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高三数学基础达标知能演练复习题74.doc
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1、 基础达标 1已知曲线 C 的极坐标方程为 22 2cos(4)20.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若点 M(x,y)在曲线 C 上,求 xy 的最小值 解:(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y20.(2)由(1)知,曲线 C 的方程为(x1)2(y1)24.设x12cos y12sin(为参数),则 xy2sin 2cos 2 2sin(4)2 2,所以 xy 的最小值为2 2.2(2013 高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为xt1,y2t(t 为参数),曲线 C 的参数方程为x2tan2,y2tan(为参数)试求直线 l
2、和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标 解:因为直线 l 的参数方程为xt1,y2t,(t 为参数),由 xt1,得 tx1,代入 y2t,得到直线 l 的普通方程为 2xy20.同理得到曲线 C 的普通方程为 y22x.联立方程组y2(x1),y22x,解得公共点的坐标为(2,2),(12,1)3将圆 x2y24 上各点的纵坐标压缩至原来的12,所得曲线记作 C;将直线 3x2y80 绕原点逆时针旋转 90 所得直线记作 l.(1)求直线 l 与曲线 C 的方程;(2)求 C 上的点到直线 l 的最大距离 解:(1)设曲线 C 上任一点为(x,y),则(x,2y)在圆 x2y24
3、上,于是 x2(2y)24,即x24y21.直线 3x2y80 的极坐标方程为 3cos 2sin 80,将其记作 l0,设直线 l 上任一点为(,),则点(,90)在 l0上,于是 3cos(90)2sin(90)80,即 3sin 2cos 80,故直线 l 的方程为 2x3y80.(2)设曲线 C 上任一点为 M(2cos,sin),它 到 直 线l的 距 离 为d|4cos 3sin 8|2232|5cos(0)8|13,其中 0满足:cos 045,sin 035.当 0 时,dmax 13.4已知直线 C1:x1tcos ytsin(t 为参数),曲线 C2:xcos ysin(为
4、参数)(1)当 3时,求 C1与 C2的交点坐标;(2)过坐标原点 O 作 C1的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线 解:(1)当 3时,C1的普通方程为 y 3(x1),C2的普通方程为 x2y21,联立方程得y 3(x1)x2y21,解得 C1与 C2的交点坐标分别为(1,0),(12,32)(2)依题意,C1的普通方程为 xsin ycos sin 0,则 A 点的坐标为(sin2,sin cos)故当 变化时,P 点轨迹的参数方程为x12sin2y12sin cos(为参数),即x1414cos 2y14sin 2(为参数)
5、P 点轨迹的普通方程为(x14)2y2116.故 P 点的轨迹是圆心为(14,0),半径为14的圆 能力提升 1(2013 高考课标全国卷)已知动点P、Q都在曲线C:x2cos ty2sin t(t 为参数)上,对应参数分别为 t 与 t2(02),M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程;(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 解:(1)依题意有 P(2cos,2sin),Q(2cos 2,2sin 2),因此 M(cos cos 2,sin sin 2)M 的轨迹的参数方程为xcos cos 2ysin sin 2(为参数,02)(2
6、)M 点到坐标原点的距离 d x2y2 22cos(02)当 时,d0,故 M 的轨迹过坐标原点 2(2014 山西太原市调研)已知曲线 C:y24x,直线 l 过点 P(1,2),倾斜角为 30,直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点(1)求直线 l 的参数方程;(2)求|PA|PB|的值 解:(1)直线 l 过点 P(1,2),倾斜角为 30,直线 l 的参数方程为x132ty212t,(t 为参数)(2)设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,将直线 l 的参数方程代入 C:y24x,化简得 t28(1 3)t320,t1t28(1 3),t1t232,|PA|PB|t1|t2|t
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