范围是[－2,2]．
(2)由题意知S四边形ABCD＝4S△AOB.
∵S△AOB＝···＝2＝2，
∴S△四边形ABCD＝8.
4．已知抛物线C：y＝2x2，直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
(1)证法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中，得2x2－kx－2＝0，
∴x1＋x2＝.
∵xN＝xM＝＝，∴N点的坐标为.
∵(2x2)′＝4x，∴(2x2)′|x＝＝k，
即抛物线在点N处的切线的斜率为k.
∵直线l：y＝kx＋2的斜率为k，∴切线平行于AB.
证法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中得2x2－kx－2＝0，
∴x1＋x2＝.
∵xN＝xM＝＝，∴N点的坐标为.
设抛物线在点N处的切线l1的方程为y－＝m，
将y＝2x2代入上式得2x2－mx＋－＝0，
∵直线l1与抛物线C相切，∴Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
∴m＝k，即l1∥AB.
(2)解：假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N.
∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|.
由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝
[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2，
∵MN⊥x轴，∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝.
∵|AB|＝×＝×＝×.
∴＝×，∴k＝±2，
∴存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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