八年级数学上册月考检测试卷.doc

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一、选择题（每小题2分，共16分）
1．如图，下列图案是轴对称图形的有（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

2．如图，AP平分∠BAF，PD⊥AB于点D，PE⊥AF于点E，则△APD与△APE全等的理由是（　　）

　 A． SSS B． SAS C． SSA D． AAS

3．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（　　）

　 A． ① B． ② C． ③ D． ④

4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

　 A． （S、S、S） B． （S、A、S） C． （A、S、A） D． （A、A、S）

5．等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（　　）
　 A． 15cm B． 20cm C． 25cm D． 20cm或25cm

6．如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）

　 A． AB垂直平分CD B． CD垂直平分AB
　 C． AB与CD互相垂直平分 D． CD平分∠ACB

7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，AD、CE相交于点H，则图中的等腰三角形有（　　）

　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

二、填空题（每小题2分，共20分）
8．角的对称轴是　　　　　　．

9．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为　　　　　　．

10．如图，△ABC≌△DEF，由图中提供的信息，可得∠D=　　　　　　°

11．如图8，点C、D在BE上，BC=DE，∠1=∠2，要使得△ABD≌△AEC，还需要添加一个条件，你添加的条件是　　　　　　．

12．工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用　　　　　　．

13．如图，AB⊥AC，点D在BC的延长线上，且AB=AC=CD，则∠ADB=　　　　　　°．

14．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若△ADE的周长为9，△ABC的周长是14，则BC=　　　　　　．

15．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有　　　　　　对全等三角形．

16．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有　　　　　　个．

17．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管　　　　　　根．

三、作图题（每小题5分，共10分）
18．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）

19．利用网格线作图：在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB=QC．

四、解答题
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（　　）

　 A． 30° B． 40° C． 45° D． 36°

21．已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．
求证：△ABC≌△CDE．

22．如图，已知：AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4．试判断AD和BC的关系，并说明理由．

23．已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由．

24．已知：如图，AD、BC相交于点O，AO=BO，∠C=∠D=90°．
求证：AD=BC．

25．已知：如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC．试说明：CB=CD．

26．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M； AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．
（1）∠MAN的大小；
（2）求证：BM=CN．

27．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．易得DE=AD+BE（不需证明）．
（1）若直线CE绕C点旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE、AD、BE之间的数量关系，并说明理由；
（2）若直线CE绕C点旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE、AD、BE之间的数量关系（不需证明）．

28．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程证明△ABD≌△ACD的理由．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠　　　　　　（角平分线的定义）．
在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD　　　　　　．

2014-2015学年江苏省南京市溧水县孔镇中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题2分，共16分）
1．如图，下列图案是轴对称图形的有（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
解答： 解：第1个图形是轴对称图形，
第2个图形不是轴对称图形，
第3个图形是轴对称图形，
第4个图形是轴对称图形，
综上所述，轴对称图形有3个．
故选C．
点评： 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．如图，AP平分∠BAF，PD⊥AB于点D，PE⊥AF于点E，则△APD与△APE全等的理由是（　　）

　 A． SSS B． SAS C． SSA D． AAS

考点： 全等三角形的判定．
分析： 求出∠PDA=∠PEA=90°，∠DAP=∠EAP，根据AAS推出两三角形全等即可．
解答： 解：∵PD⊥AB，PE⊥AF，
∴∠PDA=∠PEA=90°，
∵AP平分∠BAF，
∴∠DAP=∠EAP，
在△APD和△APE中

∴△APD≌△APE（AAS），
故选D．
点评： 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

3．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（　　）

　 A． ① B． ② C． ③ D． ④

考点： 全等三角形的应用．
分析： 假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
解答： 解：②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第①块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：A．
点评： 本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

A． （S、S、S） B． （S、A、S） C． （A、S、A） D． （A、A、S）

考点： 全等三角形的判定与性质；作图—基本作图．
分析： 利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．
解答： 解：易得OC=0′C'，OD=O′D'，CD=C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，
故选A．
点评： 考查全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点．

5．等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（　　）
　 A． 15cm B． 20cm C． 25cm D． 20cm或25cm
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 分5cm是腰长和底边两种情况讨论求解即可．
解答： 解：5cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、5cm、10cm，
∵5+5=10，
∴不能组成三角形，
10cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、10cm、10cm，
能组成三角形，
周长=5+10+10=25cm，
综上所述，此三角形的周长是25cm．
故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．

6．如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）

　 A． AB垂直平分CD B． CD垂直平分AB
　 C． AB与CD互相垂直平分 D． CD平分∠ACB

考点： 线段垂直平分线的性质．
专题： 压轴题．
分析： 由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得．
解答： 解：∵AC=AD，BC=BD，
∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．
∴AB垂直平分CD．
故选A．
点评： 本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键．

7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，AD、CE相交于点H，则图中的等腰三角形有（　　）

　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

考点： 等腰三角形的判定．
分析： 根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得∠CAD=∠BAD=30°，
CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形．
解答： 解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=BD．
∴△ABD是等腰三角形．
∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED
∴AC=AE
∴△CDE、△ACE是等腰三角形；
又△CEB也是等腰三角形
显然此图中有4个等腰三角形．
故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形．

二、填空题（每小题2分，共20分）
8．角的对称轴是　角平分线所在的直线　．

考点： 轴对称图形．
分析： 关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
解答： 解：沿角平分线所在的直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，所以角的对称轴是角平分线所在的直线．
点评： 注意：对称轴必须说成直线．

9．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为　65°　．

考点： 等腰三角形的性质．
分析： 等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出底角，答案可得．
解答： 解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，
∴底角=（180°﹣50°）÷2=65．
故填65．
点评： 本题主要考查了等腰三角形，的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．

10．如图，△ABC≌△DEF，由图中提供的信息，可得∠D=　70　°．

考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据三角形的内角和定理求出∠A，再根据全等三角形对应角相等可得∠D=∠A．
解答： 解：在△ABC中，∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣60°=70°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=70°．
故答案为：70．
点评： 本题考查了全等三角形的性质，根据对应边确定出∠A和∠D是对应角是解题的关键．

11．如图8，点C、D在BE上，BC=DE，∠1=∠2，要使得△ABD≌△AEC，还需要添加一个条件，你添加的条件是　∠B=∠C（答案不唯一）　．

考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 添加的条件：∠B=∠C，根据等式的性质可得∠BAD=∠EAC，DB=CE，可根据AAS判定△ABD≌△AEC．
解答： 解：添加的条件：∠B=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，
即∠BAD=∠EAC，
∵CB=DE，
∴CB+CD=DE+CD，
即DB=CE，
在△ABD和△AEC中，
∴△ABD≌△AEC（AAS），
故答案为：∠B=∠C．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

12．工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用　三角形的稳定性　．

考点： 三角形的稳定性．
分析： 三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
解答： 解：这是利用三角形的稳定性．
点评： 本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．

13．如图，AB⊥AC，点D在BC的延长线上，且AB=AC=CD，则∠ADB=　22.5　°．

考点： 等腰三角形的性质；三角形的外角性质．
专题： 计算题．
分析： 由已知可得到∠B=∠ACB=45°，∠CAD=∠CDA，再根据三角形外角的性质可得到∠ACB与∠ADB之间的关系，从而不难求解．
解答： 解：∵AB=AC=CD，AB⊥AC，
∴∠B=∠ACB=45°，∠CAD=∠CDA
∵∠ACB=∠CAD+∠CDA=2∠ADB=45°
∴∠ADB=22.5°．
故答案为：22.5°．
点评： 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形的外角的性质的综合运用．

14．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若△ADE的周长为9，△ABC的周长是14，则BC=　5　．

考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析： 由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，易得△BOD与△COE是等腰三角形，又由△ADE的周长为9，可得AB+AC=9，又由△ABC的周长是14，即可求得答案．
解答： 解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠BOD=∠OBC，∠COE=∠OCB，
∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠COE，
∴BD=OD，CE=OE，
∵△ADE的周长为29，
∴AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=9，
∵△ABC的周长是14，
∴AB+AC+BC=14，
∴BC=5．
故答案为：5．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

15．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有　3　对全等三角形．

考点： 全等三角形的判定．
分析： 由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．
解答： 解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为：3．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

16．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有　5　个．

考点： 利用轴对称设计图案．
分析： 利用轴对称图形的性质分别得出符合要求的答案即可．
解答： 解：如图所示：与△ABC成轴对称的有△ACG、△AFE、△BFD、△CHD、△CGB一共有5个．
故答案为：5．

点评： 此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据已知得出所有符合要求的答案注意不要漏解．

17．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管　8　根．

考点： 等腰三角形的性质．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
解答： 解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，
即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．
故答案为：8．
点评： 此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．

三、作图题（每小题5分，共10分）
18．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）

考点： 作图—应用与设计作图．
分析： 根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．
解答： 解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求，
此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．

P和P1都是所求的点．
点评： 此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．

19．利用网格线作图：在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB=QC．

考点： 作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
分析： 根据网格特点先作出∠A的角平分线与BC的交点就是点P，再作BC的垂直平分线与AP的交点就是点Q．
解答： 解：如图，点P就是所要求作的到AB和AC的距离相等的点，
点Q就是所要求作的使QB=QC的点．

点评： 本题主要考查了利用网格结构作角的平分线，线段的垂直平分线，找出相应的点是解题的关键．

四、解答题
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（　　）

　 A． 30° B． 40° C． 45° D． 36°

考点： 等腰三角形的性质．
分析： 题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．
解答： 解：∵BD=AD
∴∠A=∠ABD
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
∴∠C=∠BDC=2∠A
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°
∴∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2•2∠A=180°
解得∠A=36°
故选：D．

点评： 本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．

21．已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．
求证：△ABC≌△CDE．

考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 首先根据AC∥DE，利用平行线的性质可得：∠ACB=∠E，∠ACD=∠D，再根据∠ACD=∠B证出∠D=∠B，再由∠ACB=∠E，AC=CE可根据三角形全等的判定定理AAS证出△ABC≌△CDE．
解答： 证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，∠ACD=∠D，
∵∠ACD=∠B，
∴∠D=∠B，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，

22．如图，已知：AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4．试判断AD和BC的关系，并说明理由．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
分析： 根据ASA证△ABD≌△ACD，推出AB=AC，根据等腰三角形的性质得出即可．
解答： 解：AD⊥BC，AD平分BC，
理由是：∵在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（ASA）
∴AB=AC，
∵∠1=∠2，
∴AD⊥BC，AD平分BC（等腰三角形三线合一性质）．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：等腰三角形顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合．

23．已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由．

考点： 等边三角形的性质．
分析： 根据△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点得到AC=BA，∠BAC=∠BCA=60°，BD⊥AC，求出∠BDA=90°，由CE∥AB得∠ACE=∠BAD，利用90°﹣∠ACE=90°﹣∠BAD得出∠CAE=∠ABD．
解答： 解：∠CAE=∠ABD，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴AC=BA，∠BAC=∠BCA=60°，BD⊥AC，
∴∠BDA=90°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠BDA=90°，
又∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠BAD，
∴90°﹣∠ACE=90°﹣∠BAD，
即∠CAE=∠ABD．
点评： 本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系，此题难度不大．

24．已知：如图，AD、BC相交于点O，AO=BO，∠C=∠D=90°．
求证：AD=BC．

考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 利用等角对等边以及全等三角形的判定与性质得出即可．
解答： 证明：∵AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA，
在△ABC和△BAD中，

∴△ABC≌△BAD（AAS）．
∴AD=BC．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△ABC≌△BAD是解题关键．

25．已知：如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC．试说明：CB=CD．

考点： 等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 连接BD，由AB=AD，根据等边对等角，可得∠ADB=∠ABD，由∠ABC=∠ADC，根据等式的基本性质，可得∠CBD=∠CDB，根据等角对等边，所以CD=CB．
解答： 证明：连接BD，

∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，
即∠CBD=∠CDB，
∴CD=CB．
点评： 此题考查了等腰三角形的判定与性质，用角相等来求边相等是本题的解题思路．

26．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M； AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．
（1）∠MAN的大小；
（2）求证：BM=CN．

考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析： （1）由在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，可求得∠B与∠C的度数，又由AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；可得AM=BM，继而求得∠MAB的度数，则可求得∠AMN的度数，继而求得答案；
（2）易得△AMN为等边三角形，则可得AM=AN=MN，又由BM=AM，CN=AN，即可证得结论．
解答： （1）解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵直线ME垂直平分AB，
∴BM=AM，
∴∠B=∠MAB=30°，
∴∠AMN=∠B+∠MAB=60°，
同理可得：∠ANM=60°．
∴∠MAN=180°﹣60°﹣60°=60°；

（2）证明：∵在△AMN中，∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形．
即 AM=AN=MN，
又∵BM=AM，CN=AN，
∴BM=CN．
点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．

27．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．易得DE=AD+BE（不需证明）．
（1）若直线CE绕C点旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE、AD、BE之间的数量关系，并说明理由；
（2）若直线CE绕C点旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE、AD、BE之间的数量关系（不需证明）．

考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 探究型．
分析： （1）DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD﹣BE，理由如下：由∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，则∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，得到∠CAD=∠BCE，可证得△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，即有DE=AD﹣BE；
（2）DE、AD、BE之间的关系是DE=BE﹣AD．证明的方法与（1）一样．
解答： 解：（1）不成立．
DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD﹣BE，理由如下：如图2，
∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∵AC=CB，∠CAD=∠BCE，∠ADC=∠CEB=90°
∴
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=AD﹣BE；

（2）DE、AD、BE之间的关系是DE=BE﹣AD．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质．

28．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程证明△ABD≌△ACD的理由．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠　CAD　（角平分线的定义）．
在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD　SAS　．

考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 首先根据角平分线定义可得到∠BAD=∠CAD，再利用SAS定理可证明△ABD≌△ACD．
解答： 证明：∵AD平分∠BAC（已知）．
∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义），
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD （SAS）．
故答案为CAD，SAS．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个一般三角形全等的方法有四种：AAS，SAS，SSS，ASA．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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