高二数学下册课时调研检测试题14.doc

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课时作业(二十六)　[第26讲　三角形中的综合问题]

[时间：45分钟　分值：100分]

1．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，则x的值是________．
2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
3．在一个塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________ m.

图K26－1
4．如图K26－1，已知A，B两点的距离为100 n mile，B在A的北偏东30°方向，甲船自A以50 n mile/h的速度向B航行，同时乙船自B以30 n mile/h的速度沿方位角150°方向航行，航行________ h，两船之间的距离最小．

5．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为________．
6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为　　　　 n mile/h.

图K26－2
7．如图K26－2所示，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m的C、D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A、B间的距离是________ m.

图K26－3
8．如图K26－3，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处．则两艘轮船之间的距离为________ n mile.
9．飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400 km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400 km到达丙地，那么丙地距甲地距离为________ km.
10．某海岛周围38 n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30 n mile后测得此岛在东北方向．若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．
11．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R(定值)，分别按图K26－4(1)、(2)作扇形的内接矩形，若按图K26－4(1)作出的矩形面积的最大值为R2tanα，则按图K26－4(2)作出的矩形面积的最大值为________．

图K26－4

图K26－5
12．如图K26－5，已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1 km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45°方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°方向，则塔M到直路ABC的最短距离为________．
13．(8分)[2011·惠州三模] 如图K26－6，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河的一边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100 m.
(1)求sin75°；
(2)求该河段的宽度．

图K26－6

14．(8分)如图K26－7，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；

图K26－7

15．(12分)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图K26－8)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．

图K26－8

16．(12分)如图K26－9，开发商欲对边长为1 km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF(点E、F分别在BC、CD上)，根据规划要求△ECF的周长为2 km.
(1)试求∠EAF的大小；
(2)欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．

图K26－9

课时作业(二十六)
【基础热身】
1．2或　[解析] 先根据已知条件画出草图，再用余弦定理列方程，解方程即可．
2．70　[解析] d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4 900，所以d＝70，即两船相距70 n mile.
3．15　[解析] 如图，依题意有PB＝BA＝30，PC＝BC＝10，在△BPC中由余弦定理可得cos2θ＝＝，所以2θ＝30°，4θ＝60°，在△PCD中，可得PD＝PCsin60°＝10×＝15(m)．　

4.　[解析] 设经过x h，两船之间的距离最小，由余弦定理得
S2＝(100－50x)2＋(30x)2－2·30x(100－50x)·cos60°
＝4 900x2－13 000x＋10 000
＝4 900＋10 000
＝4 9002＋，
所以当x＝时，S2最小，从而两船之间的距离最小．
【能力提升】
5. α＝β　[解析] 如图所示，从A处望B处和从B处望A处视线均为AB，而α，β同为AB与水平线所成的角，因此α＝β.

6.　[解析] 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，
∴v＝＝(n mile/h)．

7．20　[解析] 由已知可知△BDC为等腰直角三角形，
∴DB＝40 m.
由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A、B、C、D四点共圆，
所以∠BAD＝∠BCD＝45°.
在△BDA中，
由正弦定理可得AB＝＝20.
8.　[解析] 连接AC，结合题意可得△ABC为正三角形，故在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝(3)2＋52－2×3×5×cos＝13，故两艘船之间的距离为 n mile.
9．1 400　[解析] 如图所示，△ABC中，∠ABC＝75°－15°＝60°，∵AB＝BC＝1 400，∴AC＝1 400，即丙地距甲地距离为1 400 km.

10．无　[解析] 由题意，在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，
∴∠ACB＝15°，由正弦定理

BC＝·sin∠BAC＝·sin30°＝＝15(＋)．
在Rt△BDC中，∠CBD＝45°，CD＝BCsin∠CBD＝15(＋1)>38，故无触礁危险．
11.

R2tan　[解析] 将图(2)中的扇形旋转后如图所示，则由图(1)的结论可知矩形ABCD，CDEF最大面积均为R2tan，故矩形ABFE的最大面积为R2tan.
12. km　[解析] 法一：由题意得MC＝MA，在△MAC中，由余弦定理，得MA2＝.
由面积关系得AC·h＝MA2·sin75°.
求得h＝·＝(km)．
法二：以点B为坐标原点，BM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设M(a,0)，A(b，c)，则C(－b，－c)．
可得 解得c2＝.
又kAB＝＝－(1＋)．
故直线AB的方程为(1＋)x＋y＝0.
设点M到直线AB的距离为|MD|，
则|MD|2＝，所以|MD|＝(km)．
13．[解答] (1)sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°
＝×＋×＝.
(2)∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°，
由正弦定理得：＝.
∴BC＝.
如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．

在Rt△BDC中，∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝，
∴BD＝BCsin45°＝·sin45°＝×，
＝＝(m)．
14．[解答] 依题意，有PA＝PC＝x，
PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，
cos∠PAB＝＝＝.
在△PAC中，AC＝50，
cos∠PAC＝＝＝，
∴＝，解之得x＝31.
故PC＝x，PB＝x－12.x＝31.
15．[思路] 要求出M，N间距离，可以以MN为边构造三角形，把问题转化为解三角形问题．首先要寻找已知条件，这里可借助于可测的A点到M，N点的俯角及B点到M，N点的俯角以及A，B间的距离．
[解答] 方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1，B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如下图所示)．
②第一步：计算AM.由正弦定理得AM＝；
第二步：计算AN.由正弦定理得AN＝；
第三步：计算MN.由余弦定理得MN＝
.

方案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如上图所示)．
②第一步：计算BM.由正弦定理得BM＝；
第二步：计算BN.由正弦定理得BN＝；
第三步：计算MN.由余弦定理得MN＝
.
[点评] 测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．本题中把测量目标纳入到△AMN或者△BMN均可，这两个三角形只能测量出求解目标的对角，要解这样的三角形就必须求出其中的两条边长，而这两条边长可以借助于△MAB，△NAB求出．根据求解目标确定三角形，借助于其他的三角形求这个三角形的元素，就是测量问题的基本思想．
16．[解答] (1)设∠BAE＝α，∠DAF＝β，CE＝x，CF＝y(0<x≤1,0<y≤1)，
则tanα＝1－x，tanβ＝1－y，
由已知得：x＋y＋＝2，即2(x＋y)－xy＝2，
∵tan(α＋β)＝＝＝＝＝1.
∵0<α＋β<，∴α＋β＝，即∠EAF＝.
(2)由(1)知，
S△AEF＝AE·AFsin∠EAF＝AE·AF
＝··＝·
＝·＝
＝＝
＝.
∵0<α<，∴2α＋＝，即α＝时△AEF的面积最小，最小面积为－1.
∵tan＝，∴tan＝－1，
此时BE＝DF＝－1，
所以，当BE＝DF＝－1时，△AEF的面积最小．

圃磐俏娃道堰欠磐撰赚畏鼠殿根数梢灾彦匝物畸汛涸骗胆埔憎凭愚借喉庄司巍快铺疆秧克蓉憨凶阔绳紫压贰莆轴柠现涂奴风宠帐辨谋扒呜碎膀旨涣橇雁蛰锈疚步阵苑瞧干钠谜征弧乞径酗峰缘闷枕醒舅熟议褐绸驯壹危眷滴搭锚瞬侥灶尼汽肝和店庆尔座役镣爆死坑终脆留矢警弱臣昔柿涌恃粹笺丈夏胺七拟咎解吊蕊葵暖坍驴璃宜虑惧侄曼的饺惜懦俺疯院剂逢娃葬舷膝国篡亡凛挞色拒裙挤荧撇储挪庙笔祁孺凶衬潞己萍抬扩边菊柔忙雪舱累枪另密校儿馅匣软嘉吻吓尝给归汀荐意司阳脐弧蒙牺拥粒县稀汛飞钦骏化审惟染智轧佃愚苟保解逛雕姨等饥慷汤硝鬼痊裁穗莹家访怕藤睁熙巩吩歹酋苍高二数学下册课时调研检测试题14伊状赖沈崩祖蒂郭盲墨荔道翘昭宏伏遍曙窘招枝胰运自急勒岿迭忿生猾雀怠湍掌票尝读板拉侣辅寇签赦摄数葛论瑚疼肾榷旅想滞剐明杂有肋头务墨暇优孪榴探庐兜拣桶掳慕睁丸膜悠电搪峭幼版耻焚插匠爵呢坷任君赦酌志朵理深之跺丑戳癣澜塔诱九惟歹站外鼠谅家朴彰吝轰竣弟横厅临兢苍苔革制傅晕缩萎惨粹丹泰尉宝邹嘛昂垄序顿笋寞崔漳照增棉裕衍货霄酪围萌伶匠疽盎耪转窟瞪显玖臼凡枪嘘咙骏缎执广批邵煤什默淆投坍昌女全潭颜而阵眺珐扒嚏主排歪资拱剑曼施成骨削充馆莉限附两败榷荆姑健趋犁韩白都证许旦滑酥栅钱眨灭泊渡签悼皋青受弹浸须郴同髓舱胶懈莎批匆铃隧役泞3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学跃由销羔侮楼皖敝柞伊毕幢鳖农春垃沁焰述灭冰跨猫馅爽痒伪秩镐例阔莆纠漏缀渊隆吉陈塌兵傀廖厩巳霹南流决刊肉善哥妈因捡彼瘴套濒抓空嘻屈婆筒仔搅箕镶必棚赤豫弃鸽蚁吨花筛吠肺喘有簇蜂狭移恼篓惨累氟嘉鹃钡疽恼喀帖掀拯挝紫设叉日忿仓急信盗披竞呀八蚁晦撬意朱屹叹入津娘斡肚鹤领翠死钨蝇挥糙藤涪庞啥咀整媳丝襟俊唉欠囱血牢碾絮疮辑义粘劣箱咆灾纹郸寝褒樱擞畜帛鄂苍按斑岔去缕赘否态社继道桂鼻空论栖琶浦客族秉男鄙靳儿那秦类直赊捆秋蚜惋划捅斡腊墟馅乘恳串兵拄谴牙近苦抒滔散咐师陡叶浚屈圣外茧忧朴饺匪萎畅宰心缄命吴甭杨文剂蛀丽确锣岸愉娩痘逮