四川省德阳市2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年四川省德阳市中江县龙台中学高一（上）期中数学试卷

一．选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=( )
A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}

2．已知集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是( )
A．{0，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣3，5} D．{﹣3，5，9}

3．函数f（x）=+的定义域是( )
A．上的偶函数，则f（x）在区间上是( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．先减后增函数

5．如果幂函数f（x）=xn的图象经过点（2，），则f（4）的值等于( )
A．16 B．2 C． D．

6．已知函数f（x）=，那么f的值为( )
A．27 B． C．﹣27 D．﹣

7．化简：=( )
A．4 B．2π﹣4 C．2π﹣4或4 D．4﹣2π

8．在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象只能是( )
A． B． C． D．

9．如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象．已知n分别取﹣1，l，，2四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为( )

A．2，1，，﹣1 B．2，﹣1，1， C．，1，2，﹣1 D．﹣1，1，2，

10．若指数函数y=ax（0＜a＜1）在上的最大值与最小值的差是1，则底数a为( )
A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分）
11．计算：．

12．若函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数，且在（0，+∞）上是单调增函数，f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为__________．

13．方程9x﹣6•3x﹣7=0的解是__________．

14．关于下列命题：
①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；
②若函数y=的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤}；
③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}；
④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0＜x≤8}．
其中不正确的命题的序号是
__________．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
15．已知函数f（x）=
（1）在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象
（2）写出f（x）的单调递增区间与减区间．

16．利用对数的换底公式化简下列各式：
（1）logac•logca；
（2）log23•log34•log45•log52；
（3）（log43+log83）（log32+log92）．

17．已知函数f（x）=，判断函数在区间上的最大值与最小值．

18．已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．
（1）当a=3时，求A∩B；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

19．已知函数f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性．

20．（14分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y）
（1）求f（1）的值，
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．

2015-2016学年四川省德阳市中江县龙台中学高一（上）期中数学试卷

一．选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=( )
A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（∁UA）∩（∁UB）
【解答】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以CUA={2，4，6，7，9}，CUB={0，1，3，7，9}，
所以（CUA）∩（CUB）={7，9}
故选B
【点评】本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则

2．已知集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是( )
A．{0，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣3，5} D．{﹣3，5，9}
【考点】映射．
【专题】计算题．
【分析】先利用应关系f：x→2x﹣1，根据原像判断像的值，像的值即是集合B中元素．
【解答】解：∵对应关系为f：x→2x﹣1，x∈A={﹣1，3，5}，
∴2x﹣1=﹣3，5，9共3个值，
则集合B可以是{﹣3，5，9}．
故选D．
【点评】本题考查映射的概念，像与原像的定义，集合A中所有元素的集合即为集合B中元素集合．

3．函数f（x）=+的定义域是( )
A．上的偶函数，则f（x）在区间上是( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．先减后增函数
【考点】偶函数；函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题．
【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义f（x）=f（﹣x），求出b的值后，最后由函数单调性的定义结合图象判断f（x）在区间上的单调性即可．
【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx﹣2是定义在上的偶函数，
∴1+a+2=0，解得a=﹣3，
由f（x）=f（﹣x）得，b=0，即f（x）=﹣3x2﹣2．
其图象开口向下，对称轴是y轴的抛物线，
则f（x）在区间上是减函数．
故选B．
【点评】本题考查了偶函数定义的应用、函数单调性的判断与证明，利用奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称，这是容易忽视的地方．

5．如果幂函数f（x）=xn的图象经过点（2，），则f（4）的值等于( )
A．16 B．2 C． D．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据已知求出函数的解析式，再求f（4）即可．
【解答】解：幂函数f（x）=xn的图象经过点（2，），
所以，
所以，
所以函数解析式为，x≥0，
所以f（4）=2，
故选B．
【点评】本题考察幂函数的解析式，幂函数解析式中只有一个参数，故一个条件即可．

6．已知函数f（x）=，那么f的值为( )
A．27 B． C．﹣27 D．﹣
【考点】对数的运算性质；函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数先求f（）的值，然后在求出f的值．
【解答】解：由题意知f（）=，
所以f=f（﹣2）=．
故选B．
【点评】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，比较基础．

7．化简：=( )
A．4 B．2π﹣4 C．2π﹣4或4 D．4﹣2π
【考点】方根与根式及根式的化简运算．
【专题】计算题．
【分析】由π＜4，得，由此能求出原式的值．
【解答】解：=4﹣π+π=4．
故选：A．
【点评】本题考查根式的化简运算，解题时要注意被开方数的符号，合理地选取公式．

8．在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象只能是( )
A． B． C． D．
【考点】反函数．
【专题】常规题型；数形结合．
【分析】根据函数y=ax与y=logax互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y=x对称，从而对选项进行判断即得．
【解答】解：∵函数y=ax与y=logax互为反函数，
∴它们的图象关于直线y=x对称，
观察图象知，只有D正确．
故选D．
【点评】本小题主要考查反函数、反函数的应用、对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．

9．如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象．已知n分别取﹣1，l，，2四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为( )

A．2，1，，﹣1 B．2，﹣1，1， C．，1，2，﹣1 D．﹣1，1，2，
【考点】幂函数的图像．
【专题】应用题．
【分析】在图象中，做出直线 x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线C1，C2，C3，C4相应的n应是从大到小排列．
【解答】解：在图象中，做出直线 x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，
可得曲线C1，C2，C3，C4相 应的n依次为 2，1，，﹣1，
故选A．
【点评】本题考查幂函数的图形和性质的应用．

10．若指数函数y=ax（0＜a＜1）在上的最大值与最小值的差是1，则底数a为( )
A． B． C． D．
【考点】指数函数单调性的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据0＜a＜1，y=ax在上单调递减，可以求出指数函数y=ax（0＜a＜1）在上的最大值与最小值，再作差，解方程即可求得结果．
【解答】解：∵0＜a＜1，y=ax在上单调递减，
故ymax=，ymin=a，
∵数函数y=ax（0＜a＜1）在上的最大值与最小值的差是1，
∴，解得a=，
故选B．
【点评】此题是中档题．本题主要通过最值，来考查指数函数的单调性．一定记清楚，研究值域时，必须注意单调性．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分）
11．计算：．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】先利用对数、指数的运算法则进行计算，前两个式子的值直接利用幂的运算进行计算，第三、四个式子利用对数的运算性质进行计算，再结合任何一个非零的数的零次幂等于1计算最后一个式子的值．从而问题解决．
【解答】解：原式===16.5．
【点评】本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础知识，考查运算求解能力、化归转化思想．属于基础题．对数的运算性质：loga（MN）=logaM+logaN； loga=logaM﹣logaN；logaMn=nlogaM等．

12．若函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数，且在（0，+∞）上是单调增函数，f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数的图象性质求解不等式，由于本题是一个奇函数且在区间（0，+∞）上是单调增函数，又f（﹣2）=0，可以得出函数的图象特征．由图象特征求解本题中的不等式的解集即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，又f（﹣2）=0，
∴f（2）=0，且当x＜﹣2或0＜x＜2时，函数图象在x轴下方，如图．
当x＞2或﹣2＜x＜0时函数图象在x轴上方．
∴xf（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）
故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）

【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生的计算能力，属于基础题．

13．方程9x﹣6•3x﹣7=0的解是x=log37．
【考点】函数与方程的综合运用；一元二次不等式的解法．
【专题】计算题；整体思想．
【分析】把3x看做一个整体，得到关于它的一元二次方程求出解，利用对数定义得到x的解．
【解答】解：把3x看做一个整体，（3x）2﹣6•3x﹣7=0；
可得3x=7或3x=﹣1（舍去），
∴x=log37．
故答案为x=log37
【点评】考查学生整体代换的数学思想，以及对数函数定义的理解能力．函数与方程的综合运用能力．

14．关于下列命题：
①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；
②若函数y=的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤}；
③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}；
④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0＜x≤8}．
其中不正确的命题的序号是
①②③．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）
【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数函数的值域与最值．
【专题】计算题．
【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域，求出各个函数的值域，判断正误即可．
【解答】解：①中函数y=2x的定义域x≤0，值域y=2x∈（0，1]；原解错误；
②函数y=的定义域是{x|x＞2}，值域y=∈（0，）；原解错误；
③中函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，，y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，
但它的定义域不一定是{x|﹣2≤x≤2}；原解错误
④中函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，y=log2x≤3，
∴0＜x≤8，故①②③错，④正确．
故答案为：①②③
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，函数的值域，指数函数的定义域和值域，对数函数的值域与最值，考查计算能力，高考常会考的题型．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
15．已知函数f（x）=
（1）在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象
（2）写出f（x）的单调递增区间与减区间．
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）结合二次函数和一次函数的图象和性质，及已知中函数的解析式，可得函数的图象；
（2）结合（1）中函数图象，可得函数的单调区间．
【解答】解：（1）函数f（x）的图象如下图

（2）当x∈时，f（x）=3﹣x2，
知f（x）在上递增；在上递减，
又f（x）=x﹣3在（2，5]上是增函数，
因此函数f（x）的增区间是和（2，5]；减区间是．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调区间，难度不大，属于基础题．

16．利用对数的换底公式化简下列各式：
（1）logac•logca；
（2）log23•log34•log45•log52；
（3）（log43+log83）（log32+log92）．
【考点】换底公式的应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．
【解答】解：（1）logac•logca=•=1；
（2）log23•log34•log45•log52=•••=1；
（3）（log43+log83）（log32+log92）=（+）（+）
=（+）（+）
=•
=．
【点评】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．

17．已知函数f（x）=，判断函数在区间上的最大值与最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．
【分析】先利用函数的单调性定义判断函数f（x）在区间上是单调增函数，再求它的最值．
【解答】解：∵函数f（x）==2﹣，
∴任取x1、x2∈，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=（2﹣）﹣（2﹣）
=﹣
=；
∵1≤x1＜x2≤4，
∴x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在区间上是单调增函数，
它的最大值是f（4）==3，
最小值是f（1）==．
【点评】本题考查了利用单调性的定义判断函数在某一区间上的单调性以及利用单调性求最值问题，是基础题目．

18．已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．
（1）当a=3时，求A∩B；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】（1）当a=3时，根据集合的基本运算即可求A∩B；
（2）若A∩B=∅，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=3时，A={x|2﹣a≤x≤2+a}={x|﹣1≤x≤5}，B={x|x≤1或x≥4}．
则A∩B={x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}；
（2）若2+a＜2﹣a，即a＜0时，A=∅，满足A∩B=∅，
若a≥0，若满足A∩B=∅，
则，即，解得0≤a＜1
综上实数a的取值范围a＜1．
【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，比较基础．

19．已知函数f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性．
【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）要使函数有意义，则，由此求得函数的定义域．
（2）根据函数的解析式可得 f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）的奇偶性．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则，
∴﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1 1）…
（2）∵f（﹣x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）为奇函数．…
【点评】本题主要考查求函数的定义域、函数的奇偶性的判断方法，属于中档题．

20．（14分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y）
（1）求f（1）的值，
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．
【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）利用赋值法即可求f（1）的值，
（2）若f（6）=1，结合抽象函数将不等式f（x+3）﹣f（）＜2进行转化，结合函数的单调性解不等式即可．
【解答】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，
令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），
∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2
等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），
∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），
即f（）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴，解得﹣3＜x＜9，
即不等式的解集为（﹣3，9）．
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性将不等式进行转化是解决本题的关键．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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