九年级数学二次函数的图象与性质测试题.doc

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2.2二次函数的图象与性质
1.二次函数的图象与轴交点的横坐标是（ ）
A．2和 B．和 C．2和3 D．和
答案：A

2.已知关于的函数：中满足．
（1）求证：此函数图象与轴总有交点．
（2）当关于的方程有增根时，求上述函数图象与轴的交点坐标．
答案：（1）当时，函数为，图象与轴有交点．
当时，
当时，，此时抛物线与轴有交点．
因此，时，关于的函数的图象与轴总有交点．
（2）关于的方程去分母得：，．
由于原分式方程有增根，其根必为．这时（6分）
这时函数为．它与轴的交点是和

3.抛物线的对称轴是______．
答案：

4.抛物线与轴交于点．
（1）求出的值并画出这条抛物线；
（2）求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）取什么值时，抛物线在轴上方？
（4）取什么值时，的值随值的增大而减小？
【解】

答案：解：（1）由抛物线与轴交于，得：．
抛物线为．图象略．
（2）由，得．
抛物线与轴的交点为．
，
抛物线顶点坐标为．
（3）由图象可知：
当时，抛物线在轴上方．
（4）由图象可知：
当时，的值随值的增大而减小．

5.已知抛物线与直线相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请问（1）中的抛物线经过怎样的平移就可以得到的图象？
（3）设抛物线上依次有点，其中横坐标依次是，纵坐标依次为，试求的值．

答案：解：（1）点在直线上，
．
把代入，
得．求得．
抛物线的解析式是．
（2）．
顶点坐标为．
把抛物线向左平移3个单位长度得到的图象，再把的图象向下平移1个单位长度得到的图象．
（3）由题意知，的横坐标是连续偶数，所以的横坐标是，纵坐标为所对应的纵坐标依次是．

．
6.观察下列四个函数的图象（ ）
x
①
②
③
④
O
x
O
x
O
x
O

将它们的序号与下列函数的排列顺序：正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数，对应正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③①④ C．③②④① D．④②①③
答案：C

7.抛物线的对称轴是直线（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ

8.请选择一组你喜欢的的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 ．
答案：答案不唯一，只要满足对称轴是，．

9.已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（　　）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ

O
10.已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（　　）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ

11.已知二次函数，其中满足和，则该二次函数图象的对称轴是直线　　　　　．
答案：

12.如图，已知抛物线经过，三点，且与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点的坐标和对称轴；
（3）求四边形的面积．

A
B
C
D
O
E
x
y

答案：解：（1）抛物线经过三点
A
B
C
D
O
E
x
y
解得
抛物线解析式：．
（2）
顶点坐标，对称轴：．
（3）连结，对于抛物线解析式
当时，得，解得：，

．

13.已知二次函数，当从逐渐变化到的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（　　）
Ａ．先往左上方移动，再往左下方移动 Ｂ．先往左下方移动，再往左上方移动
Ｃ．先往右上方移动，再往右下方移动 Ｄ．先往右下方移动，再往右上方移动
答案：Ｃ

14.二次函数的最小值是 ．
答案：

15.如图，为抛物线上对称轴右侧的一点，且点在轴上方，过点作垂直轴于点，垂直轴于点，得到矩形．若，求矩形的面积．

答案：轴，，点的纵坐标为．
当时，，即．
解得．
抛物线的对称轴为，点在对称轴的右侧，
．
矩形的面积为个平方单位．

16.二次函数的图象如图所示．
有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，只能等于．其中正确的是（　　）
Ａ．①④ Ｂ．③④ Ｃ．②⑤ Ｄ．③⑤
答案：Ｂ

17.抛物线过点，顶点为A
C
B
O
x
y
M点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM＝90˚．
若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK＝90˚，
说明理由．
答案：解：（1）根据题意，得
A
C
B
M
O

x
y
E
F
P
N

解，得
∴ 抛物线的解析式为．
（2）抛物线上存在一点P，使∠POM＝90˚．
x=，.
∴ 顶点M的坐标为．
设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为．
过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则 ∠POE＋∠MOF＝90˚，∠POE＋∠EPO＝90˚．
∴ ∠EPO＝∠FOM．
∵ ∠OEP＝∠MFO＝90˚，
∴ Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴ OE∶MF=EP∶OF．
即．
解，得（舍去），．
∴ P点的坐标为．
（3）过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则 ∠FMN＋∠OMF＝90˚．
∵ ∠MOF＋∠OMF＝90˚，
∴ ∠MOF＝∠FMN．
又∵ ∠OFM＝∠MFN＝90˚，
∴ △OFM∽△MFN．
∴ OF∶MF＝MF∶FN． 即 4∶2＝2∶FN．∴ FN＝1．
∴ 点N的坐标为（0，-5）．
设过点M，N的直线的解析式为．
解，得 直线的解析式为．
∴ 把①代入②，得 ．
．
∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．
∴ 抛物线上必存在一点K，使∠OMK＝90˚．

18.已知函数的图象如图3所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．或
答案：Ｄ

19.请你写出一个的值，使得函数在第一象限内的值随着的值增大而增大，则可以是 ．
答案：答案不唯一，如0；1；2等

20.二次函数中，，且时，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C

21.下表给出了代数式与的一些对应值：

…
0
1
2
3
4
…

…
3

3
…
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设，则当取何值时，？
（3）请说明经过怎样平移函数的图象得到函数的图象．

答案：（1）0，0；
（2）当或时，．（写出或中的一个得1分）
（用和中的特殊值说明得1分，只用或中的特殊值说明不得分）
（3）由（1）得，即，
将抛物线先向左平移2个单位（1分），再向上平移1个单位（1分）即得抛物线．
（配方正确，并说明将抛物线的顶点移到原点得2分；不配方，但说明将抛物线的顶点移到原点得2分；不配方，只说明将抛物线的顶点移到原点不得分）

22.已知抛物线与轴交于两点，则线段的长0
2

度为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ

23.小明从右边的二次函数图象中，观察得出了下面的五条信息：
①，②，③函数的最小值为，④当时，，⑤当时，．你认为其中正确的个数为（　　）
Ａ．2 Ｂ．3
Ｃ．4 Ｄ．5
答案：Ｃ

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