高考数学专题复习测试卷18.doc

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第二十二讲　正弦定理和余弦定理
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．(2010·湖北)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C．－ D.
解析：依题意得0°<B<60°，由正弦定理得＝得sinB＝＝，cosB＝＝，选D.
答案：D
2．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由sinC＝2sinB可得c＝2b，由余弦定理得cosA＝＝＝，于是A＝30°，故选A.
答案：A
3．(2010·江西)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝AB＝，由余弦定理得CE＝CF＝＝，所以cos∠ECF＝＝，
所以tan∠ECF＝＝＝.
答案：D

4．(2011·青岛模拟)△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg且B∈，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵lga－lgc＝lgsinB＝－lg，
∴lg＝lgsinB＝lg.∴＝sinB＝.
∵B∈，∴B＝，由c＝a，
得cosB＝＝＝.
∴a2＝b2，∴a＝b.
答案：D
5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为(　　)
A．1＋ B．3＋
C. D．2＋
解析：2b＝a＋c，ac·＝⇒ac＝2，a2＋c2＝4b2－4，b2＝a2＋c2－2ac·⇒b2＝⇒b＝.
答案：C
6．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝，则(　　)
A．b＋c＝2a B．b＋c<2a
C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a
解析：由sin2A－cos2A＝，得cos2A＝－，
又A是锐角，所以A＝60°，于是B＋C＝120°.
所以＝＝
＝cos≤1，b＋c≤2a.
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．(2010·江苏)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝6cosC，则＋的值是________．

解析：解法一：取a＝b＝1，则cosC＝，
由余弦定理和c2＝a2＋b2－2abcosC＝，
∴c＝.
在如图所示的等腰三角形ABC中，
可得tanA＝tanB＝，
又sinC＝，tanC＝2，
∴＋＝4.
解法二：＋＝6cosC得，＝6·，
即a2＋b2＝c2，
∴＋＝tanC＝
＝＝4.
答案：4
8．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．
解析：由sinB＋cosB＝sin＝得
sin＝1，所以B＝.由正弦定理＝得sinA＝＝＝，所以A＝或(舍去)．
答案：
9．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°.若AC＝AB，则BD＝________.
解析：如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则由题设可知BD＝a，CD＝a，所以根据余弦定理可得b2＝()2＋2－2××acos45°，c2＝()2＋2－2××acos135°，由题意知b＝c，

可解得a＝6＋3，所以BD＝a＝2＋.
答案：2＋
10．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________.
解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，又因为AD＝2，所以S△ADC＝AD·DCsin60°＝3－，所以DC＝2(－1)，又因为BD＝DC，所以BD＝－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝DC·AE＝3－，所以AE＝，又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝2－3，所以tan∠ACE＝＝＝2＋，所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.
答案：60°
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．(2010·全国Ⅰ)已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝a＋b，求内角C.
解：由a＋b＝a＋b及正弦定理得
sinA＋sinB＝cosA＋cosB，
即sinA－cosA＝cosB－sinB，
从而sinAcos－cosAsin＝cosBsin－sinBcos，
即sin＝sin.
又0<A＋B<π，
故A－＝－B，A＋B＝，
所以C＝.
12．(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝－，又A∈(0，π)，故A＝120°.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.
又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝.
因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.
所以△ABC是等腰的钝角三角形．
13．(2010·陕西)如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝＝5.
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