2015届高考数学第一轮基础巩固训练题18.doc

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步骤规范练——统计与概率
(建议用时：90分钟)
一、选择题
1．(2014·石家庄调研)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是 (　　)．
A．简单随机抽样法 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层抽样法
解析　总体由差异明显的几部分组成、按比例抽样，为分层抽样．
答案　D
2．(2014·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为 (　　)．
A．0.40 B．0.30　　C．0.60 D．0.90
解析　一次射击不够8环的概率为：1－0.2－0.3－0.1＝0.4.
答案　A
3．(2012·湖北卷)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为 (　　)．
A．0.35 B．0.45　　
C．0.55 D．0.65
解析　数据落在区间[10,40)内的频数为9，样本容量为20，所求频率为＝0.45.
答案　B
4．(2014·沈阳模拟)第十二届全运会于2013年8月31日在沈阳举行，运动会期间从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是 (　　)．
A. B．　　
C. D．
解析　记2名来自A大学的志愿者为A1，A2,4名来自B大学的志愿者为B1，B2，B3，B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种．故所求概率为＝.
答案　C
5．(2014·江西八校联考)已知数据x1，x2，x3，…，xn分别是某省普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是 (　　)．
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
解析　由于世界首富的年收入xn＋1较大，故平均数一定会增大，差距会拉大，因此方差也会变大，选B.
答案　B
6．(2014·萍乡模拟)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 (　　)．
A. B．　　
C. D．
解析　基本事件有(黑1，黑2)， (黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，红1)，(黑2，红2)， (黑3，红1)，(黑3，红2)，共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为＝.
答案　C
7．(2014·江西九校联考)在区间[－3,3]上，随机地取两个数x，y，则x－y＞2的概率是 (　　)．
A. B．　　
C. D．

解析　取出的数对(x，y)组成平面区域{(x，y)|－3≤x≤3，－3≤y≤3}，其中x－y＞2表示的区域是图中的阴影部分(如图)，故所求的概率为＝.
答案　A
8．(2014·陕西五校联考)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：

优秀
非优秀
总计
A班
14
6
20
B班
7
13
20
总计
21
19
40
则下列说法正确的是 (　　)．
A．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
B．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
C．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
D．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
解析　χ2＝≈4.9 123，因为4.9 123>3.841，所以有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关．
答案　C
9．(2014·杭州二检)用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，若乙有一次不少于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 (　　)．

A. B．　　
C. D．
解析　显然甲的平均成绩是90分，乙的平均成绩要低于90分，则乙的未记录的成绩不超过97分，90～97共有8个成绩，故满足要求的概率为＝.
答案　C
10．(2014·南昌模拟)在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率为 (　　)．
A. B．　　
C. D．
解析　因为所以，即≤x≤.根据几何概型的计算方法，所以所求的概率为P＝＝.
答案　B
二、填空题
11．(2014·咸阳模拟)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
解析　设样本中男生人数为n，则有＝，解得n＝160.
答案　160
12．(2014·渭南模拟)统计某校1 000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，则及格人数是________名．

解析　[1－(0.005＋0.015)×10]×1 000＝800.
答案　800
13．(2014·上饶模拟)假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费y(万元)有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程＝x＋中的＝1.23，据此估计，使用年限为10年时的维修费用是________万元．
解析　由题意知＝4，＝5，即回归直线过点(4,5)，代入回归直线方程得＝0.08，即回归直线方程为＝1.23x＋0.08，所以当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)．
答案　12.38
14．(2014·广州二模)如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________．

解析　∵S扇形＝2××12×＋×π×12＝，
∴SM＝×2×2－S扇形＝2－，
∴所求概率为P＝＝1－.
答案　1－
三、解答题
15．(2013·广东卷)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
分组(重量)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数(个)
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
解　(1)由题意知苹果的样本总数n＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)的频率是＝0.4.
(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个，则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x)个．
∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15，
∴5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1.
即重量在[80,85)的有1个．
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)中有1个，记为a，重量在[95,100)中有3个，记为b1，b2，b3，任取2个，有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6种不同方法．记基本事件总数为n，则n＝6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A，事件A包含的基本事件为ab1，ab2，ab3，共3个，
由古典概型的概率计算公式得P(A)＝＝.
16．(2013·安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2的值．
解　(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知，＝0.05，即n＝600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－＝.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为，，根据样本茎叶图可知，30(－)＝30－30
＝(7－5)＋(50＋13－14)＋(－60＋24－17)＋(－70＋26－33)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.
因此－＝0.5.故1－2的估计值为0.5分．
17．(2013·陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数

6

(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解　(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：

由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
18．(2012·湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件
及以上
顾客数/人
x
30
25
y
10
结算时间/(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.
因为A＝A1＋A2＋A3，且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

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